Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 21-07-2016, 09:24 PM   #1
einstein1996
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: việt nam
Bài gởi: 102
Thanks: 77
Thanked 43 Times in 28 Posts
Icon14 Trường chia đường tròn

Cho $\mathbb{K}$ là một trường và $n$ là một số nguyên dương không chia hết cho $p=\text{char}(\mathbb{K})$. Khi đó các nghiệm của đa thức $x^n-1\in\mathbb{K}[x]$ trong một bao đóng đại số của $\mathbb{K}$ được gọi là các căn bậc $n$ của đơn vị. Phần tử $\omega$ được gọi là một căn nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị nếu $\omega$ là một căn bậc $n$ của đơn vị, đồng thời nhóm nhân cyclic sinh bởi $\omega$ trùng với nhóm nhân các căn bậc $n$ của đơn vị. Chứng minh rằng luôn tồn tại căn nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
einstein1996 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 02-08-2016, 02:17 PM   #2
Ngonkhtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gởi: 60
Thanks: 11
Thanked 16 Times in 15 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi einstein1996 View Post
Cho $\mathbb{K}$ là một trường và $n$ là một số nguyên dương không chia hết cho $p=char(\mathbb{K})$. Khi đó các nghiệm của đa thức $x^n-1\in\mathbb{K}[x]$ trong một bao đóng đại số của $\mathbb{K}$ được gọi là các căn bậc $n$ của đơn vị. Phần tử $\omega$ được gọi là một căn nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị nếu $\omega$ là một căn bậc $n$ của đơn vị, đồng thời nhóm nhân cyclic sinh bởi $\omega$ trùng với nhóm nhân các căn bậc $n$ của đơn vị. Chứng minh rằng luôn tồn tại căn nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị.
Thực chất là chứng minh tập nghiệm của $x^n-1$ là cyclic. Kết quả này ai học lý thuyết Galois đều biết. Thực ra mọi nhóm con hữu hạn của một trường là một nhóm cyclic. Mình xin tập hợp lại vài cách chứng minh.

1. Giả sử nhóm G là abel hữu hạn. là một nhóm abel hữu hạn nên theo định lý cơ bản của nhóm abel hữu hạn sinh
$$S \cong \prod \mathbb{Z}/a_n$$
với $a_j|a_{j+1}$. Có $a_1$ phần tử trong mỗi nhóm $\mathbb{Z}/a_i$ thỏa mãn $x^{a_1}=1$. Giả sử $G \leq K^{\times}$. Do K là một trường nên chỉ có tối đa $a_1$ phần tử là nghiệm của phương trình. Vậy chỉ có 1 nhóm cyclic và G là cyclic.

2. Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp n. Nếu với mỗi d|n, tồn tại tối đa d phần tử của G thỏa mãn $x^d=1$ thì G là cyclic.
Chứng minh. Nếu có phần tử x có cấp d|n thì <x> có d phần tử, nên theo giả thiết nó chứa tất cả các phần tử thỏa mãn $x^d=1$. Suy ra số phần tử cấp d là $\phi(d)$. Như vậy số phần tử cấp d bằng 0 hoặc bằng $\phi(d)$. Suy ra $n=\sum_{d|n} |{x|ord(x)=d} \leq \sum_{d|n} \phi(d)=n$ và các dấu bằng xảy ra dẫn đến $|{x|ord(x)=d}|=\phi(d)$. Nói riêng có phần tử cấp n. Vậy G là cyclic
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Ngonkhtn, 02-08-2016 lúc 02:24 PM
Ngonkhtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:22 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 42.39 k/46.58 k (8.99%)]