Bài hay đây

[Mather]

Cho $a,b,c\ge 0 $ tìm hằng số k tốt nhất để BDT sau đúng
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+25\frac{ ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge k $
Mọi người làm cho vui nhá :secretsmile:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duca1pbc]

bài này dấu bằng chắc 3 biến lệch nhau à
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Nguyên văn bởi duca1pbc

bài này dấu bằng chắc 3 biến lệch nhau à

Vâng ạ :nemoflow:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vipCD]

Bài này đối xứng à
Bt nà
Hoán vị cũng bt luôn chẳng suy nhơ gì
Xin lỗi spam tí
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Anh thử Post lời giải lên đi ạ
Đừng nói bài nào cũng BT như thế
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vipCD]

Nói vậy cũng có cơ sở mà em
Ta dùng cái cơ bản nhất vậy
Đặt $p=a+b+c; q=ab+bc+ca; r=abc $
Đưa về dạng $p; q; r $ bt tiếp theo assume $p=1 $
rồi dùng thêm đạo hàm nếu thích hoạt có một cách khác hay hơn...bm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Thế k bằng bao nhiêu ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Nguyen]

Bài này cứ phân tích SOS chắc là phải ra ( xin lỗi anh spam tí)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Anh Post lời giải bằng SOS đi ạ :secretsmile:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sirpham2504]

Chủ đề này chuyên spam và đây là 1 hành động spam trắng trợn nhất
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Nguyen]

Nguyên văn bởi Mather

Anh Post lời giải bằng SOS đi ạ :secretsmile:

thì chú cứ trừ cho k rồi phân tích SOS , thế thôi
Kiểu gì chẳng ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[doccocaubai88]

Với $k=10 $ thì chắc là tốt nhất hay sao á :
Dùng dồn biến kiểu này :
$f(a,b,c) \ge f(a,b+c,0) $
sau đó có thể đánh giá 1 biến thoải mái vì đã có :
$(\frac{2c}{b+a})^n+(\frac{2b}{c+a})^n \ge 2(\frac{b+c}{2a})^n $
và $\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2} $
Hình như có 1 bài tương tự nè :

[TANPHAM90]Cho $a,b,c \ge0 $
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\f rac{c}{a+b}} +3\sqrt{3}\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{7\sqrt{2}}{2} $
mà không biết những bài này S.O.S có thể xài được không vì hình như đây là kiểu nếu thay 25= m thì là tìm min của VT theo m và em thấy thường ta có được $m=2\sqrt{k} $

Và bài này nếu S.O.S thì hình như là kiểu :
$VT \ge 3+m $ mà kiểu này thì S.O.S đơn giản mà có cách khác cũng chẳng cần đến S.O.S ,p,q,r hay p,R,r ... và BDT ở đầu xảy ra dấu bằng khủng kinh dị nên không S.O.S được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[abc]

Lâu lắm không làm BĐT rồi !
Để tớ thử tí nhé !
Trước hết phải khẳng định 1 điều là SOS là hoàn toàn mất tác dụng với bài này !
Bởi lẽ dấu = đạt được khi 3 biến lệch nhau , trong đó có 1 biến bị đẩy ra biên .
Tức là dấu = có dạng $(t,1,0) $ trong đó $t $ là 1 số vô tỉ !
Trở lại bài toán .
Ta có nhận xét sau :
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} $

Bây giờ đặt $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=u{ $

Khi đó : $VT\geq u+\frac{25}{u}\geq 10 $ ( Cô si )
Vậy $k_max = 10 $
Đẳng thức xảy ra tại 2 điểm gốc là : $(\frac{5+\sqrt{21}}{2},1,0) $ và $(\frac{5-\sqrt{21}}{2},1,0) $ cùng với các hoán vị .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

VT là hàm bậc nhất với abc nên ta chỉ việc xét 2 TH
TH 1: có 1 biến bằng 0.Giả sử$ z=0 $
$VT=\frac{x^2+y^2}{xy}+25\frac{xy}{x^2+y^2}\ge 10 $ (Cô si)
TH 2:có 2 biến bằng nhau.Giả sử $y=z $
Dễ dàng cm được
$VT>\frac{2xy+y^2}{x^2+2y^2}+25\frac{x^2+2y^2}{2xy+ y^2}\ge 10 $
Từ đó có hằng số $k=10 $
Bài này khá hay,không bít là có dùng SOS được ko chứ mình thì không tài nào dùng SOS cho bài này được
Chôm bài của anh Tanpham90 trên diendantoanhoc.net
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]