Look at the end point

Mr Nguyen · 10-11-2007, 08:30 PM

Xin mở đầu phương phap' này là 2 định lý sau:
Định lý 1 Nếu $f(x) $ là hàm bậc nhất theo $x $ thì : nếu $f(a) \geq 0 $ , $f(b) $ $\geq $0 khi đó $f(x) \geq 0 $ với mọi $x\in[a,b] $

Định lý 2 : Nếu f(x) là hàm bậc nhất theo x thì : $\min\{f(a);f(b)\} $$ \leq $$f(x) $$\leq $$max \{f(a);f(b)\} $ với mọi $x $$\in $$[a,b] $

Các tính chất hàm bậc nhất trên đây có hình minh họa hình học rất dễ hiểu ( mình ko biết vẽ hình minh hoa các bạn thông cảm ) Vận dụng các tính chất này ta có thể Cm được nhiều BDT hay và khó.

Ví dụ 1 [TEX]Cho $x,y,z,\in [0,2] $ ,CMR: $2(x+y+z)(xy+yz+xz) \leq 4 $(*)

Lời Giải:BDT(*)$\Leftrightarrow(2-y-z)x+2(y+z)-yz-4\leq 0 $
Xét $f(x) =(2-y-z)x+2(y+z)-yz-4 $ với $x \in[0,2] $
Ta có $f(0)=-(2-y)(2-z)\leq 0 f(2)=-yz \leq 0 $
=> $f(x) \leq 0 $ với $x\in[0,2] $ (dpcm)
Ví dụ 2 Cho $a,b,c,d\in $ CM BDT:
$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+ab+c+d\leq 1 $
Lời giải $C_1 $Cố định $b,c,d $ xét hàm bậc nhất
$f(a)=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d-1 $
$ f(1)=b+c+d\geq 0 $
$f(0)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+c+d-1 $
Cố định $c,d $ xét :
$f(b)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+c+d-1 $
$f(1)=c+d \geq 0 $
$f(0)=(1-c)(1-d)+c+d-1=cd \geq $ 0
$\Rightarrow f(b) \geq 0 $ với mọi $b\in [0;1] $
$C_2 $: đặt S$=f(a)=(1-a)(1-b)(1-c)(1_d)+a+b+c+d-1 $
$\Rightarrow $ S min tại $a=0 $ hoặc $a=1 $ Vậy để S đặt giá trị nhỏ nhất thì $a\in\{0;1\} $ tương tự $b\in\{0;1\} $ , $c\in\{0;1\} $, $d\in\{0;1\} $
Nếu có 1 số bằng 1 thì $S\geq 0 $
Nếu cả 4 số bằng 0 thì $S=0 $
Ví dụ 3 : Cho 3 số dương$ x,y,z $ thỏa mãn $x+y+z=1 $
CMBDT: $xy+yz+xz-2xyz $$\leq27 $
Lời Giải $xy+yz+xz-2xyz =x(y+z)+yz-2xyz $
Cố định x xét $f(yz)=x(1-x)+yz-2xyz-\frac{7}{27} $
Ta có yz $\leq $$\frac{(y+z)^2}{4}=\frac {(1-x)^2}{4} $
=>$ yz \in [0;\frac {(1-x)^2}{4}] $
$f(0)=x(1-x)-7/27 <- $$(x^2-x+1/4) $ $<0 $ $\Rightarrow f(0)<0 $
$f(\frac{(1-x)^2}{4})=x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{4}-2\frac {(1-x)^2}{4}-7/27
=\frac{-1}{2}(x-1/3)^2(x+1/6) \leq 0 $
vậy $f(\frac{(1-x)^2}{4}) \leq 0\Rightarrow $ dpcm
Hoàn toàn tương tự , ta có thể giải quyết bài toán sau :
Ví dụ 4 Cho 3 số ko âm $a,b,c $ thỏa mãn $a+b+c=1 $CMBDT: $a^3+b^3+c^3+6abc \geq \frac {1}{4} $
MAI POST TIẾP

**psquang_pbc** · 11-11-2007, 12:58 PM

Nếu mình nhớ không nhầm đây là 1 bài viết của tác giả Đức Trung ( nick trên mathlinks là duc trung ) cùng với 1 người khác nữa .Để khi nào tìm lại rồi up sau

chien than · 11-11-2007, 05:48 PM

Cái này là giáo án chuyên đề của dhsphn,còn Mr Nguyễn là caothucodon,bài post này được trích trực tiếp từ diendan3t.net

**psquang_pbc** · 11-11-2007, 07:05 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chien than

Cái này là giáo án chuyên đề của dhsphn,còn Mr Nguyễn là caothucodon,bài post này được trích trực tiếp từ diendan3t.net

Có lẽ ai đó quote sang thôi, chứ cái bài này anh đọc lâu lắm rồi ( bằng tiếng Anh, 2 mặt có 2 cái hình vẽ minh họa )

n.t.tuan · 11-11-2007, 08:25 PM

Nếu thế thì post tiếp đi, anh đang thấy hay.

Có thể tham khảo thêm cuốn ''Nguyên tắc biên'' của N.H.Đ.

**ghjk** · 13-11-2007, 11:57 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Mr Nguyen

Xin mở đầu phương phap' này là 2 định lý sau:
Định lý 1 Nếu $f(x) $ là hàm bậc nhất theo $x $ thì : nếu $f(a) \geq 0 $ , $f(b) $ $\geq $0 khi đó $f(x) \geq 0 $ với mọi $x\in[a,b] $

Định lý 2 : Nếu f(x) là hàm bậc nhất theo x thì : $\min\{f(a);f(b)\} $$ \leq $$f(x) $$\leq $$max \{f(a);f(b)\} $ với mọi $x $$\in $$[a,b] $

Các tính chất hàm bậc nhất trên đây có hình minh họa hình học rất dễ hiểu ( mình ko biết vẽ hình minh hoa các bạn thông cảm ) Vận dụng các tính chất này ta có thể Cm được nhiều BDT hay và khó.

Ví dụ 1 [TEX]Cho $x,y,z,\in [0,2] $ ,CMR: $2(x+y+z)(xy+yz+xz) \leq 4 $(*)

Lời Giải:BDT(*)$\Leftrightarrow(2-y-z)x+2(y+z)-yz-4\leq 0 $
Xét $f(x) =(2-y-z)x+2(y+z)-yz-4 $ với $x \in[0,2] $
Ta có $f(0)=-(2-y)(2-z)\leq 0 f(2)=-yz \leq 0 $
=> $f(x) \leq 0 $ với $x\in[0,2] $ (dpcm)
Ví dụ 2 Cho $a,b,c,d\in $ CM BDT:
$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+ab+c+d\leq 1 $
Lời giải $C_1 $Cố định $b,c,d $ xét hàm bậc nhất
$f(a)=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d-1 $
$ f(1)=b+c+d\geq 0 $
$f(0)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+c+d-1 $
Cố định $c,d $ xét :
$f(b)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+c+d-1 $
$f(1)=c+d \geq 0 $
$f(0)=(1-c)(1-d)+c+d-1=cd \geq $ 0
$\Rightarrow f(b) \geq 0 $ với mọi $b\in [0;1] $
$C_2 $: đặt S$=f(a)=(1-a)(1-b)(1-c)(1_d)+a+b+c+d-1 $
$\Rightarrow $ S min tại $a=0 $ hoặc $a=1 $ Vậy để S đặt giá trị nhỏ nhất thì $a\in\{0;1\} $ tương tự $b\in\{0;1\} $ , $c\in\{0;1\} $, $d\in\{0;1\} $
Nếu có 1 số bằng 1 thì $S\geq 0 $
Nếu cả 4 số bằng 0 thì $S=0 $
Ví dụ 3 : Cho 3 số dương$ x,y,z $ thỏa mãn $x+y+z=1 $
CMBDT: $xy+yz+xz-2xyz $$\leq27 $
Lời Giải $xy+yz+xz-2xyz =x(y+z)+yz-2xyz $
Cố định x xét $f(yz)=x(1-x)+yz-2xyz-\frac{7}{27} $
Ta có yz $\leq $$\frac{(y+z)^2}{4}=\frac {(1-x)^2}{4} $
=>$ yz \in [0;\frac {(1-x)^2}{4}] $
$f(0)=x(1-x)-7/27 <- $$(x^2-x+1/4) $ $<0 $ $\Rightarrow f(0)<0 $
$f(\frac{(1-x)^2}{4})=x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{4}-2\frac {(1-x)^2}{4}-7/27
=\frac{-1}{2}(x-1/3)^2(x+1/6) \leq 0 $
vậy $f(\frac{(1-x)^2}{4}) \leq 0\Rightarrow $ dpcm
Hoàn toàn tương tự , ta có thể giải quyết bài toán sau :
Ví dụ 4 Cho 3 số ko âm $a,b,c $ thỏa mãn $a+b+c=1 $CMBDT: $a^3+b^3+c^3+6abc \geq \frac {1}{4} $
MAI POST TIẾP

Ví dụ 1 hình như đ/k của x,y,z bị nhầm! Vì cho x=y=z=2 thì sai rùi!

.nếu sửa đề bài 1 lại thì mình nghĩ có 1 cách dùng LG để giải đấy!

**vipCD** · 25-11-2007, 04:26 PM

Ai có file up lên nhé
Cảm ơn

quanghuyhl07 · 06-12-2007, 02:19 PM

file thì có ben 3t hoặc toanthpt ấy.Sang đấy đọc cũng dược

n.t.tuan · 06-12-2007, 05:57 PM

Cái Định Lý 2 có thể thay f bởi hàm lồi trên [a,b]. Dùng nó ta có thể giải được bài toán sau : Cho 0<p<q là các số thực cố định và $x_1,\cdots,x_n $ là n số thực thay đổi nhưng nằm trong đoạn [p,q]. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức $\left(x_1+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+... +\frac{1}{x_n}\right) $

và $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_n}{ x_1} $.

adi · 06-12-2007, 06:42 PM

Tham khảo thêm trong mathematical olympiad challenges của Titu.

chien than · 12-01-2008, 05:49 PM

File đây mọi người:

lhp_tphcm · 22-01-2008, 10:12 PM

Hình như đây là một phương pháp sử dụng hàm số bậc nhất của Phạm Văn Thuận trên báo TTT2. Có rất nhiều bài tập áp dụng đấy!

Math10T · 29-04-2008, 10:33 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chien than

File đây mọi người:

Có cái định lí 3 và 4 bị lỗi òy kìa bạn! Mất 1 số chữ đó ! Sao ko ai để ý hết vậy ta

**ma 29** · 10-09-2008, 04:33 PM

Trích:

Nguyên văn bởi lhp_tphcm

Hình như đây là một phương pháp sử dụng hàm số bậc nhất của Phạm Văn Thuận trên báo TTT2. Có rất nhiều bài tập áp dụng đấy!

Đúng đó bạn ,nhưng tài liệu trên đầy đủ ý tưởng hơn(sử dụng tính chất hàm lồi -> vượt thcs).Trong cuốn "Bất đẳng thức, suy luận & khám phá "của Phạm Văn Thuận ,Lê Vĩ và cuốn "Giải toán bằng phương pháp đại lượng cực biên"của thầy Nguyễn Hữu Điển hay "Sáng tạo bất đẳng thức" của Phạm Kim Hùng cũng có nói.:hornytoro::hornytoro:

**ma 29** · 03-11-2008, 08:22 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chien than

File đây mọi người:

Cái file này đã hỏng không tải về được ,mình up lại dưới đây:

10-11-2007, 08:30 PM	#1
Mr Nguyen +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 3 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post	Look at the end point Xin mở đầu phương phap' này là 2 định lý sau: Định lý 1 Nếu $f(x) $ là hàm bậc nhất theo $x $ thì : nếu $f(a) \geq 0 $ , $f(b) $ $\geq $0 khi đó $f(x) \geq 0 $ với mọi $x\in[a,b] $ Định lý 2 : Nếu f(x) là hàm bậc nhất theo x thì : $\min\{f(a);f(b)\} $$ \leq $$f(x) $$\leq $$max \{f(a);f(b)\} $ với mọi $x $$\in $$[a,b] $ Các tính chất hàm bậc nhất trên đây có hình minh họa hình học rất dễ hiểu ( mình ko biết vẽ hình minh hoa các bạn thông cảm ) Vận dụng các tính chất này ta có thể Cm được nhiều BDT hay và khó. Ví dụ 1 [TEX]Cho $x,y,z,\in [0,2] $ ,CMR: $2(x+y+z)(xy+yz+xz) \leq 4 $() Lời Giải:BDT()$\Leftrightarrow(2-y-z)x+2(y+z)-yz-4\leq 0 $ Xét $f(x) =(2-y-z)x+2(y+z)-yz-4 $ với $x \in[0,2] $ Ta có $f(0)=-(2-y)(2-z)\leq 0 f(2)=-yz \leq 0 $ => $f(x) \leq 0 $ với $x\in[0,2] $ (dpcm) Ví dụ 2 Cho $a,b,c,d\in $ CM BDT: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+ab+c+d\leq 1 $ Lời giải $C_1 $Cố định $b,c,d $ xét hàm bậc nhất $f(a)=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d-1 $ $ f(1)=b+c+d\geq 0 $ $f(0)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+c+d-1 $ Cố định $c,d $ xét : $f(b)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+c+d-1 $ $f(1)=c+d \geq 0 $ $f(0)=(1-c)(1-d)+c+d-1=cd \geq $ 0 $\Rightarrow f(b) \geq 0 $ với mọi $b\in [0;1] $ $C_2 $: đặt S$=f(a)=(1-a)(1-b)(1-c)(1_d)+a+b+c+d-1 $ $\Rightarrow $ S min tại $a=0 $ hoặc $a=1 $ Vậy để S đặt giá trị nhỏ nhất thì $a\in\{0;1\} $ tương tự $b\in\{0;1\} $ , $c\in\{0;1\} $, $d\in\{0;1\} $ Nếu có 1 số bằng 1 thì $S\geq 0 $ Nếu cả 4 số bằng 0 thì $S=0 $ Ví dụ 3 : Cho 3 số dương$ x,y,z $ thỏa mãn $x+y+z=1 $ CMBDT: $xy+yz+xz-2xyz $$\leq27 $ Lời Giải $xy+yz+xz-2xyz =x(y+z)+yz-2xyz $ Cố định x xét $f(yz)=x(1-x)+yz-2xyz-\frac{7}{27} $ Ta có yz $\leq $$\frac{(y+z)^2}{4}=\frac {(1-x)^2}{4} $ =>$ yz \in [0;\frac {(1-x)^2}{4}] $ $f(0)=x(1-x)-7/27 <- $$(x^2-x+1/4) $ $<0 $ $\Rightarrow f(0)<0 $ $f(\frac{(1-x)^2}{4})=x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{4}-2\frac {(1-x)^2}{4}-7/27 =\frac{-1}{2}(x-1/3)^2(x+1/6) \leq 0 $ vậy $f(\frac{(1-x)^2}{4}) \leq 0\Rightarrow $ dpcm Hoàn toàn tương tự , ta có thể giải quyết bài toán sau : Ví dụ 4 Cho 3 số ko âm $a,b,c $ thỏa mãn $a+b+c=1 $CMBDT: $a^3+b^3+c^3+6abc \geq \frac {1}{4} $ MAI POST TIẾP thay đổi nội dung bởi: psquang_pbc, 11-11-2007 lúc 12:51 PM

11-11-2007, 12:58 PM	#2
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Nếu mình nhớ không nhầm đây là 1 bài viết của tác giả Đức Trung ( nick trên mathlinks là duc trung ) cùng với 1 người khác nữa .Để khi nào tìm lại rồi up sau __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain!

11-11-2007, 08:25 PM	#5
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Nếu thế thì post tiếp đi, anh đang thấy hay. Có thể tham khảo thêm cuốn ''Nguyên tắc biên'' của N.H.Đ. __________________ T. thay đổi nội dung bởi: psquang_pbc, 11-11-2007 lúc 08:28 PM

25-11-2007, 04:26 PM	#7
vipCD +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 403 Thanks: 34 Thanked 78 Times in 34 Posts	Ai có file up lên nhé Cảm ơn __________________ *TRY*

06-12-2007, 05:57 PM	#9
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Cái Định Lý 2 có thể thay f bởi hàm lồi trên [a,b]. Dùng nó ta có thể giải được bài toán sau : Cho 0<p<q là các số thực cố định và $x_1,\cdots,x_n $ là n số thực thay đổi nhưng nằm trong đoạn [p,q]. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức $\left(x_1+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+... +\frac{1}{x_n}\right) $ và $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_n}{ x_1} $. __________________ T.

11-11-2007, 05:48 PM	#3
chien than +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Toán 1 K41 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Bài gởi: 138 Thanks: 1 Thanked 113 Times in 53 Posts	Cái này là giáo án chuyên đề của dhsphn,còn Mr Nguyễn là caothucodon,bài post này được trích trực tiếp từ diendan3t.net

06-12-2007, 02:19 PM	#8
quanghuyhl07 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: chốn xa xôi hẻo lánh Bài gởi: 92 Thanks: 5 Thanked 10 Times in 9 Posts	file thì có ben 3t hoặc toanthpt ấy.Sang đấy đọc cũng dược

06-12-2007, 06:42 PM	#10
adi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 21 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Tham khảo thêm trong mathematical olympiad challenges của Titu.

22-01-2008, 10:12 PM	#12
lhp_tphcm +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Auckland, New Zealand Bài gởi: 33 Thanks: 15 Thanked 11 Times in 4 Posts	Hình như đây là một phương pháp sử dụng hàm số bậc nhất của Phạm Văn Thuận trên báo TTT2. Có rất nhiều bài tập áp dụng đấy!