Hướng tới kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2012 - Page 6

**huynhcongbang** · 06-03-2012, 09:31 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Win-DungDan

Tôi thấy có bài BDT rất khó của bạn Cẩn trên mathlinks xin đưa cùng các bạn trải nghiệm:
Bài 12: Cho các số thực dương sao cho a+b+c = 1 . Chứng minh rằng:
$\[\frac{36}{{{a}^{2}}b\text{+}{{b}^{2}}c\text{+}{{c} ^{2}}a}\text{+}\frac{1}{abc}\ge 343\] $ .

Một bạn ở KHTN đã có lời giải cho bài toán này. Tuy không đẹp lắm nhưng chắc là dễ theo dõi hơn lời giải rất dài của tác giả.

http://www.artofproblemsolving.com/F...56953#p2256953

avip · 06-03-2012, 09:32 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Mashimaru

Bài 18. Khánh và Châu chơi trò bốc sỏi từ một đống sỏi lúc đầu có $n $ viên. Hai bạn thay phiên nhau bốc sỏi sao cho số lượng sỏi bốc mỗi lượt phải có dạng $p - 1 $ với $p $ là một số nguyên tố. Ai lấy được viên sỏi cuối cùng là thắng cuộc. Khánh đi trước và hai bạn đều chơi tối ưu. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn $n $ để Châu có chiến thuật thắng.

Trích:

Nguyên văn bởi avip

Trước tiên đặt $T,S $ lần lượt là tập các số tự nhiên $n $ sao cho nếu ban đầu đống sỏi có $n $ viên thì Khánh, Châu có chiến thuật thắng. Qui ước $0 \in S $.
Ta cmđ: $S \cup T $ là một phân hoạch của $\mathbb{N} $ và $3,8 $ là hai số nguyên dương đầu tiên thuộc $S $.
Với $m \in \mathbb{N} $, đặt $S_m = \{n \in S \; | \; n < m \} $.

Giả sử ban đầu đống sỏi có $N $ viên. Ta có nhận xét: $N \in S \Leftrightarrow N - n + 1 $ không là số nguyên tố với mọi $n \in S_N \; (1) $. Thực vậy:
Chiều thuận: Giả sử $N \in S $. Ta có: dù Khánh bốc $p-1 $ viên sỏi với $p $ là số nguyên tố nào đi chăng nữa thì Châu cũng có chiến thuật thắng, tức là $N-(p-1) $ không thuộc $S $. Ta cm được chiều thuận.
Chiều đảo: tương tự.

Từ đây, giả sử $S $ hữu hạn, ta đặt $S = \{a_1, ... , a_s \} $ (tăng dần). Xét số sỏi là $N = \prod_{i=1}^s a_i -1 $. Từ mệnh đề $(1) $ dễ thấy $N \in S $ và $N > a_s $ (mâu thuẫn). Vậy ta có đpcm.

Bằng máy tính, em dự đoán một kết quả cho bài toán này (đúng đến $S_{7000} $). Mọi người cùng thảo luận xem sao.

Chứng minh $\forall n \in S $: nếu $n-3 \notin S $ thì $n+3 \in S $.

quykhtn · 07-03-2012, 07:22 PM

Bài 27.
Cho $ a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn: $ abc=1 $.
Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{a^8+b^3+c}+\frac{1}{b^8+c^3+a}+\frac{1}{c ^8+a^3+b} \le 1 $

Bài 28.
Cho tam giác ABC và điểm M bất kì .Chứng minh rằng:

$ \frac{MA}{BC}+\frac{MB}{CA}+\frac{MC}{AB} \ge \frac{BC+CA+AB}{MA+MB+MC} $

Mai là 8-3 rồi.Chúc các bạn nữ năm nay thi TST tốt.

quykhtn · 07-03-2012, 09:14 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 5434

------------------

Cho M nằm ngoài tam giác và $MA,MB, MC $ đều rất lớn thì baì toán sai rồi.

Nếu thế thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng mà.

macdangnghi · 07-03-2012, 09:38 PM

Bài 29.
a) Tìm tất m nguyên dương sao cho $m^2-1 $ là ước của $3^m+5^m $.

b) Tìm m nguyên dương sao cho $5^{m}+3^{m} $ chia hết cho $m^{2}-1 $.

c) Tìm các số nguyên dương $a,b,n (a>b) $ thỏa mãn $n^{a}|a^{n}+b^{n} $.

Bài 30.
Tìm hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ thỏa mãn $f(1)>0 $ và

$f(x^{4}+5y^{4}+10z^{4})=f^{4}(x)+5f^{4}(y)+10f^{4} (z) $

macdangnghi · 08-03-2012, 02:22 PM

Cho các số thực dương $a_{1},a^_{2},...,a_{n} $ thỏa mãn $\prod_{k=1}^{n}a_{k}=1 $ .CMR
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}+n-1}\geqslant \sum_{k=1}^{n}
\frac{1}{S+1-a_{k}} $ trong đó $S=\sum_{k=1}^{n}a_{k} $
------------------------------
Cho các số thực $x_{1},x_{2},...,x_{n} $ thỏa mãn $\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}=n(n-1) $. Tìm giá lớn nhất của biểu thức
P=$\prod_{i\neq j=1}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2} $
------------------------------
Cho một số điểm trên đường tròn đơn vị sao cho tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường tròn đến các điểm đã cho không vươt quá 2. Chứng minh rằng các điểm đã cho là các đỉnh của một đa giác đêu.

quykhtn · 08-03-2012, 02:46 PM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Bài 15. (tương tự TST 1992, bài 4 - TST 2007, bài 3)

Cho tam giác ABC nhọn và đặt $x=\cos A,y=\cos B,z=\cos C $. Chứng minh rằng

$\max \left\{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2;\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+ 2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+2 \right\}\ge \frac{2}{x+y+z-1}. $

Bài này có một lời giải khác như sau:
Đặt $ BC=a,CA=b,AB=c $.Không mất tổng quát,giả sử $ a \ge b \ge c $.
Ta sẽ chứng minh:
$ \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{2}{x+y+z-1}-2 $.
Sử dụng định lí hàm số cosin có:

$ \frac{x}{z}+\frac{z}{x}-2 $

$=\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{c(a^2+b^2-c^2)}+\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{a(b^2+c^2-a^2)}-2 $

$=\frac{(a(b^2+c^2-a^2)-c(a^2+b^2-c^2))^2}{ac(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)} $

$ =\frac{(a-c)^2((a+c)^2-b^2)^2)}{ac(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)} $

.

Mặt khác, $ x+y+z-1=\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{2abc} $.
Do đó:

$ \frac{2}{x+y+z-1}-4 $

$=\frac{4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}-4 $

$ =\frac{4(abc-(a+c-b)(b^2-(a-c)^2))}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $

$ =\frac{4((a-c)^2(a+c-b)+b(b-c)(b-a))}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} $

$ \le \frac{4(a-c)^2}{(b+c-a)(a+b-c)} $

.
Bài toán được chứng minh nếu:

$ \frac{(a-c)^2((a+c)^2-b^2)^2}{ac(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)} \ge \frac{4(a-c)^2}{(b+c-a)(a+b-c)} $

Hay là:

$ ((a+c)^2-b^2)^2(b^2-(a-c)^2) \ge 4ac(b^4-(a^2-c^2)^2) $

Chú ý rằng: $ (a+c)^2-b^2-2ac=a^2+c^2-b^2 > 0 $
Và $ ((a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2)-2(b^4-(a^2-c^2)^2) $
$=(a^2-c^2)^2+2b^2(a^2+c^2)-3b^4 $
$ \ge (b^2-c^2)^2+2b^2(b^2+c^2)-3b^4=c^4 > 0 $.
Suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Mình xin đóng góp tiếp các bài toán sau:
Bài 31.
Cho tam giác ABC nội tiếp (O),ngoại tiếp (I).(I) tiếp xúc với BC,CA,AB lần lượt tại D , E ,F.Gọi H là giao điểm của CI với DF , K là giao điểm của BI với DE và M là giao điểm của HE với KF.Chứng minh rằng O,M,I thẳng hàng.

Bài 32.
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là $ a,b,c $.Gọi $ \ m_a , \ m_b ,\ m_c $ và $ \l_a , \l_b , \l_c $ là độ dài ba đường trung tuyến và ba đường phân giác trong .Chứng minh rằng:

$ (\ m_a+\ m_b+\ m_c )\left(\frac{1}{\l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{\l_c} \right) \ge (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right). $

Bài 33.
Cho $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng $ C_{2011p^{2010}-1}^{p-1}-1 $ chia hết cho $ p^{2012}. $

Bài 34.
Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa mãn: $ a^2+b^2+c^2=3 $.
Chứng minh rằng:

$ \frac{a}{b+c^3}+\frac{b}{c+a^3}+\frac{c}{a+b^3} \ge \frac{3}{2}. $

macdangnghi · 08-03-2012, 02:52 PM

Xác định đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn $P[(x+1)^{2012}]=[P(x)]^{2012}+\sum_{k=0}^{2011}C_{n}^{k}x^{k} $ với mọi x\in \mathbb{R}

kien10a1 · 08-03-2012, 09:38 PM

Bài 31: Bài này có lẽ là ghép từ 2 bài toán quen thuộc.
Trước tiên, ta có kết quả OI là đường thẳng Euler của tam giác DEF.
Ta chứng minh M, trực tâm J của DEF và I thẳng hàng là xong. Hạ các đường cao FT, ES của tam giác DEF.
Có $\widehat{HED}=\widehat{HDE}=\widehat{DFK} $ nên E,F,H,K đồng viên, suy ra $\overline{MF}.\overline{MK}=\overline{Me}.\overlin e{MH} $
Xét 2 đường tròn đường kính FK và EH:thì thấy M có cùng phương tích với cả 2, I là trực tâm DHK, J là trực tâm DEF nên cũng có I,J có cùng phương tích với 2 đường tròn trên, suy ra M,I,J thẳng hàng và có ĐPCM

macdangnghi · 09-03-2012, 10:50 AM

Bài 35: Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $ và các điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1} $ sao cho
$\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1},
\angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1},
\angle CBA=\angle C_{1}B_{1}A_{1} $. Chứng minh rằng trực tâm của hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1} $ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

nghiepdu-socap · 09-03-2012, 10:53 AM

Trích:

Nguyên văn bởi macdangnghi

Bài 35: Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $ và các điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1} $ sao cho
$\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1},
\angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1},
\angle CBA=\angle C_{1}B_{1}A_{1} $. Chứng minh rằng trực tâm của hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1} $ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài này là bài hình vòng 1 đề thi chọn đội tuyển dự thi quốc gia của Hà Tĩnh năm nay. Có thể sử dụng phép vị tự quay

kien10a1 · 09-03-2012, 11:52 AM

Trích:

Nguyên văn bởi macdangnghi

Bài 35: Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $ và các điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1} $ sao cho
$\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1},
\angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1},
\angle CBA=\angle C_{1}B_{1}A_{1} $. Chứng minh rằng trực tâm của hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1} $ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Thực ra là nó cũng đã có trên diễn đàn rồi, phần sau của bài này: [Only registered and activated users can see links. ]

**namdung** · 09-03-2012, 03:31 PM

Trích:

Nguyên văn bởi quykhtn

Bài 27.
Cho $ a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn: $ abc=1 $.
Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{a^8+b^3+c}+\frac{1}{b^8+c^3+a}+\frac{1}{c ^8+a^3+b} \le 1 $

Hướng dẫn bài này: Áp dụng CBS ta có

$ (a^8 + b^3 + c)(a^{-\frac{8}{3}} + b^{\frac{7}{3}} + c^{\frac{13}{3}}) \ge (a^{\frac{8}{3}} + b^{\frac{8}{3}} + c^{\frac{8}{3}})^2.
$
Sau đó xử lý tiếp, dùng một số bất đẳng thức quen thuộc.

Ý nghĩa quan trọng của bất đẳng thức trên là ta đã quy đồng được mẫu số và đưa về việc chứng minh một bất đẳng thức đối xứng. Dùng abc = 1 để thuần nhất hóa.

king_math96 · 09-03-2012, 08:58 PM

Bài 36: Tìm hằng số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng $\forall x_{k}>0(k=\overline{1,n})$ thỏa mãn:$x_1 \le x_2 \le ... \le x_{n}$:
$$k.\frac{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})^2}{x_{n}} \le \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k} \right)-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_{k}} \le k.\frac{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})^2}{x_1}$$.
Nguồn: Nguyễn Bảo Phúc

macdangnghi · 10-03-2012, 09:13 AM

Bài 36: Cho p nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương tồn tại đa thức Q(x) với hệ số nguyên sao cho Q(1),Q(2),...,Q(n) phân biệt và là lũy thừa của p.
------------------------------
Bài 37: Cho tứ giác lồi ABCD. E,F theo thứ tự thuộc các cạnh AD,BC sao cho $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC} $. Tia FE cắt các tia BA,CD lần lượt tại S và T. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAE,SBF,TCF và TDE cùng đi qua một điểm.

07-03-2012, 07:22 PM	#78
quykhtn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2012 Đến từ: Cái nôi của phở Bài gởi: 259 Thanks: 78 Thanked 697 Times in 193 Posts	Bài 27. Cho $ a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn: $ abc=1 $. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{a^8+b^3+c}+\frac{1}{b^8+c^3+a}+\frac{1}{c ^8+a^3+b} \le 1 $ Bài 28. Cho tam giác ABC và điểm M bất kì .Chứng minh rằng: $ \frac{MA}{BC}+\frac{MB}{CA}+\frac{MC}{AB} \ge \frac{BC+CA+AB}{MA+MB+MC} $ Mai là 8-3 rồi.Chúc các bạn nữ năm nay thi TST tốt. thay đổi nội dung bởi: congbang_dhsp, 08-03-2012 lúc 12:43 PM

07-03-2012, 09:38 PM	#80
macdangnghi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 11 Thanks: 1 Thanked 15 Times in 7 Posts	Bài 29. a) Tìm tất m nguyên dương sao cho $m^2-1 $ là ước của $3^m+5^m $. b) Tìm m nguyên dương sao cho $5^{m}+3^{m} $ chia hết cho $m^{2}-1 $. c) Tìm các số nguyên dương $a,b,n (a>b) $ thỏa mãn $n^{a}\|a^{n}+b^{n} $. Bài 30. Tìm hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ thỏa mãn $f(1)>0 $ và $f(x^{4}+5y^{4}+10z^{4})=f^{4}(x)+5f^{4}(y)+10f^{4} (z) $ thay đổi nội dung bởi: congbang_dhsp, 08-03-2012 lúc 12:47 PM Lý do: Chỉnh sửa Latex

08-03-2012, 02:22 PM	#81
macdangnghi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 11 Thanks: 1 Thanked 15 Times in 7 Posts	Cho các số thực dương $a_{1},a^_{2},...,a_{n} $ thỏa mãn $\prod_{k=1}^{n}a_{k}=1 $ .CMR $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}+n-1}\geqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S+1-a_{k}} $ trong đó $S=\sum_{k=1}^{n}a_{k} $ ------------------------------ Cho các số thực $x_{1},x_{2},...,x_{n} $ thỏa mãn $\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}=n(n-1) $. Tìm giá lớn nhất của biểu thức P=$\prod_{i\neq j=1}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2} $ ------------------------------ Cho một số điểm trên đường tròn đơn vị sao cho tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường tròn đến các điểm đã cho không vươt quá 2. Chứng minh rằng các điểm đã cho là các đỉnh của một đa giác đêu. thay đổi nội dung bởi: macdangnghi, 08-03-2012 lúc 02:44 PM Lý do: Tự động gộp bài

08-03-2012, 09:38 PM	#84
kien10a1 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc Bài gởi: 371 Thanks: 43 Thanked 263 Times in 153 Posts	Bài 31: Bài này có lẽ là ghép từ 2 bài toán quen thuộc. Trước tiên, ta có kết quả OI là đường thẳng Euler của tam giác DEF. Ta chứng minh M, trực tâm J của DEF và I thẳng hàng là xong. Hạ các đường cao FT, ES của tam giác DEF. Có $\widehat{HED}=\widehat{HDE}=\widehat{DFK} $ nên E,F,H,K đồng viên, suy ra $\overline{MF}.\overline{MK}=\overline{Me}.\overlin e{MH} $ Xét 2 đường tròn đường kính FK và EH:thì thấy M có cùng phương tích với cả 2, I là trực tâm DHK, J là trực tâm DEF nên cũng có I,J có cùng phương tích với 2 đường tròn trên, suy ra M,I,J thẳng hàng và có ĐPCM tên thay thật - IMO __________________ Quay về với nơi bắt đầu

09-03-2012, 08:58 PM	#89
king_math96 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Đến từ: huyện lặng gió, tỉnh quan họ Bài gởi: 170 Thanks: 156 Thanked 87 Times in 50 Posts	Bài 36: Tìm hằng số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng $\forall x_{k}>0(k=\overline{1,n})$ thỏa mãn:$x_1 \le x_2 \le ... \le x_{n}$: $$k.\frac{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})^2}{x_{n}} \le \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k} \right)-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_{k}} \le k.\frac{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})^2}{x_1}$$. Nguồn: Nguyễn Bảo Phúc __________________ Giang hồ đẫm máu anh không sợ Chỉ sợ đường về vắng bóng em.

08-03-2012, 02:52 PM	#83
macdangnghi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 11 Thanks: 1 Thanked 15 Times in 7 Posts	Xác định đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn $P[(x+1)^{2012}]=[P(x)]^{2012}+\sum_{k=0}^{2011}C_{n}^{k}x^{k} $ với mọi x\in \mathbb{R}

09-03-2012, 10:50 AM	#85
macdangnghi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 11 Thanks: 1 Thanked 15 Times in 7 Posts	Bài 35: Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $ và các điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1} $ sao cho $\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1}, \angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1}, \angle CBA=\angle C_{1}B_{1}A_{1} $. Chứng minh rằng trực tâm của hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1} $ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

10-03-2012, 09:13 AM	#90
macdangnghi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 11 Thanks: 1 Thanked 15 Times in 7 Posts	Bài 36: Cho p nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương tồn tại đa thức Q(x) với hệ số nguyên sao cho Q(1),Q(2),...,Q(n) phân biệt và là lũy thừa của p. ------------------------------ Bài 37: Cho tứ giác lồi ABCD. E,F theo thứ tự thuộc các cạnh AD,BC sao cho $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC} $. Tia FE cắt các tia BA,CD lần lượt tại S và T. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAE,SBF,TCF và TDE cùng đi qua một điểm. thay đổi nội dung bởi: macdangnghi, 10-03-2012 lúc 09:19 AM Lý do: Tự động gộp bài