Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-01-2018, 01:00 PM   #1
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 59
Thanks: 5
Thanked 38 Times in 28 Posts
Bài toán về đồ thị hàm số VMO 2018

Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$ trong mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$. Một đường thẳng $(d)$ thay đổi cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1;\,x_2;\,x_3$.
  1. Chứng minh rằng đại lượng $\sqrt[3]{{\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{x_3^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_2}{x_3}}}{{x_1^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_3}{x_1}}}{{x_2^2}}}}$ là một hằng số.
  2. Chứng minh rằng
    \[\sqrt[3]{{\frac{{x_1^2}}{{{x_2}{x_3}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_2^2}}{{{x_3}{x_1}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_3^2}}{{{x_1}{x_2}}}}} < - \frac{{15}}{4}.\]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 11-01-2018 lúc 06:17 PM
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
thaygiaocht (11-01-2018)
Old 11-01-2018, 01:26 PM   #2
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 164
Thanks: 792
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An View Post
Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$ trong mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$. Một đường thẳng $(d)$ thay đổi cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1;\,x_2;\,x_3$.
  1. Chứng minh rằng đại lượng $\sqrt[3]{{\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{x_3^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_2}{x_3}}}{{x_1^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_3}{x_1}}}{{x_1^2}}}}$ là một hằng số.
  2. Chứng minh rằng
    \[\sqrt[3]{{\frac{{x_1^2}}{{{x_2}{x_3}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_2^2}}{{{x_3}{x_1}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_3^2}}{{{x_1}{x_2}}}}} \ge - \frac{{15}}{4
    .}.\]
Mình xin đưa ra một hướng tiếp cận

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg 106.jpg (47.6 KB, 103 lần tải)
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 11-01-2018 lúc 03:04 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
Unknowing (11-01-2018)
Old 11-01-2018, 01:32 PM   #3
MATHSCOPE
Administrator

 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 19
Thanks: 85
Thanked 172 Times in 64 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaygiaocht View Post
Mình xin đưa ra một hướng tiếp cận https://goo.gl/ce1gY1
Đặt căn thì nó sẽ gọn và đỡ phải khảo sát hàm số
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MATHSCOPE is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to MATHSCOPE For This Useful Post:
thaygiaocht (11-01-2018)
Old 11-01-2018, 05:24 PM   #4
tuanhoangsse
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2018
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Cảm ơn bác , cho em xin thêm thông tin thêm vào inbox ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tuanhoangsse is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2018, 05:57 PM   #5
tmp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 142
Thanks: 25
Thanked 16 Times in 13 Posts
Bài này như bài thi HSG của bảng B là kshs và dùng định lý Viet .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tmp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2018, 06:27 PM   #6
2M
thảo dân
 
2M's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 188
Thanks: 106
Thanked 508 Times in 146 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An View Post
Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$ trong mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$. Một đường thẳng $(d)$ thay đổi cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1;\,x_2;\,x_3$.
  1. Chứng minh rằng đại lượng $\sqrt[3]{{\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{x_3^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_2}{x_3}}}{{x_1^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_3}{x_1}}}{{x_1^2}}}}$ là một hằng số.
  2. Chứng minh rằng
    \[\sqrt[3]{{\frac{{x_1^2}}{{{x_2}{x_3}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_2^2}}{{{x_3}{x_1}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_3^2}}{{{x_1}{x_2}}}}} \ge - \frac{{15}}{4}.\]
Ta thấy phương trình của $(d)$ ở dạng $(d):\;y=kx+l$ với $kl\ne 0$. Khi đó $x_1;\,x_2;\,x_3$ là nghiệm của phương trình
\[kx + l = \sqrt[3]{{{x^2}}}.\]
Đặt $\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{x_i}}}}=t_i$ thì $t_i$ là nghiệm của phương trình
\[lx^3-x+k=0.\]
Do đó mà ta có
\[\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{x_3^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_2}{x_3}}}{{x_1^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_3}{x_1}}}{{x_1^2}}}} &= \dfrac{{t_1^3 + t_2^3 + t_3^3}}{{{t_1}{t_2}{t_3}}}\\
&= 3 + \dfrac{{\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3}} \right)\left( {t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 - {t_1}{t_2} - {t_2}{t_3} - {t_3}{t_1}} \right)}}{{{t_1}{t_2}{t_3}}}
\end{array}.\]
Theo Viettè thì $t_1+t_2+t_3=0$, cho nên
\[\sqrt[3]{{\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{x_3^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_2}{x_3}}}{{x_1^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_3}{x_1}}}{{x_1^2}}}}=3.\]
Lại đi đặt $\sqrt[3]{{\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{x_3^2}}}} =a;\, \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_2}{x_3}}}{{x_1^2}}}} =b;\, \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_3}{x_1}}}{{x_1^2}}}}=c$ để có
\[a+b+c=3;\;abc=1.\]
Khi đó thì
\[M=\sqrt[3]{{\frac{{x_1^2}}{{{x_2}{x_3}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_2^2}}{{{x_3}{x_1}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_3^2}}{{{x_1}{x_2}}}}} =ab+bc+ca.\]
Ta thấy trong $a;\,b;\,c$ phải có 2 số âm và một số dương, kẻo không thì theo AM-GM có $a=b=c=1$ mâu thuẫn với việc ba giao điểm phân biệt. Ta giả sử $a>0>b> c$ thì có
\[a - 3 = - b - c \ge 2\sqrt {bc} = \frac{2}{{\sqrt a }}.\]
Từ đó có $a> 4$ và do đó
\[M = a\left( {3 - a} \right) + \frac{1}{a} = - \frac{{15}}{4} - \frac{{{{\left( {2a - 1} \right)}^2}\left( {a - 4} \right)}}{{4a}} < - \frac{{15}}{4}.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
./.
2M is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to 2M For This Useful Post:
buratinogigle (13-01-2018), NguyenHoang123 (11-01-2018)
Old 12-01-2018, 12:23 AM   #7
nguyentatthu
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: BH
Bài gởi: 211
Thanks: 135
Thanked 344 Times in 91 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An View Post
Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$ trong mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$. Một đường thẳng $(d)$ thay đổi cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1;\,x_2;\,x_3$.
  1. Chứng minh rằng đại lượng $\sqrt[3]{{\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{x_3^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_2}{x_3}}}{{x_1^2}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{{x_3}{x_1}}}{{x_1^2}}}}$ là một hằng số.
  2. Chứng minh rằng
    \[\sqrt[3]{{\frac{{x_1^2}}{{{x_2}{x_3}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_2^2}}{{{x_3}{x_1}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x_3^2}}{{{x_1}{x_2}}}}} < - \frac{{15}}{4}.\]
Góp thêm cách giải
Giả sử đường thẳng $d:y=ax+b,\ a \neq 0$. Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ là: $\sqrt[3]{x^2}=ax+b.$\\
Đặt $t=\sqrt[3]{x}$, ta có phương trình
$$at^3-t^2+b=0. \eqno (1)$$
Theo đề bài thì phương trình (1) có ba nghiệm $t_1,\ t_2,\ t_3$ và theo định lí Viet ta có
$$\begin{cases} t_1+t_2+t_3=\dfrac{1}{a}\\ t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=0\\ t_1t_2t_3=-\dfrac{b}{a} \end{cases}$$
Khi đó
$$\begin{aligned} \sqrt[3]{\dfrac{x_1x_2}{x_3^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x_2x_3}{x_1^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x_3x_1}{x_2^2}} &= \dfrac{t_1t_2}{t_3^2}+\dfrac{t_2t_3}{t_1^2}+\dfrac {t_3t_1}{t_2^2}\\&= \dfrac{(t_1t_2)^3+(t_2t_3)^3+(t_3t_1)^3}{(t_1t_2t_ 3)^2}\\&= \dfrac{3t_1t_2.t_2t_3.t_3t_1}{(t_1t_2t_3)^2}=3. \end{aligned}$$
Ta có
$$\sqrt[3]{\dfrac{x_1^2}{x_2x_3}}+\sqrt[3]{\dfrac{x_2^2}{x_3x_1}}+\sqrt[3]{\dfrac{x_3^2}{x_1x_2}}=\dfrac{t_1^3+t_2^3+t_3^3}{ t_1t_2t_3}.$$
Mà $$t_1^3+t_2^3+t_3^3=(t_1+t_2+t_3)(t_1^2+t_2^2+t_3^ 2-t_1t_2-t_2t_3-t_3t_1)+3t_1t_2t_3=(t_1+t_2+t_3)^3+3t_1t_2t_3.$$
Nên ta chứng minh $$\dfrac{(t_1+t_2+t_3)^3}{t_1t_2t_3}=-\dfrac{1}{a^2b}<-\dfrac{27}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2b} >\dfrac{27}{4}. \eqno (2) $$
Xét hàm số $f(t)=at^3-t^2+b$ ta có $f'(t)=3at^2-2t=t(3at-2)$, suy ra $f'(t)=0 \Leftrightarrow t=0,\ t=\dfrac{2}{3a}$.\\
Ta có $f(0)=b,\ f\left(\dfrac{2}{3a}\right)=b-\dfrac{4}{27a^2}$. Mà phương trình $f(t)=0$ có ba nghiệm phân biệt nên ta có $$f(0)f\left(\dfrac{2}{3a}\right)<0 \Leftrightarrow 0<b<\dfrac{4}{27a^2} \Rightarrow \dfrac{1}{a^2b}>\dfrac{27}{4}.$$
Bài toán được chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nguyentatthu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to nguyentatthu For This Useful Post:
buratinogigle (13-01-2018), thaygiaocht (12-01-2018), zinxinh (12-01-2018)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
hsg quoc gia, vmo 2018

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:09 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 68.80 k/78.02 k (11.82%)]