Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-08-2011, 08:08 AM   #1
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Topic luyện giải các bài toán phương trình hàm

Thể theo nhu cầu của nhiều bạn đang ôn thi học sinh giỏi, mình mở ra topic này tập trung những bài phương trình hàm hay để các thành viên có thể cùng thảo luận. Từ nay bất kỳ các bài phương trình hàm nào, các bạn cũng đều có thể post vào trong topic này.
Mở đầu:
Bài 1: (TST Mỹ 2003) Tìm tất cả các hàm $f: N^* \rightarrow N^* $ thõa mãn:
$f(m-n).f(m+n)=f(m^2) $ với mọi $m,n \in N^* $.
Nguồn: mathlinks.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 13 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post:
AnhIsGod (15-05-2012), conan99 (28-02-2013), cool hunter (15-07-2013), daylight (22-06-2012), ghetvan (03-08-2011), hgly1996 (06-06-2012), huynhcongbang (20-11-2011), nhox12764 (27-11-2011), sang89 (03-08-2011), tangchauphong (06-06-2012), thanhorg (06-06-2012), Tranminhngoc (03-08-2011), vjpd3pz41iuai (06-06-2012)
Old 03-08-2011, 10:36 AM   #2
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Ở đây có rồi mà anh
[Only registered and activated users can see links. ]
Chắc tại mùa VMO chưa tới nên topic hơi bị nguội.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
Highschoolmath (03-08-2011)
Old 03-08-2011, 10:59 AM   #3
FunFun
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 69
Thanks: 10
Thanked 52 Times in 38 Posts
Uhm , nhưng topic đó ngâm lâu lắm rồi , chuyển qua topic khác cũng đc vậy^^
Mở hàng nhé.
Bài 1:


Thế $n=1,n=2,3 $ suy ra :
+$\frac{f(m-1)}{f(m-2)}=\frac{f(m+2)}{f(m+1)} $ (*)
+$\frac{f(m-2)}{f(m-3)}=\frac{f(m+3)}{f(m+2)} $
Mà $ \frac{f(m-2)}{f(m-3)}=\frac{f(m+1)}{f(m)}=\frac{f(m+4)}{f(m+3)} $(sử dụng *)
$\Rightarrow \frac{f(m+4)}{f(m+3)}=\frac{f(m+3)}{f(m+2)} $
$\Rightarrow \frac{ f(m+1)}{f(m)}=const $
$\Rightarrow f(m)=C.d^m $
Từ đây suy ra $c=1;m=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
FunFun is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to FunFun For This Useful Post:
Highschoolmath (03-08-2011)
Old 03-08-2011, 11:07 AM   #4
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Topic cũ mới được 22 trang nên tạo topic mới là chưa cần thiết.Mình nghĩ Không nên tạo nhiều topic trùng nhau, chỉ trừ trường hợp số trang quá dài như topic bất đẳng thức hơn 100 trang lúc đó mới tách.
1. Topic phương trình hàm cũ đã có trong mục chú ý ở đầu trang nên rất dễ truy cập.
2. Toipc mới nếu để ở mục chú ý sẽ tạo sự trùng lặp, nếu không để ở mục chú ý thì thường xuyên phải có người gửi bài nếu không theo thời gian nó sẽ bị chìm xuống.
Đấy là lí do vì sao chúng ta nên duy trì topic cũ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 03-08-2011 lúc 11:13 AM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to batigoal For This Useful Post:
Highschoolmath (03-08-2011)
Old 03-08-2011, 11:51 AM   #5
FunFun
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 69
Thanks: 10
Thanked 52 Times in 38 Posts
^^ nhưng vì nó cũng cũ nên khó có sự sôi nổi . .Nó đã để nó hơn 4 năm nay và chỉ mới có 22 trang .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
FunFun is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to FunFun For This Useful Post:
Highschoolmath (03-08-2011)
Old 03-08-2011, 02:37 PM   #6
Tranminhngoc
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 200
Thanks: 83
Thanked 192 Times in 92 Posts
Theo mình nên tách 2 topic này ra, bởi Phương trình hàm và đa thức là 2 mảng hoàn toàn khác xa nhau. Kể các phương trình hàm đa thức, mình thấy kĩ thuật giải cũng rất khác phương trình hàm "Tự do".

P/s: Nếu có tách thì nên tách thành "Phương trình hàm" và "Các bài toán về Đa thức". Có thể để Phương trình hàm đa thức vào mục đa thức vì các bài toán dạng này sử dụng rất nhiều tính chất của đa thức
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
My Geometry Blog : )
https://tranminhngocctlhp.wordpress.com/
Tranminhngoc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Tranminhngoc For This Useful Post:
Highschoolmath (03-08-2011)
Old 27-08-2011, 12:13 AM   #7
Sqrt_e
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Bài gởi: 39
Thanks: 21
Thanked 5 Times in 3 Posts
Cho mình hỏi một bài PT hàm. Mình mới học nên chưa thạo.
Tìm các hàm số:$\[f: R\to R\] $ thỏa mãn điều kiện :
$\[f(x + y) + f(x - y) - 2f(x)f(1 + y) = 2xy(3y - {x^2})\] $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Sqrt_e is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-09-2011, 05:02 PM   #8
Copal
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Bài gởi: 36
Thanks: 19
Thanked 0 Times in 0 Posts
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa $f(x^2 - y) = xf(x) - f(y) $ với mọi $x,y $ thuộc $\mathbb{R} $.
Em mới học về phương trình hàm giải thử bài này mọi người xem giúp em có vấn đề gì không ạ .

Cho $x = 0 $ thì $f(y) + f(-y) = 0 $ nên $f $ là hàm lẻ.
Thay $x = y = 1 $ ta được $f(0) = 0 $.
Thay $y = 0 $ ta có $f(x^2) = xf(x) \Leftrightarrow \frac{f(x^2)}{x^2} = \frac{f(x)}{x} $
Đặt $\frac{f(x)}{x} = g(x) $ ta có $g(x^2) = g(x) $
Do f là hàm lẻ nên ta xét $x \geq 0 $
$g(x^2) = g(x) = \ldots =g(x^{\frac{1}{2n}}) $
Cho $n \to +\infty $ ta được $g(x) = g(1) = f(1) $
Vậy: $f(x) = f(1)x $
Đặt $f(1) = a $ thì $f(x) = ax $. Thử lại thỏa đề bài
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 14-09-2011 lúc 05:19 PM
Copal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-11-2011, 09:28 AM   #9
chickenangel
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Bài gởi: 4
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Mấy bạn ơi! Có bài toán như sau:

Giải phương trình hàm $f: \mathbb R \to \mathbb R $ thỏa mãn:
$f(x^3+y^3)= x^2.f(x)+y^2.f(y) $

Lời giải của mình như sau:

Đặt $f(x)= x.g(x) $, phương trình trở thành :
$x^3.g(x^3+y^3)+y^3.g(x^3+y^3)=x^3.g(x)+y^3.g(y) $

Đặc biệt, khi $x=y\neq0 $, ta có:
$2.x^3.g(2.x^3)=2.x^3.g(x)\rightarrow g(2.x^3)=g(x) $

Vì mọi giá trị của $x\neq0 $ đều thỏa mãn đẳng thức trên nên với mọi $x \neq 0 $, g(x) đều có chung một giá trị.

Do đó g(x)=const.Vậy f(x)=a.x.

Thử: Thay f(x)= a.x vào đẳng thức đa cho ta dc 1 đẳng thức luôn đúng.

Thế mà thằng bạn mình bảo mình sai.Theo các bạn thì sai chỗ nào?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 19-11-2011 lúc 10:42 AM Lý do: Lần sau gõ Latex nhé bạn.
chickenangel is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-11-2011, 10:39 PM   #10
thanhorg
+Thành Viên+
 
thanhorg's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Đến từ: T1K20- Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 213
Thanks: 155
Thanked 145 Times in 89 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi chickenangel View Post
Mấy bạn ơi! Có bài toán như sau:

Giải phương trình hàm $f: \mathbb R \to \mathbb R $ thỏa mãn:
$f(x^3+y^3)= x^2.f(x)+y^2.f(y) $

Lời giải của mình như sau:

Đặt $f(x)= x.g(x) $, phương trình trở thành :
$x^3.g(x^3+y^3)+y^3.g(x^3+y^3)=x^3.g(x)+y^3.g(y) $

Đặc biệt, khi $x=y\neq0 $, ta có:
$2.x^3.g(2.x^3)=2.x^3.g(x)\rightarrow g(2.x^3)=g(x) $

Vì mọi giá trị của $x\neq0 $ đều thỏa mãn đẳng thức trên nên với mọi $x \neq 0 $, g(x) đều có chung một giá trị.

Do đó g(x)=const.Vậy f(x)=a.x.

Thử: Thay f(x)= a.x vào đẳng thức đa cho ta dc 1 đẳng thức luôn đúng.

Thế mà thằng bạn mình bảo mình sai.Theo các bạn thì sai chỗ nào?
Mình nghĩ là bạn nhầm ở chỗ $g(2.x^3)=g(x) \rightarrow g(x) =const $ . nếu chỉ có thế thì chưa thể suy ra f là hàm hằng nó còn thiếu điều kiện nào đó ( VD f liên tục chẳng hạn ).
Mình có cách giải như sau:
Ta dễ dàng có các kết quả sau$f(0)=0 ; f(x^3)=x^2.f(x) $ và f cộng tính.suy ra $f(k.x)=k.f(x) $
đặt $y=(x+1)^3+(x-1)^3=2x^3+6x $
áp dụng các kết quả trên ta có $f(y)=2.x^2.f(x)+6f(x) $ .(1)
Mặt khác theo giả thiết thì $f(y)= (x+1)^2.f(x+1)+(x-1)^2.f(x-1)=..=(2x^2+2)f(x)+4f(1).f(x) $ (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra $f(x)=f(1).x $ hay $f(x)=a.x $ với mọi x .thử lại thỏa mãn.
KL: f(x)=a.x
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thanhorg is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-11-2011, 02:55 PM   #11
shyhaeky_1111
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Bài gởi: 5
Thanks: 5
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Copal View Post
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa $f(x^2 - y) = xf(x) - f(y) $ với mọi $x,y $ thuộc $\mathbb{R} $.
Em mới học về phương trình hàm giải thử bài này mọi người xem giúp em có vấn đề gì không ạ .

Cho $x = 0 $ thì $f(y) + f(-y) = 0 $ nên $f $ là hàm lẻ.
Thay $x = y = 1 $ ta được $f(0) = 0 $.
Thay $y = 0 $ ta có $f(x^2) = xf(x) \Leftrightarrow \frac{f(x^2)}{x^2} = \frac{f(x)}{x} $
Đặt $\frac{f(x)}{x} = g(x) $ ta có $g(x^2) = g(x) $
Do f là hàm lẻ nên ta xét $x \geq 0 $
$g(x^2) = g(x) = \ldots =g(x^{\frac{1}{2n}}) $
Cho $n \to +\infty $ ta được $g(x) = g(1) = f(1) $
Vậy: $f(x) = f(1)x $
Đặt $f(1) = a $ thì $f(x) = ax $. Thử lại thỏa đề bài
Chưa có tính liên tục ko đc làm thế đâu bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
shyhaeky_1111 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 22-12-2011, 11:05 PM   #12
element
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 21
Thanks: 7
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi Copal View Post
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa $f(x^2 - y) = xf(x) - f(y) $ với mọi $x,y $ thuộc $\mathbb{R} $.
Em mới học về phương trình hàm giải thử bài này mọi người xem giúp em có vấn đề gì không ạ .

Cho $x = 0 $ thì $f(y) + f(-y) = 0 $ nên $f $ là hàm lẻ.
Thay $x = y = 1 $ ta được $f(0) = 0 $.
Thay $y = 0 $ ta có $f(x^2) = xf(x) \Leftrightarrow \frac{f(x^2)}{x^2} = \frac{f(x)}{x} $
Đặt $\frac{f(x)}{x} = g(x) $ ta có $g(x^2) = g(x) $
Do f là hàm lẻ nên ta xét $x \geq 0 $
$g(x^2) = g(x) = \ldots =g(x^{\frac{1}{2n}}) $
Cho $n \to +\infty $ ta được $g(x) = g(1) = f(1) $
Vậy: $f(x) = f(1)x $
Đặt $f(1) = a $ thì $f(x) = ax $. Thử lại thỏa đề bài
bài này đề không cho là f liên tục nên làm như bạn là sai
mình làm như sau mọi người xem thử
cách tìm
-$f(0) = 0 $
-$f(x^2) = xf(x) $ như bạn
thay $y= x^2 $
suy ra $g(x)=g(y) $ với mọi x,y thuộc R trong đó $g(x)=xf(x) $ suy ra $g(x)=c $ mọi x
suy ra$f(x)=0 $ hoặc $f(x)=\frac{c}{x} $
thử vào ta thấy chỉ có $f(x)=0 $ mọi x thuộc R thỏa mãn.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
element is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-01-2012, 08:41 PM   #13
baoduyen
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 5
Thanks: 2
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi Sqrt_e View Post
Cho mình hỏi một bài PT hàm. Mình mới học nên chưa thạo.
Tìm các hàm số:$\[f: R\to R\] $ thỏa mãn điều kiện :
$\[f(x + y) + f(x - y) - 2f(x)f(1 + y) = 2xy(3y - {x^2})\] $
Mình xin giải bài Toán này như sau:
Gọi $P(x,y) $ là phép thế $(x,y) $ vào phương trình ban đầu.
$P(x,0)\Rightarrow 2f(x)(f(1)-1)=0 $. Thử lại ta thấy $f(x)=0 $ không thỏa mãn phương trình ban đầu nên $f(1)=1 $
$P(x,1)\Rightarrow f(x+1)+f(x-1)-2f(x)f(2)=2x(3-x^2) $
$P(1,x)\Rightarrow f(1-x)-f(x+1)=2x(3x-1) $
$\Rightarrow f(x-1)+f(1-x)-2f(x).f(2)=2x(2+3x-x^2) $
$P(0,y)\Rightarrow f(y)+f(-y)=2f(0)f(y+1) $
Thay $y:=x-1 $ ta được $f(x-1)+f(1-x)=2f(0)f(x) $
$\Rightarrow 2f(0)f(x)-2f(2)f(x)=2x(2+3x-x^2) $
$\Rightarrow f(x)=\frac{2x+3x^2-x^3}{f(0)-f(2)} $
$P(1,1)\Rightarrow f(0)-f(2)=4 $
Vậy ta được $f(x)=\frac{2x+3x^2-x^3}{4} $
Thử lại ta thấy...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
baoduyen is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 22-01-2012, 07:08 PM   #14
minh_thương911
+Thành Viên+
 
minh_thương911's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: Ninh Thuận
Bài gởi: 50
Thanks: 29
Thanked 49 Times in 28 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới minh_thương911
Bài 1:
Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ sao cho với mọi x, y thuộc R ta luôn có:

$f(x-f(y))=f(x+y^{n})+f(f(y)+y^{n})+2009 $

Bài 2:
Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ thoả mãn điều kiện:

$f(f(x))=x^{2}-1996 $, với mọi x thuộc R
Mình không giỏi PTH lắm các bạn trình bài rõ giúp mình nhé. Mình cảm ơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

You may only be one person to the world but you may be the world to one person.

thay đổi nội dung bởi: minh_thương911, 22-01-2012 lúc 08:38 PM
minh_thương911 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-02-2012, 09:52 PM   #15
HocKoGioi
+Thành Viên+
 
HocKoGioi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: THCS Ngũ Hiệp
Bài gởi: 69
Thanks: 41
Thanked 35 Times in 28 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới HocKoGioi
Topic vắng quá, mình góp 2 bài không khó, trước khi giải mấy bài khó của bạn minh_thương911


Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: (0, \infty) \to (0, \infty) $ thỏa:

$(i) f(x.f(y)) = yf(x) $
$(ii) f(x) \to 0 $ khi $x \to \infty $

Bài 4:$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} $. Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} $ thỏa:

$f(x)f(y) = y^\alpha.f(\frac {x}{2}) + x^\beta.f(\frac{y}{2}), \forall x,y \in \mathbb{R}^+ $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Ghét sự thiên vị.

thay đổi nội dung bởi: HocKoGioi, 12-02-2012 lúc 10:19 PM
HocKoGioi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:49 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 106.86 k/123.08 k (13.18%)]