Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-10-2011, 08:20 PM   #1
man1995
+Thành Viên+
 
man1995's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Đến từ: quang ngai
Bài gởi: 93
Thanks: 82
Thanked 28 Times in 14 Posts
Topic về dãy số và giới hạn

Mình xin chào các bạn. Mình muốn lập ra topic Dãy số và giới hạn để cùng nhau thảo luận và cùng bàn về các phương pháp giải các bài toán dạng này . Mình mong topic của mình được mọi người ủng hộ và bàn luận sôi nổi . Sau đây mình xin post 1 số bài :
Bài 1: Cho dãy số ${a_n} $ được xác định bởi $a_{n+1}=\frac{a^2_n+c}{a_{n-1}} $ . Chứng minh rằng nếu $a_0,a_1 $và $\frac{a^2_0+a^2_1+c}{a_0a_1} $ là số nguyên thì $a_n $ là số nguyên với mọi $n $
Bài 2: Cho $a_1,a_2...a_n $ là dãy số thực thỏa mãn điều kiện $a_{m+n}\leq a_n+a_m $ với mọi $m,n $. Chứng minh rằng $a_n\leq ma_1+\left ( \frac{n}{m}-1 \right )a_m $với mọi $n\geq m $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: man1995, 11-10-2011 lúc 08:24 PM
man1995 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to man1995 For This Useful Post:
Caybutbixanh (03-08-2014), Trànvănđức (10-05-2013)
Old 11-10-2011, 08:24 PM   #2
mathsv
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bài 3:
Dùng định nghĩa giới hạn dãy số để chứng minh rằng:
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\(n+1}=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: mathsv, 11-10-2011 lúc 10:04 PM
mathsv is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-10-2011, 10:04 PM   #3
Lê Thế Long
Banned
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Đến từ: Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Ninh Thuận
Bài gởi: 96
Thanks: 179
Thanked 20 Times in 15 Posts
Bài 1: Ta có thể chứng minh như sau.
Bằng quy nạp dễ thấy :$a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^2=a_{n}a_{n-2}-a_{n-1}^2 \Rightleftarrow \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}=...\frac{a_2+a_0}{a_1}=\frac{a_0^2+a_1^2+c}{a_ 0a_1} \in Z $
Vậy dãy đã cho nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Lê Thế Long is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Lê Thế Long For This Useful Post:
khoile101 (18-12-2011)
Old 11-10-2011, 10:38 PM   #4
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 29
Thanked 361 Times in 123 Posts
Bài 4: Tìm giới hạn của dãy $x_n = \frac{n + 1}{2^{n + 1} } \left( {\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}} \right) $.
Bài 5: Cho dãy $(x_n ):x_1 = a;x_{n + 1} = \frac{2x_n^3 - 2x_n^2 - 2}{3x_n^2 - 4x_n - 1} $. Chứng minh rằng với $\left| a \right| \ge 2 $ thì dãy hội tụ. Tìm giới hạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 11-10-2011 lúc 10:42 PM
DaiToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to DaiToan For This Useful Post:
Lê Thế Long (20-10-2011)
Old 20-10-2011, 11:17 AM   #5
ancv93
+Thành Viên+
 
ancv93's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Đại học Kinh tế quốc dân
Bài gởi: 61
Thanks: 5
Thanked 17 Times in 11 Posts
Bài 5.
TH1.$a\geq2 $
$x_{n+1}-2=\frac{x_{n}(x_{n}-2)^{2}}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1}, x_{n+1}-x_{n}=\frac{(1-x_{n}^{2})(x_{n}-2)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1} $
Từ 2 đẳng thức trên, bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: $x_{n+1}<x_{n}, x_{n}\geq 2 $
Từ đó dãy có giới hạn hữu hạn.
Đặt $a=\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} $ chuyển qua giới hạn ta tính được $a=2 $
TH2.$a\leq-2 $.Ta chứng minh rằng với $a\leq-1 $ thì dãy cũng có giới hạn hữu hạn!
$x_{n+1}+1=\frac{(x_{n}+1)^{2}(2x_{n}-3)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1},x_{n+1}-x_{n}=\frac{(1-x_{n}^{2})(x_{n}-2)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1} $
Từ 2 đẳng thức trên, bằng quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được:$x_{n+1}>x_{n}, x_{n}\leq -1 $
Từ đó cũng suy ra dãy có giới hạn hữu hạn.
Đặt $a=\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} $ chuyển qua giới hạn ta tính được $a=-1 $
Bài toán được giải xong!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ancv93 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-10-2011, 11:37 AM   #6
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi DaiToan View Post
Bài 4: Tìm giới hạn của dãy $x_n = \frac{n + 1}{2^{n + 1} } \left( {\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}} \right) $.
Quy nạp ta có
$\boxed{{\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}}=\frac{2^n}{n}.\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}} $
Nên
$x_n=\dfrac{n+1}{2n}.\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}} $
Thấy rằng

$\dfrac{n+1}{2n}\to \dfrac{1}{2} $ khi $n\to \infty $

Và $\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}\to 0 $ khi $n\to \infty $ và $k\neq 0,n-1\longrightarrow \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}\to 2. $

Do đó $x_n\to 1 $ khi $n\to\infty $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 20-10-2011 lúc 11:58 AM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
man1995 (20-10-2011), MathForLife (04-04-2012), ngocnhat95 (05-04-2012)
Old 20-10-2011, 01:02 PM   #7
man1995
+Thành Viên+
 
man1995's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Đến từ: quang ngai
Bài gởi: 93
Thanks: 82
Thanked 28 Times in 14 Posts
Bài 4 có thể giải thế này:
Ta có
$S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ và $S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1) $
Từ đó $S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^2+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_n-1}{2(n+1)(n+2)} $
Rõ ràng ${S_n} $ là dãy lượng giác
Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại . Kí hiệu là $S $
Từ $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}(S+1)\Leftrightarrow S=1 $
Vậy $\lim_{x \to \infty }S_n=1 $
------------------------------
Mình xin post thêm 1 số bài
Bài 6:
Cho dãy ${x_n} $ với ${x_1}=a\neq -2 $ và
$x_{n+1}=\frac{3\sqrt{2x_n^2+2}-2}{2x_n+\sqrt{2x_n^2+2}} $
Xét tính hội tụ nếu có và tìm giới hạn tùy theo trường hợp cuả a
Bài 7:
Cho dãy số ${u_n} $ với
$u_1\in \mathbb{N} $ và$u_{n+1}=\frac{1}{2}ln(1+u_n^2)-2011 $
Chứng minh rằng dãy ${u_n} $ hội tụ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: man1995, 20-10-2011 lúc 01:19 PM Lý do: Tự động gộp bài
man1995 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to man1995 For This Useful Post:
Lê Thế Long (20-10-2011)
Old 20-10-2011, 06:31 PM   #8
ancv93
+Thành Viên+
 
ancv93's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Đại học Kinh tế quốc dân
Bài gởi: 61
Thanks: 5
Thanked 17 Times in 11 Posts
Bài 7.
Ta có:$f(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-2011 $ là hàm số liên tục trên R và $\left | f'(x) \right |=\left | \frac{x}{1+x^2} \right |\leq \frac{1}{2},\forall x\in \mathbb{R} $
Mặt khác, nếu đặt $g(x)=x+2011-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)=x-f(x) $ thì ta có:
$g(x) $ liên tục trong R và $g'(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+1}>0,\forall x\in \mathbb{R} $, $g(0).g(-2011)<0 $
Từ đó ta suy ra phương trình $f(x)=x $ có nghiệm duy nhất, kí hiệu nó là L
Áp dụng định lý Lagrange, ta có:
$\exists c\in \mathbb{R}:\left | u_{n+1}-L \right |=\left | f(u_n)-f(L) \right |=f'(c)\left | u_n-L \right | $
Suy ra $\left | u_{n+1}-L \right |\leq \frac{1}{2}\left | u_n-L \right | $.Từ đó ta được: $0\leq\left | u_{n}-L \right |\leq \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}\left | u_1-L \right | $
Bất đẳng thức trên chứng tỏ: $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_n=L $, ta có đpcm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ancv93 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-10-2011, 11:55 PM   #9
man1995
+Thành Viên+
 
man1995's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Đến từ: quang ngai
Bài gởi: 93
Thanks: 82
Thanked 28 Times in 14 Posts
Xin post thêm 1 số bài mời mọi người tiếp tục thảo luận
Bài 8: Cho $x_n=\left ( \frac{1}{2} \right )^n+\left ( \frac{2}{3} \right )^n+....+\left ( \frac{n-1}{n} \right )^n $. Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_n}{n} $
Bài9:
Cho dãy$(u_n) $ thỏa mãn:
$u_0=a\geq 0 $ và $u_{n}^2u_{n+1}+2u_{n+1}-6=0 ,\forall n\in \mathbb{N} $
Tồn tại hay không giá trị của $a $ để dãy $u_n $ có giới hạn hữu hạn ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
man1995 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-10-2011, 11:48 AM   #10
ghetvan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Bài gởi: 66
Thanks: 560
Thanked 13 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi man1995 View Post
Bài 4 có thể giải thế này:
Ta có
$S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ và $S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1) $
Từ đó $S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^2+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_n-1}{2(n+1)(n+2)} $
Rõ ràng ${S_n} $ là dãy lượng giác
Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại . Kí hiệu là $S $
Từ $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}(S+1)\Leftrightarrow S=1 $
Vậy $\lim_{x \to \infty }S_n=1 $
------------------------------
Mình xin post thêm 1 số bài
Bài 6:
Cho dãy ${x_n} $ với ${x_1}=a\neq -2 $ và
$x_{n+1}=\frac{3\sqrt{2x_n^2+2}-2}{2x_n+\sqrt{2x_n^2+2}} $
Xét tính hội tụ nếu có và tìm giới hạn tùy theo trường hợp cuả a
Bài 7:
Cho dãy số ${u_n} $ với
$u_1\in \mathbb{N} $ và$u_{n+1}=\frac{1}{2}ln(1+u_n^2)-2011 $
Chứng minh rằng dãy ${u_n} $ hội tụ
Cho mình hỏi dãy lượng giác là vậy? bạn nào có tài liệu về phần này cho mình xin với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ghetvan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-11-2011, 10:21 PM   #11
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 29
Thanked 361 Times in 123 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ghetvan View Post
Cho mình hỏi dãy lượng giác là vậy? bạn nào có tài liệu về phần này cho mình xin với
bạn xem phai này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : doc day so luong giac tuyen chon tu cac de thi va Tap chi THTT.doc (518.0 KB, 661 lần tải)
DaiToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to DaiToan For This Useful Post:
1110004 (09-05-2013), man1995 (01-11-2011), phung0907 (05-03-2013)
Old 05-04-2012, 08:47 PM   #12
Gravita
+Thành Viên+
 
Gravita's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Đến từ: KA - HT
Bài gởi: 202
Thanks: 78
Thanked 132 Times in 68 Posts
Bài 8: Cho dãy $(x_n) $ thỏa mãn: $\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = a > 1 \\ 2012{x_{n + 1}} = x_n^2 + 2011{x_n} \\ \end{array} \right.\] $
Tìm $\[\lim \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{x_i}}}{{{x_{i + 1}} - 1}}} \] $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Không biết rồi sẽ ra sao nữa? Mà có ra sao cũng chẳng sao!
Gravita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2012, 11:25 AM   #13
sang89
Moderator
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 887
Thanks: 261
Thanked 462 Times in 331 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi man1995 View Post
Bài 8: Cho $x_n=\left ( \frac{1}{2} \right )^n+\left ( \frac{2}{3} \right )^n+....+\left ( \frac{n-1}{n} \right )^n $. Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_n}{n} $
Ta có bất đẳng thức quen thuộc $\dfrac{1}{x+1} \le \ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right) \le \dfrac{1}{x} $

Áp dụng bất đẳng thức trên dễ dàng suy ra

$-\dfrac{n}{i-1} \le n \ln \left( \dfrac{i-1}{i}\right) \le -\dfrac{n}{i}, \: \forall i = \overline{1,n} $

Do hàm $f(x) = e^x $ là hàm đồng biến trên $ \mathbb{R} $ nên ra có

$e^{-\frac{n}{i-1}} < \left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n < e^{-\frac{n}{i}} $

Vì vậy, $\exists \xi_i \in \left[\dfrac{i-1}{n},\, \dfrac{i}{n}\right] $ để $e^{-\frac{n}{i-1}} < e^{\xi_i} < e^{\frac{n}{i}} $

Phân hoạch của $g(x) = e^{-1/x} $ thành n đoạn bằng nhau trên đoạn $[0, \, 1] $, ta thấy rằng

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{x_n}{n} = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n - \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = \displaystyle \int_0^1 e^{-1/x} \, \mathrm{d}x $

Công việc còn lại chỉ là tính [Only registered and activated users can see links. ] là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: sang89, 25-04-2012 lúc 08:41 AM
sang89 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2012, 01:14 PM   #14
cloner
+Thành Viên+
 
cloner's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Đến từ: Khu ổ chuột có cái view nhìn ra biển
Bài gởi: 74
Thanks: 52
Thanked 37 Times in 24 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi man1995 View Post
Bài 4 có thể giải thế này:
Ta có
$S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ và $S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1) $
Từ đó $S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^2+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_n-1}{2(n+1)(n+2)} $
Rõ ràng ${S_n} $ là dãy lượng giác
Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại . Kí hiệu là $S $
Từ $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}(S+1)\Leftrightarrow S=1 $
Vậy $\lim_{x \to \infty }S_n=1 $
Chỗ kết luận "Rõ ràng $ S_n $ là dãy lượng giác" và "Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại" bạn nói rõ ra xem nào

Mình nghĩ chỗ này nếu bạn lấy hiệu như vậy thì nên tìm giá trị $n $ nào đó để cho $S_n > S_{n+1} $ rồi kết luận từ n trở đi thì dãy giảm. Mà dãy dương nên tồn tại giới hạn

p/s Với lại bài này dùng stolz là ra ngay luôn ấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MỌI NGƯỜI ƠI VÀO GIẢI MẤY BÀI NÀY NÈ
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=39613
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=39567

thay đổi nội dung bởi: cloner, 10-04-2012 lúc 11:09 PM
cloner is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-04-2012, 10:59 AM   #15
misu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Bài gởi: 24
Thanks: 12
Thanked 7 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi DaiToan View Post
bạn xem phai này
Mình đã đọc file này và vẫn không biết dãy lượng giác là gì?

PS: File word khó đọc quá.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
misu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:10 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 102.15 k/118.68 k (13.93%)]