Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-02-2016, 09:25 AM   #1
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 64
Thanked 67 Times in 43 Posts
Bài toán săn sư tử trên sa mạc

Cho dãy $ x_{n} $ lớn hơn -1 thỏa mãn $ (x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})\ge 0 $ và lim $\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$. Chứng minh rằng dãy $ x_{n} $ hội tụ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Trần Ngọc Tuấn, 31-10-2017 lúc 08:19 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-02-2016, 03:33 PM   #2
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Cho dãy $ x_{n} $ lớn hơn -1 thỏa mãn $ (x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})>=0 $ .CMR dãy $ x_{n} $ hội tụ
Đề bài này có vẻ bất ổn?

Xét một dãy đặc biệt $x_{n+1}=\frac{1}{x_n} \forall n \in \mathbb{N}, x_1 > 0.$ Ta có thể chọn một giá trị khởi tạo để dãy $\{x_n\}$ phân kỳ.

`
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Galois_vn, 10-02-2016 lúc 07:24 PM
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-02-2016, 03:41 PM   #3
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 64
Thanked 67 Times in 43 Posts
Tôi sửa rồi xin lỗi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-02-2016, 07:15 PM   #4
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Cho dãy $ x_{n} $ lớn hơn -1 thỏa mãn $ (x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})>=0 $ và lim $\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$.CMR dãy $ x_{n} $ hội tụ

(... đang xử lý trường hợp 1.....) và chờ tác giả nói về Bài toán săn sư tử trên sa mạc.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Galois_vn, 10-02-2016 lúc 07:43 PM
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-02-2016, 08:20 PM   #5
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 64
Thanked 67 Times in 43 Posts
Cho dãy $ b_{n}=\dfrac{a_{n}}{1+a^{2}_{n}}$.Dãy này dãy tăng chặn trên bởi $\dfrac{1}{2}$thì hội tụ tại b do đó mà $b_{1}<=b_{n}<=b$.Từ đó => dãy $a_{n}$ là dãy bị chặn cả đầu trên và đầu dưới nên tồn tại các dãy con hội tụ.Lúc này bắt đầu dùng phương pháp săn sư tử trên sa mạc
Nếu b<=0 thì dãy $a_{n}$ dãy tăng và bị chặn trên là 0 nên nó hội tụ
Nếu b>0 thì từ N đủ lớn nào đó thì $a_{n}$ bắt đầu dương từ lúc đó thì ta coi chỉ các dãy số dương thôi
Vậy là từ N đủ lớn trở đi $\dfrac{b}{2}<=b_{n}<=b$.Từ đó dãy$\dfrac{{ 1 - \sqrt {1-{b^2} } }}{{b}}<=a_{n}<=\dfrac{{ 1 + \sqrt {1-{b^2} } }}{{b}}\\ $ nên tách được tất cả phân hoạch các dãy con hội tụ,còn một số hữu hạn số hạng không quan tâm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 10-02-2016 lúc 09:45 PM Lý do: Tự động gộp bài
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-02-2016, 07:08 AM   #6
F.Pipo
+Thành Viên+
 
F.Pipo's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2016
Bài gởi: 3
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Từ đó dãy$\dfrac{{ 1 - \sqrt {1-{b^2} } }}{{b}}<=a_{n}<=\dfrac{{ 1 + \sqrt {1-{b^2} } }}{{b}}\\ $ nên tách được tất cả phân hoạch các dãy con hội tụ,còn một số hữu hạn số hạng không quan tâm
Tách như nào hả bạn zinxinh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
F.Pipo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-02-2016, 09:20 AM   #7
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Cho dãy $ b_{n}=\dfrac{a_{n}}{1+a^{2}_{n}}$.Dãy này dãy tăng chặn trên bởi $\dfrac{1}{2}$thì hội tụ tại b do đó mà $b_{1}<=b_{n}<=b$.Từ đó => dãy $a_{n}$ là dãy bị chặn cả đầu trên và đầu dưới.
Em thấy lập luận này không ổn ở hai điểm:
1) Sự đơn điệu của dãy $ \{b_{n}\}$ phụ thuộc vào đặc tính của dãy $\{a_{n}\}$;
2) Sự bị chận của $\{a_{n}\}$ chỉ xảy ra nếu giới hạn của $\{b_{n}\}$ phải đặc biệt (nó phụ thuộc vào $\{a_{n}\}$).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Galois_vn, 11-02-2016 lúc 08:22 PM
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-02-2016, 09:14 AM   #8
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
tiếp tục phần 1

Dùng một trong hai giả thiết, $(x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})\ge 0 $ và $\lim\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$, ta chỉ ra đúng 1 trường hợp sau xảy ra
  • Trường hợp 1: Tồn tại số tự nhiên $M$ đủ lớn sao cho $u_N\ge 0$ thì $u_{n}\ge 0 \forall n \in \mathbb{N}: n\ge M$;
  • Trường hợp 2: $u_n <0$ với mọi $ n \in \mathbb{N}.$

Xét trường hợp 2:
Ta suy ra dãy thỏa $$-1<x_n \le x_{n+1}<0\, \forall n \in \mathbb{N}.$$
Do đó dãy hội tụ.

Xét trường hợp 1: Lúc này, ta có thể thấy: không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $u_{n} >0\, \forall n \in \mathbb{N}$.

Nhận xét:
Với $a>0$, nếu $a\le x \le \frac{1}{a}$ thì $a\le \frac{1}{x} \le \frac{1}{a}.$

Do đó $$x_{n}\in [b,\frac{1}{b}] \, \forall n \in \mathbb{N},$$
trong đó $b= \min\{x_1, \frac{1}{x_1}\}$,

$$ \min\{x_n, \frac{1}{x_n}\}\le x_{m}\le \max\{x_n, \frac{1}{x_n}\} \, \forall m\ge n \in \mathbb{N}.$$

Đặt $$I= \{n\in \mathbb{N}: x_{n} \le x_{n+1}\},$$ và
$$J= \{n\in \mathbb{N}: x_{n+1}< x_{n} \}.$$

Nhận xét:
  • $I,\, J$ tạo thành một phân hoạch của $\mathbb{N}$.
  • $n \in I \Leftrightarrow x_{n}\le 1$.

Khi đó $\{u_n\}:=\{x_n\}_{n\in I}$ là dãy con tăng bị chặn của $\{x_n\}$ và $\{v_n\}:=\{x_n\}_{n\in J}$ là dãy con giảm bị chặn của $ \{x_n\}$.

Do đó tồn tại hai số thực $u, v$: $u=\lim u_n$, và $v=\lim v_n.$

Lúc này, ta chỉ cần chứng minh $u=v$ (ta sẽ thu được điều phải chứng minh).
Ta xét hai trường hợp sau
  • TH 1.1:
    Tập hợp $\{(n,n+1)\in \left(I\times J \right)\bigcup \left(J\times I \right)\}$ là tập vô hạn, (dùng giả thiết thứ hai) ta suy ra $a=b$.



  • TH 1.2:
    Với mọi $k\in \mathbb{N}$, tồn tại $n_1\in \mathbb{N}$ sao cho
    $$(n,n+1)\not \in \left(I\times J\right)\bigcup \left(J\times I \right),\, \forall n\ge n_1.$$
    • Nếu $n_{1}
      \in I$ thì $n \in I \forall n\ge n_k.$
    • Nếu $n_{1}
      \in J$ thì $n \in J \forall n\ge n_k.$
    Cả hai trường hợp này đều dẫn đến dãy $\{x_n\}$ hội tụ.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Galois_vn, 12-02-2016 lúc 09:54 AM
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-02-2016, 10:12 AM   #9
F.Pipo
+Thành Viên+
 
F.Pipo's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2016
Bài gởi: 3
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Galois_vn View Post

Đặt $$I= \{n\in \mathbb{N}: x_{n} \le x_{n+1}\},$$ và
$$J= \{n\in \mathbb{N}: x_{n+1}< x_{n} \}.$$

Nhận xét:
  • $I,\, J$ tạo thành một phân hoạch của $\mathbb{N}$.
  • $n \in I \Leftrightarrow x_{n}\le 1$.

Khi đó $\{u_n\}:=\{x_n\}_{n\in I}$ là dãy con tăng bị chặn của $\{x_n\}$ và $\{v_n\}:=\{x_n\}_{n\in J}$ là dãy con giảm bị chặn của $ \{x_n\}$.
Bạn Chánh giải thích kỹ lưỡng giúp 2 chỗ tôi bôi đen xem nào
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
F.Pipo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-02-2016, 02:52 PM   #10
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi F.Pipo View Post
Bạn Chánh giải thích kỹ lưỡng giúp 2 chỗ tôi bôi đen xem nào
Để tui viết từ từ lại thử!
Ta dùng kết quả sau để c/m 2 chỗ bôi đen.
$$ \min\{x_n, \frac{1}{x_n}\}\le x_{m}\le \max\{x_n, \frac{1}{x_n}\} \, \forall m\ge n \in \mathbb{N}. \quad \quad\quad \quad\quad \quad (**)$$

Kết quả này chưa được kiểm tra cẩn thận. Có lẽ điều đó không sai nhờ vào 2 ý sau ("C/m" nhanh và ẩu ...)
  • Với $m=n+1$, khẳng định trên đúng.
  • Nhận xét: Với $a>0$, nếu $a\le x \le \frac{1}{a}$ thì $a\le \frac{1}{x} \le \frac{1}{a},$
    hay
    $$ \min\{x_n, \frac{1}{x_n}\}\le \frac{1}{x_{n+1}}\le \max\{x_n, \frac{1}{x_n}\} \, \forall n \in \mathbb{N}. $$

Thử c/m chỗ bôi đen thứ nhất (chỗ thứ 2 có lẽ tương tự).

Lấy $i, i'\in I $ sao cho $i<i'$.

Vì $i\in I$ nên $x_i\le 1$ và nhờ vào (**), ta có

$$x_{i'} \ge \min\{\frac{1}{x_i},x_i\}= x_i.$$

Bạn có thể cho bình luận. Cảm ơn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2016, 08:56 AM   #11
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 64
Thanked 67 Times in 43 Posts
Chúng ta chỉ chứng minh được dãy $x_{n}$ là dãy số có giới hạn thôi.Với bài toán đó thì ta có thể cho các ví dụ mọi -1<=a thì lim $x_{n}$=a như sau
$x_{n}=a+\dfrac{1}{n} $ với -1<=a<=1.Và $x_{n}=a+\dfrac{1}{n} $ với a>=1.Bài toán này rõ ràng là chỉ ra được sự định tính là có giới hạn hữu hạn mà không cho được giới hạn cụ thể là số nào.Cách giải bạn Chánh là đúng nhưng hình như chưa dùng triệt để được giả thiết nên cách giải chưa được hoàn hảo
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 26-02-2016 lúc 09:01 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-02-2016, 10:19 PM   #12
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Chúng ta chỉ chứng minh được dãy $x_{n}$ là dãy số có giới hạn thôi.Với bài toán đó thì ta có thể cho các ví dụ mọi -1<=a thì lim $x_{n}$=a như sau
$x_{n}=a+\dfrac{1}{n} $ với -1<=a<=1.Và $x_{n}=a+\dfrac{1}{n} $ với a>=1.Bài toán này rõ ràng là chỉ ra được sự định tính là có giới hạn hữu hạn mà không cho được giới hạn cụ thể là số nào.Cách giải bạn Chánh là đúng nhưng hình như chưa dùng triệt để được giả thiết nên cách giải chưa được hoàn hảo
Em muốn biết anh tạo ra bài toán thế nào?- đặc biệt là cách đưa ra các giả thiết.
Em phải suy nghĩ rất lâu, xét nhiều trường hợp rồi cố gắng chứng minh từng trường hợp...
Và việc đặt $I, J$ cũng chỉ xuất hiện khi em đọc trong bài viết của anh có nhắc đến từ "phân hoạch".
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-03-2016, 08:29 AM   #13
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 64
Thanked 67 Times in 43 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Cho dãy $ x_{n} $ lớn hơn -1 thỏa mãn $ (x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})\ge 0 $ và lim $\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$.CMR dãy $ x_{n} $ hội tụ
Lời giải:
Xét dãy số $ \dfrac {1}{2}\ge a_{n}=\dfrac{x_{n}}{x^{2}_{n}+1}$ ta có $ a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{(x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})}{(1+x^{2}_{n})(1+x^{2}_{n+1})}\ge 0$ .Vậy dãy $a_{n}$ là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ tại b>0
Từ đó suy ra $b \ge a_{n+1} \ge a_{n} $ .Gọi c,d là nghiệm của phương trình $b=\dfrac {x}{1+x^{2}},d \ge c$ và cd=1
Ta có $ b-a_{n}=\dfrac {c}{1+c^{2}}-\dfrac{x_{n}}{x^{2}_{n}+1}$=$\dfrac {(x_{n}-c)(1-c x_{n})}{(1+x^{2}_{n})(1+c^{2})}\ge $ $\dfrac{b(x_{n}-c)(d-x_{n})}{1+x^{2}_{n}} \ge \dfrac{b(x_{n}-c)(d-x_{n})}{1+d^{2}} \ge 0$ ,$d \ge x_{n} \ge c \ge 0$
Vì $\lim (b-a_{n})=0$ Nên $ \lim (x_{n}-c)(d-x_{n})=0$ hay $\lim |x_{n}-\dfrac {c+d}{2}|=\dfrac {d-c}{2}$
Mà $|(x_{n+1}-\dfrac {c+d}{2})-(x_{n}-\dfrac {c+d}{2})|$ $=|x_{n+1}-x_{n}|=|x_{n}| |\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}-1|\le d |\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}-1|$
$\lim |\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}-1|=0$. Vậy là $\lim (x_{n}-\dfrac {c+d}{2}) $ là tồn tại vậy $\lim x_{n}$ có giới hạn hữu hạn là c hoặc d
Nếu $0 \ge b$ thì từ $ (x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})\ge 0 $ thì dãy $x_{n}$ là dãy tăng [-1,0 ] nên tồn tại giới hạn hữu hạn
Và vì vậy tôi có cách giải thứ 2 là phương pháp lượng giác
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 04-03-2016 lúc 10:33 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to zinxinh For This Useful Post:
Galois_vn (04-03-2016)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:50 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 93.05 k/107.59 k (13.51%)]