Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-01-2018, 11:55 AM   #1
queen669
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 6
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bài dãy số VMO 2018

Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} - \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
  1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
  2. Chứng minh rằng
    \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
queen669 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2018, 12:17 PM   #2
tmp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 142
Thanks: 25
Thanked 16 Times in 13 Posts
Dang u(n+1) =f (u(n))
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tmp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2018, 12:44 PM   #3
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 59
Thanks: 5
Thanked 38 Times in 28 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi queen669 View Post
Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} - \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
  1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
  2. Chứng minh rằng
    \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
  1. Ta có
    \[\left| {{x_{n + 1}} - 1} \right| = \left| {{x_n} - 1} \right|\left( {\frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} - \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right) < \frac{{\left| {{x_n} - 1} \right|}}{2}.\]
    Từ đây thấy dãy là dãy co, nên hội tụ về $1$.


  2. Xét hàm $f\left( x \right) = \sqrt {x + 8} - \sqrt {x + 3}$ trên $\mathbb R^+$, nó là hàm lồi và do vậy theo bất đẳng thức tiếp tuyến có
    \[{x_{n + 1}} \ge f\left( 1 \right) + \left( {{x_n} - 1} \right)f'\left( 1 \right) = 1 - \frac{{{x_n} - 1}}{{12}}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Lấy tổng lại ta được
    \[{x_2} + {x_3} + \ldots + {x_{n + 1}} \ge n - \frac{1}{{12}}\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}}-n \right).\]
    Từ đó ta sẽ có
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} -n\ge \frac{{12}}{{13}}\left( {{x_1} - {x_{n+1}}} \right) = \frac{{12}}{{13}}\left( {2 - {x_{n+1}}} \right);\;(1).\]
    Từ ý trên ta có
    \[\left| {{x_{n + 1}} - 1} \right| \le \frac{1}{{{2^n}}}\left| {{x_1} - 1} \right| = \frac{1}{{{2^n}}}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Cho nên $x_{n+1}<1+\dfrac{1}{2^n}<2$, và từ $(1)$ ta có
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \ge n\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Lại bởi vì
    \[{x_{n + 1}} - 1 = - \left( {{x_n} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} - \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right).\]
    Nên dễ dàng có được $x_{2k}\le 1\le x_{2k-1}\;\forall\,k\in\mathbb Z^+$ và
    \[{x_{2n}} + {x_{2n + 1}} - 2 = \left( {{x_{2n}} - 1} \right)\left( {1 - \frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} + \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right) < 0\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Từ đó ta sẽ thấy
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 1}} = 2 + \left( {{x_2} + {x_3}} \right) + \ldots + \left( {{x_{2n}} + {x_{2n + 1}}} \right) \le 2n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Và do $x_{2n+2}\le 1\;\forall\,n\in\mathbb Z^+ $ nên
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 2}} = \left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 1}}} \right) + {x_{2n + 2}} \le 2n + 2 + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Bởi vậy cho nên ta có
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 11-01-2018 lúc 02:04 PM
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Thụy An For This Useful Post:
Le khanhsy (12-01-2018), NguyenHoang123 (11-01-2018)
Old 11-01-2018, 02:14 PM   #4
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 164
Thanks: 792
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi queen669 View Post
Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} - \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
  1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
  2. Chứng minh rằng
    \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
Có thể tiếp cận câu này như sau
.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg 105.jpg (58.1 KB, 119 lần tải)
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 11-01-2018 lúc 03:03 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2018, 03:07 PM   #5
duca1pbc
+Thành Viên+
 
duca1pbc's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 138
Thanks: 3
Thanked 7 Times in 6 Posts
Lâu ngày quá vào làm bài dãy chơi .

Ý a) dễ rồi chứng minh $|x_{n+1}-1| < \dfrac{1}{2}|x_n-1|$ như bạn ở trên ok.
Ý b) mình chứng minh bằng quy nạp với lưu ý:
*) Nếu $x_n >1$ thì $x_{n+1} < 1$
*) Nếu $x_n <1$ thì $x_{n+1} > 1$
(Dễ thấy do $f(x) = \sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ là hàm nghịch biến trên tập xác định)
Từ đó mình sẽ chứng minh:
+) $x_n+x_{n+1} < 2$ nếu $x_n < 1$
+) $x_n+x_{n+1} > 2$ nếu $x_n > 1$
(Xét hàm $f(x) = x+\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ là hàm đồng biến trên tập xác định)
Đến đây thì quy nạp như sau:
Giả sử $\displaystyle n \le \sum_{i=1}^n x_i \le n+1$. Ta chứng minh $\displaystyle n+1 \le \sum_{i=1}^{n+1} x_i\le n+2$.
Thật vậy,
+) Nếu $x_n > 1$ thì $x_{n+1} < 1$ nên $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} x_i =\sum_{i=1}^{n} x_i+x_{n+1} < (n+1)+1 = n+2$
Và do $x_n+x_{n+1}>2$ nên $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} x_i = \sum_{i=1}^{n-1} x_i+(x_n+x_{n+1}) > (n-1)+2 = n+1$.
+) Nếu $x_n < 1$ thì làm ngược lại.

P/s: Shout out to 2M .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: duca1pbc, 11-01-2018 lúc 03:10 PM
duca1pbc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2018, 10:07 AM   #6
nguyentatthu
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: BH
Bài gởi: 211
Thanks: 135
Thanked 344 Times in 91 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi queen669 View Post
Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} - \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
  1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
  2. Chứng minh rằng
    \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
Một cách tiếp cận ý 2.
Ta có hàm số $f(x)=\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ nghịch biến và $x_1<x_2$ nên ta có dãy $$x_2<x_4<\cdots<x_{2n}<1<x_1<\cdots<x_{2n+1}.$$ Suy ra $$\begin{cases}x_{2n+1}+x_{2n+2}=x_{2n+1}+f(x_{2n+ 1})>x_1+f(x_1)>2\\ x_{2n+2}+x_{2n+3}=x_{2n+2}+f(x_{2n+2})<x_2+f(x_2)< 2 \end{cases}$$
Suy ra $$\begin{aligned} S_{2n}&=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2n}\\&=x_1+x_2+(x_3+ x_4)+\cdots+(x_{2n-1}+x_{2n})\\&>2+0+2+\cdots+2=2n \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} S_{2n}&=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2n}\\&=x_1+(x_2+x_3) +\cdots+(x_{2n-2}+x_{2n-1})+x_{2n}\\&<2+2+2+\cdots+2+1=2n+1 \end{aligned}$$
Suy ra $2n<S_{2n}<2n+1$.\\ Chứng minh tương tuwjj ta cũng có $2n+1<S_{2n+1}<2n+2$. Từ đó ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nguyentatthu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to nguyentatthu For This Useful Post:
Le khanhsy (12-01-2018), zinxinh (12-01-2018)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:14 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 61.61 k/69.73 k (11.64%)]