Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 17-01-2018, 10:43 AM   #1
Lamort
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2018
Bài gởi: 5
Thanks: 2
Thanked 3 Times in 1 Post
Xấp xỉ dãy với logariths

Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ thoả mãn $x_1=1$ và
$${x_{n + 1}} = x_n+e^{-x_n}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.$$
Chứng minh dãy $\left\{y_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ với $y_n=x_n-\ln n$ là dãy giảm và $\lim y_n=0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Lamort is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-01-2018, 12:15 AM   #2
Phungduc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2018
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Lamort View Post
Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ thoả mãn $x_1=1$ và
$${x_{n + 1}} = x_n+e^{-x_n}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.$$
Chứng minh dãy $\left\{y_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ với $y_n=x_n-\ln n$ là dãy giảm và $\lim y_n=0$.
Từ bất đẳng thức quen thuộc $\ln (1+x)\le x\quad\forall\,x>-1$, ta có
\[{y_{n + 1}} - {y_n} = {e^{ - {x_n}}} - \ln \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) < {e^{ - {x_n}}} + \frac{1}{{n + 1}};\;(*).\]
Ta để ý $x_1=1>\ln 2$ và hàm $f(x)=x+e^{-x}$ tăng trên $\mathbb R^+$ đồng thời
\[{x_{n + 1}} - \ln \left( {n + 2} \right) = f\left( {{x_n}} \right) - f\left( {\ln \left( {n + 1} \right)} \right).\]
Cho nên nếu cứ có $x_n>\ln (n+1)$ sẽ kéo theo $x_{n+1}>\ln (n+2)$. Tức là ${x_n} > \ln \left( {n + 1} \right)\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+$, điều này kết hợp với $(*)$ cho ta $y_n$ giảm. Đồng thời $y_n>\ln (n+1)-\ln n>0$ nên $y_n$ hội tụ đến $L$, lại từ $(*)$ có
\[\left( {n + 1} \right)\left( {{y_{n + 1}} - {y_n}} \right) = {e^{ - {x_n}}} - \ln \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \frac{{n + 1}}{n}{e^{ - {y_n}}} + \left( {n + 1} \right)\ln \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right).\]
Lấy giới hạn hai vế ta có được
\[\lim \left( {\left( {n + 1} \right)\left( {{y_{n + 1}} - {y_n}} \right)} \right) = {e^{ - L}} - 1.\]
Có $\lim \left( {\dfrac{{{y_n}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{k}} }}} \right) =0$ do $\lim y_n=L$ và $\lim {\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{k}} }=+\infty$, nên theo Stolz-Césaro thì
\[0=\lim \left( {\frac{{{y_n}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} }}} \right) = {e^{ - L}} - 1.\]
Từ đây có $\lim y_n=0.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Phungduc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:07 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.19 k/45.28 k (9.04%)]