Tập hợp các bài toán dùng phép nghịch đảo.

[ma 29]

Phép nghịch đảo là một phép biến hình độc đáo và có ứng dụng tuyệt vời trong việc giải toán hình học .
Topic này được lập ra với mục đích như chính tên gọi của nó:" Tập hợp các bài toán dùng phép nghịch đảo." nhằm cung cấp cho mọi người một lượng bài tập phong phú ,hữu ích để tự rèn luyện kĩ năng dùng phép nghịch đảo.
Với dung lượng khá lớn ,rất mong mọi người cùng đóng góp thêm những bài tập mình biết để làm phong phú ứng dụng của PBH này.:hornytoro:


Chú ý rằng mỗi bài tập đều cần được đánh số thứ tự để tiên việc thảo luận.

Mình sẽ bắt đầu:

Bài 1:Cho 4 đường tròn mà mỗi đường tròn đều tiếp xúc với hai đường tròn khác.Chứng minh rằng 4 tiếp điểm của chúng đồng viên.

Bài 2:Một tam giác có nửa chu vi p cho trước.Các điểm E và F thuộc đường thẳng AB sao cho CE=CF=p.Chứng minh rằng đường tròn bàng tiếp $(k_1) $ ứng với cạnh AB của tam giác ABc tiếp xúc với đường tròn (k) ngoại tiếp tam giác CEF.(Olympic Bulgaria vòng 4 năm 1985)

Bài 3:Cho tam giác ABC trực tâm H.Từ A kẻ tới đường tròn đường kính BC hai tiếp tuyến AE,AF(E,F là tiếp điểm).Chứng minh rằng E,F,H thẳng hàng.

Bài 4: Chứng minh rằng trong một tam giác thì đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp của nó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhtra_dhsp]

Mấy bài nữa:
Bài 5. Cho tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn $(O) $.Đường tròn $(I) $ nội tiếp tam giác $ABC $ tiếp xúc $BC, CA, AB $ tại $D, E, F $. Các đường tròn đường kính $(AI), (BI), (CI) $ cắt $(O) $ tại $M, N, P $. Chứng minh rằng $DM, EN, FP $ đồng quy

Bài 6. Cho tam giác $ABC $. Đường tròn $(I) $ ngoại tiếp tam giác $ABC $ tiếp xúc $BC $ tại $A_1 $, $M $ là trung điểm $BC $. $l_a $ là đường thẳng đối xứng với $BC $ qua $AI $. $m_a $ là đường thẳng qua $D $ vuông góc $IM $.$ J_a\equiv l_1\cap m_a $. Các điểm $X_b, X_c $ xác định tương tự. Chứng minh rằng $X_a, X_b, X_c $ nằm trên một đường thẳng và đường thẳng đó tiếp xúc với $(I) $

Bài 7. Cho tứ giác $ABCD $ nội tiếp đường tròn $(O) $. $P\equiv AC\cap BD $. $M $ là điểm miquel của tứ giác. Chứng minh rằng $O, P, M $ thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Siciak]

Nguyên văn bởi thanhtra_dhsp

Mấy bài nữa:
Bài 5. Cho tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn $(O) $.Đường tròn $(I) $ nội tiếp tam giác $ABC $ tiếp xúc $BC, CA, AB $ tại $D, E, F $. Các đường tròn đường kính $(AI), (BI), (CI) $ cắt $(O) $ tại $M, N, P $. Chứng minh rằng $DM, EN, FP $ đồng quy

Ở bài này còn có $1 $ kết quả thú vị nưã là điểm đồng quy $X $ cuả $DM, EN, FP $ còn nằm trên đường thẳng $Euler $ cuả $\triangle DEF $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Talent]

Có một file cũng cũ rồi ,các bạn tham khảo :
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maianhbang93]

em cũng xin góp một bài bất đẳng thức:
cho tam giác ABC nhọn với (O),(I),R lần lượt là đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp,bán kính ngoại tiếp.(Oa) tiếp xúc trong với (O) tại A và cũng tiếp xúc ngoài với (I).(Ia) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc trong với (I).gọi Pa,Qa là tâm của (Oa),(Ia).tương tự cób,Qb,Pc,Qc.chứng minh rằng:8PaQa.PbQb.PcQc=< R^3(PaQa là độ dài đoạn thẳng PaQa)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DCsonlinh_DHV]

Nguyên văn bởi maianhbang93

em cũng xin góp một bài bất đẳng thức:
cho tam giác ABC nhọn với (O),(I),R lần lượt là đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp,bán kính ngoại tiếp.(Oa) tiếp xúc trong với (O) tại A và cũng tiếp xúc ngoài với (I).(Ia) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc trong với (I).gọi Pa,Qa là tâm của (Oa),(Ia).tương tự cób,Qb,Pc,Qc.chứng minh rằng:8PaQa.PbQb.PcQc=< R^3(PaQa là độ dài đoạn thẳng PaQa)

Bài này thì chỉ cần dùng đlys Ptoleme và tam giác dồng dạng là đủ :beatbrick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cuibap321]

Thêm 3 bài cho đủ 10 bài ^^

Bài 8: Trong mặt phẳng, cho 4 điểm A,B,C,D không cùng thuộc 1 đường tròn và ko có 3 điẻm nào thẳng hàng. CMR góc của 2 đường tròn bất kì trong 4 đuong tròn ngoại tiếp 4 tam giác ABC, ABD, ACD, BCD, bằng góc giữa 2 đường tròn còn lại.

Bài 9:Cho điểm A và đường thẳng d không qua A. Trên d lấy 3 điểm phân biệt B, C, D. Gọi O1,O2, O3 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, ACD, ABD. CMR 4 điểm A, O1, O2, O3 cùng nằm trên 1 đường tròn

Bài 10:Qua điểm P nằm trong đường tròn kẻ tất cả các cặp đoạn thẳng vuông góc với nhau PX và PY (các điểm X và Y cùng nằm trên đường tròn). Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng XY.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maianhbang93]

anh dc_sonlinh thử cho em xem lời giải dùng đồng dạng xem.em nghĩ bài này không dùng ngịch đảo thì cũng mệt đấy.:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dragon_of_dhv]

ai có thể cm đlý ptoleme bằng nghịch đảo mình xem được ko?
____________________________
tiện thể họi mọi người một số từ tiếng anh này cái:
coordinate;pairwise
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Hung_DHSP]

Nguyên văn bởi dragon_of_dhv

ai có thể cm đlý ptoleme bằng nghịch đảo mình xem được ko?
____________________________
tiện thể họi mọi người một số từ tiếng anh này cái:
coordinate;pairwise

Bài tập nc và 1 số chuyên đề hình học 11.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungdeptrai]

Nguyên văn bởi dragon_of_dhv

Hùng post lên đây luôn được ko vì mình ko mua sách này?

Đây mình post lên luôn...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

đóng góp thêm bài nữa:
bài 11
cho 4 đường tròn $({O_1});({O_2});({O_3});({O_4}) $
$({O_1}) \cap ({O_2}) = {A_1};{A_2} $
$({O_2}) \cap ({O_3}) = {B_1};{B_2} $
$({O_3}) \cap ({O_4}) = {C_1};{C_2} $
$({O_4}) \cap ({O_1}) = {D_1};{D_2} $
như hình vẽ:

chứng minh rằng
${A_1};{B_1};{C_1};{D_1} $đồng viên khi và chỉ khi ${A_2};{B_2};{C_2};{D_2} $đồng viên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Red Devils]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

đóng góp thêm bài nữa:
bài 11
cho 4 đường tròn $({O_1});({O_2});({O_3});({O_4}) $
$({O_1}) \cap ({O_2}) = {A_1};{A_2} $
$({O_2}) \cap ({O_3}) = {B_1};{B_2} $
$({O_3}) \cap ({O_4}) = {C_1};{C_2} $
$({O_4}) \cap ({O_1}) = {D_1};{D_2} $
như hình vẽ:

chứng minh rằng
${A_1};{B_1};{C_1};{D_1} $đồng viên khi và chỉ khi ${A_2};{B_2};{C_2};{D_2} $đồng viên

Bài này chỉ cần cộng góc thì phải, cần gì dùng nghịch đảo. Tứ giác $A_1B_1C_1D_1 $ nội tiếp khi và chỉ khi $\hat{D_1A_1B_1}+\hat{D_1C_1B_1}=180^o $
$\Leftrightarrow \hat{D_1A_1A_2}+\hat{A_2A_1B_1}+\hat{D_1C_1C_2}+\h at{C_2C_1B_1}=108^o $
Sau đó thay $\hat{D_1A_1B_1}=108^o-\hat{D_1D_2a_2}... $ là ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Red Devils]

Nguyên văn bởi dragon_of_dhv

ai có thể cm đlý ptoleme bằng nghịch đảo mình xem được ko?
____________________________
tiện thể họi mọi người một số từ tiếng anh này cái:
coordinate;pairwise

Bài viết của thầy Nam Dũng về Định lí Ptolemy. Trong này cũng có cm bằng nghịch đảo, tặng bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Hung_DHSP]

Đây cũng có nè:

Nguyên văn bởi dragon_of_dhv

đúng là DCsonlinh_DHV thật lắm chuyện,ko biết mà cứ ăn nói hàm hồ,bị cách chức mod là đúng rồi

Nói như vậy là ko đc.
Rõ ràng là người ta xin từ chức có lí do rõ ràng mà.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]