|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
22-12-2010, 08:02 PM | #1 |
+Thành Viên+ | Tìm max Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} = 2 $ Tìm ${A_{\max }} = {(ab + bc + ac)^2} + k{a^2}{b^2}{c^2}(k \in N*) $ __________________ |
25-12-2010, 06:04 PM | #2 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2009 Đến từ: _chuyenbacninh_ Bài gởi: 614 Thanks: 72 Thanked 539 Times in 208 Posts | Không hiểu đề cho lắm!! mình nghĩ phải là tìm max k để $A\le 3 $ với mọi a;b;c t/m đk __________________ Cuộc sống là không chờ đợi |
25-12-2010, 06:11 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Bài gởi: 392 Thanks: 135 Thanked 247 Times in 159 Posts | Theo em nghĩ là "Tìm maxA theo k". |
25-12-2010, 07:54 PM | #4 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2009 Đến từ: _chuyenbacninh_ Bài gởi: 614 Thanks: 72 Thanked 539 Times in 208 Posts | Thật thú vị là bài toán chỉ là đưa về chứng minh bài toán này: cho x;y;z dương khi đó: $(\sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(z+x)})^2 \le \frac{9}{4}(x+y)(y+z)(z+x) $ tuy nhiên bài toán ban đầu a;b;c>0 thì ta mới đưa được về bài toán trên __________________ Cuộc sống là không chờ đợi |
26-12-2010, 02:03 PM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2010 Bài gởi: 39 Thanks: 70 Thanked 56 Times in 23 Posts | Trích:
Từ giả thiết suy ra: $\sum\dfrac{a^2}{1+a^2}=1. $ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có: $1=\sum\dfrac{a^2}{1+a^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3+a^2+b^2+c^2} \Leftrightarrow ab+bc+ca \le \dfrac{3}{2}. $ | |
26-12-2010, 06:21 PM | #6 |
+Thành Viên+ | Trên thực tế, bài toán ban đầu chỉ cần tìm max khi $a,b,c>0 $. Vì ta hiển nhiên có $(ab+bc+ca)^2\le (|ab|+|bc|+|ca|)^2 $. |
26-12-2010, 07:59 PM | #7 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Trích:
$1=\sum \frac{a^2}{1+a^2}\geq \frac{(\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |)^2}{3+a^2+b^2+c^2} \Rightarrow \left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right |\leq \frac{3}{2} \Rightarrow a^2b^2c^2\leq \frac{1}{8} $ Do đó: $(ab+bc+ca)^2+ka^2b^2c^2 \leq (\left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right |)^2+ka^2b^2c^2\leq \frac{k+18}{8} $ Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} $. | |
Bookmarks |
|
|