Chọn ĐTQG Yên Bái 2013

[luxubuhl]

Câu 1

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$

Câu 2

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{4} & \\ x_{n+1}=\frac{x_n}{1+2x_n+2\sqrt{x_n^2+2x_n}}, \forall n \in \mathbb{R} & \end{matrix}\right.$

Đặt $y_n=\sum_{n}^{k=1}x_k$. Tìm $\lim y_n$

Câu 3

Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến $PA, PB$ với $(O)$ (A và B là các tiếp điểm). Trên cung $AB$ nhỏ lấy điểm $C$ sao cho $(CA > CB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $PA$ tại $E$. Chứng minh rằng tâm của 3 đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACE, BCD, PCO$ thẳng hàng.

Câu 4

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $2^x-y^2-2y+64=0$


Câu 5

Cho 10 số nguyên dương $a_1, a_2,..... a_10$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_i \in \begin{bmatrix} -1;0;1 \end{bmatrix}$ không đồng thời bằng không với $i=1,2,....,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_ia_i \vdots 1023$

Đề thi chọn đội tuyển QG tỉnh Yên Bái 2013-2014 (Vòng 2)

Nguồn:

diendantoanhoc.net

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Lời giải của bác luxubuhl về câu số học cuối:

Xét các số có dạng $A_j=\sum^{10}_{i=1}b_ia_i$, trong đó$b_i=\{0;1\}$, $a_i ; i= \overline{1;10}$.
Dễ thấy có $2^{10}=1024$ số như vậy. Khi đó trong các $A_j$ sẽ tồn tại $2$ số $A_k$ và $A_h$ thỏa mãn $A_k \equiv A_h (\mod 1023) \Longrightarrow A_k-A_h \equiv 0 (\mod 1023)$. Điều này chứng tỏ rằng $$\sum (b_{ki}-b_{hi})u_i \vdots 1023 ; i=\overline{1;10} ; b_{ki}=\{0;1\}$$
Đặt $b_{ki}-b_{hi}=x_i$ thì dễ thấy $x_i=\{-1;0;1\}$. Từ đó có đpcm $\blacksquare$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luxubuhl]

Cho hỏi tí không phải: Sao biết ta là luxubu

Bài dãy kì diệu nhỉ, ai làm hộ mình với Cả câu hình nữa

Thứ 5 vào đề này thì bay rồi

dãy còn không làm được

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nhẫn]

$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vickyjustice]

Bài dãy số nghịch đảo lại rồi tìm công thức tổng quát là ra.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhcanh2095]

Nguyên văn bởi luxubuhl

@vickyjustice Bạn tìm hộ mình với được không ?

Là thế lày :
Từ công thức truy hồi dễ dàng suy ra $x_n > 0, \forall n \ge 1$.
Khi đó ta có $\dfrac{1}{{{x_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{{{x_n}}} + 2 + 2\sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x_n}}}}$
Đặt $u_n=\dfrac{1}{x_n}$ thì ta có $u_1 = 4$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 2 + 2\sqrt {1 + 2{u_n}}$
Từ đó ta có $$2{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1 + 4\sqrt {2{u_n} + 1} + 3 \\ \Rightarrow 2{u_{n + 1}} + 1 = {\left( {\sqrt {2{u_n} + 1} + 2} \right)^2} \\ \Rightarrow \sqrt {2{u_{n + 1}} + 1} = \sqrt {2{u_n} + 1} + 2 = \sqrt {2{u_{n - 1}} + 1} + 4 = \ldots = \sqrt {2{u_1} + 1} + 2n \\ \Rightarrow \sqrt {2{u_{n + 1}} + 1} = 2n + 3 \Rightarrow \sqrt {2{u_n} + 1} = 2n+1 \\ \Rightarrow 2{u_n} + 1 = {(2n+1)^2}=4n^2+4n+1 \Rightarrow {u_n} = 2n(n+1)$$

Ngày mai bác luxubuhl cũng đi thi nữa à, mình cũng thế

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[furin]

Sửa cho bạn:

Nguyên văn bởi minhcanh2095

Là thế lày :
Từ công thức truy hồi dễ dàng suy ra $x_n > 0, \forall n \ge 1$.
Khi đó ta có $\dfrac{1}{{{x_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{{{x_n}}} + 2 + 2\sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x_n}}}}$
Đặt $u_n=\dfrac{1}{x_n}$ thì ta có $u_1 = 4$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 2 + 2\sqrt {1 + 2{u_n}}$
Từ đó ta có $$2{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1 + 4\sqrt {2{u_n} + 1} + 3 \\ \Rightarrow 2{u_{n + 1}} + 1 = {\left( {\sqrt {2{u_n} + 1} + 2} \right)^2} \\ \Rightarrow \sqrt {2{u_{n + 1}} + 1} = \sqrt {2{u_n} + 1} + 2 = \sqrt {2{u_{n - 1}} + 1} + 4 = \ldots = \sqrt {2{u_1} + 1} + 2n \\ \Rightarrow \sqrt {2{u_{n + 1}} + 1} = 2n + 3 \Rightarrow {u_n} = \frac{(2n+1)^2-1}{2}$$
$$\Rightarrow x_n=\frac{1}{u_n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$$.

P/S : Sau khi tìm được công thức tổng quát thì làm sao mà tính cái tổng đó đây
Bình loạn.

Ngày mai bác luxubuhl cũng đi thi nữa à, mình cũng thế

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenquocthuy]

Nguyên văn bởi luxubuhl

Câu 3

Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến $PA, PB$ với $(O)$ (A và B là các tiếp điểm). Trên cung $AB$ nhỏ lấy điểm $C$ sao cho $(CA > CB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $PA$ tại $E$. Chứng minh rằng tâm của 3 đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACE, BCD, PCO$ thẳng hàng.



Đề thi chọn đội tuyển QG tỉnh Yên Bái 2013-2014 (Vòng 2)

Nguồn:

diendantoanhoc.net

Gọi I là trung điểm của OP. Chứng minh tâm của (ACE) và (BCD) lần lượt nằm trên IA và IB.

Dựng tiếp tuyến của (PAOB) cắt nhau tại L. C' là giao điểm thứ 2 của (BCD) và (ACE).

Ta có LA = LB và LA, LB lần lượt là tiếp tuyến của (ACE) và (BCD) nên L thuộc trục đẳng phương CC' của 2 đường tròn này.

Suy ra LC.LC' = $LA^{2}$ = LO. LP
=> O, P, C, C' cùng thuộc 1 đường tròn hay (OPC) đi qua C'.
Mặt khác: 3 đường tròn cũng đi qua C $\neq $ C'. Nên tâm của chúng thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Câu 3.

Dùng biến đổi góc để chứng minh tứ giác $PCXO $ nội tiếp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi luxubuhl

Câu 4
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $2^x-y^2-2y+64=0\ (*)$

Xét TH $x=2n$ ta có: $(*)\Leftrightarrow (y+1)^2-2^{2n}=65$
Hay $(y+1+2^n)(y+1-2^n)=13.5$.
Do $x,y>0$ nên ta có $y+1>2^n$. Từ trên suy ra $\begin{cases} y+1+2^n=13\\ y+1-2^n=5 \end{cases}$
Từ đó tìm được $n=2, y=8$ hay $x=4,y=8$. Thử lại thấy thỏa.

Xét TH $x=2n+1$. Ta có $2^{2n+1}+65=(y+1)^2$.
Suy ra: $y=2z$ hay $2^{2n+1}+65=(2z+1)^2$.
Ta có: $VT\equiv \pm 2 (mod 5)$.
Xét $VP$.
- Nếu $z\ \vdots 5$ suy ra $VP\equiv 1 (mod 5)$
- Nếu $z\not\vdots 5$ suy ra $VP\equiv r (mod 5)$ với $r\in\{ 0;1;4\}$.
Như vậy cả hai vế đề không đồng số dư khi chia cho $5$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x,y)=(4,8)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]