đa thức không âm trên R

n.t.tuan · 12-11-2007, 07:35 PM

Cho $P(x) $ là một đa thức bậc $n $ với hệ số thực thỏa mãn $P(x)\geq 0\forall x\in\mathbb{R} $. Chứng minh rằng $\sum_{i=0}^nP^{(i)}(x)\geq 0\forall x\in\mathbb{R} $. Ở đó $P^{(i)}(x) $ là đạo hàm cấp $i $ của $P(x) $ và quy ước $P^{(0)}(x)=P(x)\forall x\in\mathbb{R} $.

**psquang_pbc** · 12-11-2007, 09:24 PM

Đặt $G(x)=\sum_{i=0}^nP^{(i)}(x) $

Xét $c $ là giá trị nhỏ nhất của $G(x) $ đạt được tai $x_0 $ Suy ra $G'(x)=\sum_{i=1}^{n-1}P^{(i)}(x_0)=0 $ hay
hay $c=P(x_0)\ge 0 $ điều phải chứng minh .

n.t.tuan · 12-11-2007, 09:36 PM

Nhỡ $G(x) $ không thể đạt giá trị nhỏ nhất thì sao em?

**psquang_pbc** · 12-11-2007, 11:31 PM

$G(x) $ buộc phải có giá trị nhỏ nhất anh ạ, $P(x) \ge 0 $ với mọi $x $ nên nó có bậc chẵn cộng với hệ số cao nhất dương từ đó $G(x) $ có giá trị nhỏ nhất

n.t.tuan · 12-11-2007, 11:33 PM

Giải thích cụ thể ra cái! Tại sao như thế thì $G $ sẽ đạt được giá trị nhỏ nhất? Chỉ với kiến thức THPT trong SGK.

**psquang_pbc** · 13-11-2007, 12:04 AM

Do $\lim_{x\to+\infty}G(x)=\lim_{x\to-\infty}G(x)=+\infty $

Được rồi chứ ạ

n.t.tuan · 13-11-2007, 12:07 AM

Cũng tạm, hy vọng là chú biết giả thiết $G $ là đa thức được dùng ở đâu.

asimothat · 13-11-2007, 05:14 PM

cái này do là đa thức lên liên tục ,nên tồn tại giá trị nhỏ nhất ,thế thôi

n.t.tuan · 13-11-2007, 05:23 PM

Không phải, có nhiều hàm số liên tục nhưng không có giá trị nhỏ nhất. Chẳng hạn $G(x)=x-1 $ trên $\mathbb{R} $.

**psquang_pbc** · 13-11-2007, 05:38 PM

Trích:

Nguyên văn bởi n.t.tuan

Không phải, có nhiều hàm số liên tục nhưng không có giá trị nhỏ nhất. Chẳng hạn $G(x)=x-1 $ trên $\mathbb{R} $.

Nhưng nó là đa thức có bậc chẵn và hệ số cao nhất dương mà anh, em giải thích có min bằng đoạn lim đó rồi còn gì

n.t.tuan · 13-11-2007, 05:57 PM

Chú nói đúng rồi, anh đang nói chuyện với chú Đức Minh , anh chú cơ mà? :nemoflow:

**psquang_pbc** · 13-11-2007, 06:02 PM

Trích:

Nguyên văn bởi n.t.tuan

Chú nói đúng rồi, anh đang nói chuyện với chú Đức Minh , anh chú cơ mà? :nemoflow:

Hic hic, làm sao em biết anh nói với ai đây

12-11-2007, 07:35 PM	#1
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	đa thức không âm trên R Cho $P(x) $ là một đa thức bậc $n $ với hệ số thực thỏa mãn $P(x)\geq 0\forall x\in\mathbb{R} $. Chứng minh rằng $\sum_{i=0}^nP^{(i)}(x)\geq 0\forall x\in\mathbb{R} $. Ở đó $P^{(i)}(x) $ là đạo hàm cấp $i $ của $P(x) $ và quy ước $P^{(0)}(x)=P(x)\forall x\in\mathbb{R} $. __________________ T.

12-11-2007, 09:24 PM	#2
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Đặt $G(x)=\sum_{i=0}^nP^{(i)}(x) $ Xét $c $ là giá trị nhỏ nhất của $G(x) $ đạt được tai $x_0 $ Suy ra $G'(x)=\sum_{i=1}^{n-1}P^{(i)}(x_0)=0 $ hay hay $c=P(x_0)\ge 0 $ điều phải chứng minh . __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain!

12-11-2007, 09:36 PM	#3
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Nhỡ $G(x) $ không thể đạt giá trị nhỏ nhất thì sao em? __________________ T.

12-11-2007, 11:31 PM	#4
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	$G(x) $ buộc phải có giá trị nhỏ nhất anh ạ, $P(x) \ge 0 $ với mọi $x $ nên nó có bậc chẵn cộng với hệ số cao nhất dương từ đó $G(x) $ có giá trị nhỏ nhất __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain!

12-11-2007, 11:33 PM	#5
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Giải thích cụ thể ra cái! Tại sao như thế thì $G $ sẽ đạt được giá trị nhỏ nhất? Chỉ với kiến thức THPT trong SGK. __________________ T.

13-11-2007, 12:04 AM	#6
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Do $\lim_{x\to+\infty}G(x)=\lim_{x\to-\infty}G(x)=+\infty $ Được rồi chứ ạ __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain!

13-11-2007, 12:07 AM	#7
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Cũng tạm, hy vọng là chú biết giả thiết $G $ là đa thức được dùng ở đâu. __________________ T.

13-11-2007, 05:14 PM	#8
asimothat +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 289 Thanks: 85 Thanked 162 Times in 100 Posts	cái này do là đa thức lên liên tục ,nên tồn tại giá trị nhỏ nhất ,thế thôi

13-11-2007, 05:23 PM	#9
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Không phải, có nhiều hàm số liên tục nhưng không có giá trị nhỏ nhất. Chẳng hạn $G(x)=x-1 $ trên $\mathbb{R} $. __________________ T. thay đổi nội dung bởi: psquang_pbc, 13-11-2007 lúc 05:38 PM

13-11-2007, 05:57 PM	#11
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Chú nói đúng rồi, anh đang nói chuyện với chú Đức Minh , anh chú cơ mà? :nemoflow: __________________ T.