Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Giải Tích/Analysis

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 15-12-2007, 10:08 PM   #1
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Tặng chú Tchoupi

Đáp ứng yêu cầu của chú, anh mời chú xơi bài này nhưng nói trước bài này không dễ (mặc dù nó đã lâu đời) không chú bảo anh chơi khó chú, he he

Bài toán. Cho $\mu_1,\mu_2 $ là hai độ đo dương, kép trên $\mathbb R^n $. Hai độ đo $\mu_1,\mu_2 $ gọi là "anh em một nhà" nếu như tồn tại hằng số $c>0 $ thỏa mãn với mọi hình cầu $B $ trong $\mathbb R^n $, và với mọi tập con đo được $E $ của $B $ ta có $\frac{\mu_2(E)}{\mu_2(B)}\leq C\Big(\frac{\mu_1(E)}{\mu_1(B)}\Big)^{2} $.

Chứng minh rằng hai độ đo $\mu_1,\mu_2 $ là "anh em một nhà" nếu và chỉ nếu $d\mu_2(x)=\omega(x)d\mu_1(x) $ ở đó $\omega $ thỏa mãn
$\int_B\big(\omega(x)\big)^3d\mu_1(x)\leq \frac{c^3}{\mu_1(B)^2}\Big(\int_B\omega(x)d\mu_1(x )\Big)^3 $ với mọi cầu $B $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Mr Stoke, 16-12-2007 lúc 12:27 AM
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 15-12-2007, 10:28 PM   #2
Tchoupi
+Thành Viên+
 
Tchoupi's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 23
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
đề của anh chuẩn chưa ạ ? bất đẳng thức cuối cùng em thấy lệch bậc ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Tchoupi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-12-2007, 12:28 AM   #3
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
đánh nhầm đề, đã sửa lại rồi đấy!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-12-2007, 06:35 PM   #4
Tchoupi
+Thành Viên+
 
Tchoupi's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 23
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Chiều thuận thì em làm được rồi nhưng chiều đảo thì chịu.

Chiều thuận dùng định lý Radon-Nikodym để chứng minh tồn tại hàm $\omega $như trên, còn bất đẳng thức thì dùng định nghĩa tích phân Lebesgue thôi, xấp xỉ $\omega $ thành hàm đơn giản.

Nếu có thể thì anh gợi ý hướng giải, hoặc tốt hơn thì là sách giải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Tchoupi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-12-2007, 08:06 PM   #5
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Tchoupi View Post
....Chiều thuận dùng định lý Radon-Nikodym để chứng minh tồn tại hàm $\omega $như trên, còn bất đẳng thức thì dùng định nghĩa tích phân Lebesgue thôi, xấp xỉ $\omega $ thành hàm đơn giản.
....
Anh cá nếu chiều thuận chỉ có thế này thì chú chưa làm ra được, thử viết kĩ ra xem nào :secretsmile:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-12-2007, 09:02 PM   #6
Tchoupi
+Thành Viên+
 
Tchoupi's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 23
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Thế anh kiểm tra thử nhé

($\Rightarrow $)
Theo đ/l Radon-Nikodym thì tồn hàm $\omega $ thỏa mãn $d\mu_2(x)=\omega(x)d\mu_1 $ (theo bất đẳng thức ở đề bài thì $\mu_2 $ liên tục tuyệt đối với $\mu_1 $)

$0\leq s\leq \omega $ trên $B $ là hàm đơn giản .

$s=\sum c_n \chi_{A_n} $

$\{A_n\} $ là một phân hoạch hữu hạn của $B $

$\int_B s^2d\mu_2 \to \int_B w^3d\mu_1 $

$\int_B s^2d\mu_2 = \sum c_n^2\frac{\mu_2(A_n)}{\mu_2(B)}\mu_2(B) $
$\leq c\sum\left(\frac{\mu_1(A_n)}{\mu_1(B)}\right)^2 \mu_2(B) $

$\leq c\left(\sum c_n\mu_1(A_n)\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$= c \left(\int_B sd\mu_1\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$\leq c \frac{\mu_2(B)^3}{\mu_1(B)^2} \leq $ vế phải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Tchoupi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Tchoupi For This Useful Post:
dep_kom_n (01-03-2013)
Old 16-12-2007, 10:45 PM   #7
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Tchoupi View Post
Thế anh kiểm tra thử nhé
.................
$c\left(\sum c_n\mu_1(A_n)\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $
$= c \left(\int_B sd\mu_1\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$\leq c \frac{\mu_2(B)^3}{\mu_1(B)^2} \leq $ vế phải
why? :nemoflow:

PS: chú nếu cần anh đưa ra gợi ý hướng giải chứ cái này cho chú tìm thoải mái trong mấy cuốn độ đo kinh điển, chắc không có đâu . Mang bài trong sách ra đố không phải sở thích của anh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-12-2007, 08:20 AM   #8
Tchoupi
+Thành Viên+
 
Tchoupi's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 23
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
$\leq c\left(\sum c_n\mu_1(A_n)\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$= c \left(\int_B sd\mu_1\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$\leq c\left(\int_B\omega d\mu_1\right)^2\frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $
$= c \frac{\mu_2(B)^3}{\mu_1(B)^2} \leq $ vế phải

Em nói ở trên rồi mà , nếu có thể thì anh gợi ý hướng giải còn gì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Tchoupi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-12-2007, 10:09 AM   #9
Tchoupi
+Thành Viên+
 
Tchoupi's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 23
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
À, chỗ cuối phải giải thích thêm là c\geq 1 , do điều kiện của chiều thuận
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Tchoupi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-12-2007, 11:10 AM   #10
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
không ngờ phần này dễ như vậy, chú cố nốt phần còn lại nhá .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:58 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2020, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 71.07 k/82.06 k (13.39%)]