Bài Giải Tích Phức !

[nguyentranthi]

1,Tìm các số thực a,b,c để hàm :
$f(z)=x(1+a.y^2-x^2)+iy(b+c.x^2+y^2) $ chỉnh hình với mọi z=x+iy

2,Xác định các điểm bất thường cô lập và tính thặng dư tại các điểm đó của hàm : $f(z)=\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2} $
:biggrin:

3,Dùng phép tính thặng dư, tính các tích phân sau:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^4+1}dx $

$\int_{0}^{\infty}\frac{cosmx}{(x^2+1)(x^2+4}dx $

4,Tìm và phân loại các điểm bất thường (không kể $\infty $) của hàm :
$f(z)=\frac{1}{(z^2+1)^2(e^z-1)} +z.e^{\frac{1}{z-1}} $

Bạn nào học về giải tích phức hướng dẫn cho mình với
Cảm ơn nhiều !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nếu bạn chưa làm được thì mình gợi ý cho nhé .

Bài 1 dùng điều kiện Cauchy Riemann

Bài 2 : phân tích $f(z)=\frac{-e^{iz}}{4}\left(\frac{2i}{(z-i)(z+i)}\right)^2
=\frac{-e^{iz}}{4}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)^2 $
(Mục đích là để gom các hàm có cực bậc 1 lại :secretsmile

$=\frac{-e^{iz}}{4}\left(\frac{1}{(z-i)^2}-\frac{2}{(z-i)(z+i)}+\frac{1}{(z+i)^2}\right) $

Nhận xét là nếu f có cực a bậc 1 thì ta có $Res(f,a)=\lim_{z\to a}f(z)(z-a) $

Ví dụ ta tìm thặng dư của $\frac{e^{iz}}{(z-i)^2} $ tại cực $z= i $
$\frac{e^{iz}}{(z-i)^2}=\frac{e^{iz}-e^{-1}}{(z-i)^2}+\frac{e^{-1}}{(z-i)^2} $
Nhận xét $g(z)=\frac{e^{iz}-e^{-1}}{(z-i)^2} $ có cực $z= i $ bậc 1 . Áp dụng như trên thì $Res(g,i)=\lim_{z\to i}\frac{e^{iz}-e^{-1}}{(z-i)} $
$=i e^{-1} $

Mình chỉ biết cách cơ bắp thế này thôi, bạn chịu khó tính nhé .

Bài 3: Bài này hơi phức tạp, vì không có gì để vẽ hình cho dễ hiểu cả.
Hơi kỹ thuật. Bạn có thể đọc trong cuốn Hàm biến phức của thầy Khuê và thầy Hải viết, giáo trình của ĐHSPHN, hoặc là Complex Analysis của Serge Lang, trang 167 .

Bài 4 thì bạn dùng định nghĩa là ra thôi .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentranthi]

Bài 1 : Mình đã dùng điều kiện Cauchy Riemann nhưng khi thay vô thì ra hệ phương trình có chứa x,y thì làm thế nào.
Bài 3 : khó ,mình chưa có sách của Serge Lang
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Hì hì, bạn thông cảm. Cái hệ đó đâu còn gọi là giải tích phức nữa .

Cuốn của Serge Lang thì có thể lên Viện Toán, hoặc là đọc giáo trình của ĐHSP vậy . Mà mình nghĩ giáo trình giải tích phức nào mà chả có cái ứng dụng này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentranthi]

Đề bài ra là tìm a,b,c thực để f giải tích với mọi z . Vậy thì hệ đó có nghiệm với mọi x , y à .Như vậy thì mình có thể giải ra rồi .
Còn với các bài tập còn lại thì mình cũng có đọc nhưng không hiểu lắm.Mình ở Phú Yên, không có điều kiện ra Viện Toán đâu!
Thanks bạn vì lời giải cho bài 2 !
Mình nói kết quả bài 1 thư đúng không nha :
a=-3,b=1,c=3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Trình bày lời giải nó cũng dài, mà mình lại không có nhiều thời gian, thành ra lười nhác gõ tex, bạn thông cảm nhé. Mình gợi ý vài chỗ khó nhé, của tích phân thứ nhất bài 3.

Đặt $f(z)=\frac{1}{z^4+1} $ thì đây là hàm chỉnh hình trên $\mathbb{C}-A $ với A là tập nghiệm của phương trình $z^4+1 =0 $ . Lưu ý là các điểm của A đều là cực bậc 1 của $f(z) $ , vì vậy có thể tính được ngay thặng dư tại các cực của $f(z) $

Tính phân của bạn sẽ là $\int_{\mathbb{R}}f(z)dz $ coi $\mathbb{R} $ là đường thẳng thực trên mặt phẳng $\mathbb{C} $

Với mỗi số dương $R $ ta đặt $\gamma_R = [-R,R] \subset\mathbb{R} $
$\Gamma_R $ là nửa đường tròn tâm $O $ bán kính $R $ trong nửa không gian $H=\{Imz>0\} $

Bạn áp dụng định lý về thặng dư trong tích phân $\int_{\gamma_R\cup\Gamma_R}f(z)dz $ (định hướng cho phù hợp). Rồi chứng minh tích phân $\int_{\Gamma_R} f(z)dz $ tiến đến 0 khi $R\to\infty $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

À, mình vừa tìm thấy cuốn này. Cuốn này theo như các anh khóa trên nói là cuốn rất hay. Mình cũng có đọc qua và thấy nó rất dễ đọc.

[Only registered and activated users can see links. ] pass gigapedia.org
Link lấy ở đây :
[Only registered and activated users can see links. ] by Liang-Shin Hahn, Bernard Epstein
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentranthi]

Cảm ơn bạn nhiều !!!
Mình sẽ cố gắng giải và post lên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[brahman]

Nguyên văn bởi nguyentranthi

1,Tìm các số thực a,b,c để hàm :
$f(z)=x(1+a.y^2-x^2)+iy(b+c.x^2+y^2) $ chỉnh hình với mọi z=x+iy

2,Xác định các điểm bất thường cô lập và tính thặng dư tại các điểm đó của hàm : $f(z)=\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2} $
:biggrin:

3,Dùng phép tính thặng dư, tính các tích phân sau:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^4+1}dx $

$\int_{0}^{\infty}\frac{cosmx}{(x^2+1)(x^2+4}dx $

4,Tìm và phân loại các điểm bất thường (không kể $\infty $) của hàm :
$f(z)=\frac{1}{(z^2+1)^2(e^z-1)} +z.e^{\frac{1}{z-1}} $

Bạn nào học về giải tích phức hướng dẫn cho mình với
Cảm ơn nhiều !

Mấy bài này tương đối cơ bản, em thử tham khảo Hàm số biến số phức - Trương Văn Thương - NXBGD , sách viết tương đối đơn giản rõ ràng , dễ hiểu dễ làm ăn.

Bài 1 : đk Cauchy-Riemann để hệ ... có nghiệm với mọi x,y

Bài 2,4 : định nghĩa

Bài 3 : xem trang 154 sách trên.

Ủa hình như em đang ôn thi cao học toán ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentranthi]

Dạ phải! Hiện nay anh đang dạy ở đâu ?
Lúc trước chưa biết làm được anh 99, rồi anh chỉ nữa,đi học ôn nên cũng làm được sơ sơ rồi !
Cảm ơn 2 anh !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

@nguyentranthi : hic, em vẫn đang học đại học bác ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentranthi]

Nguyên văn bởi 99

@nguyentranthi : hic, em vẫn đang học đại học bác ạ

Không sao!Nói nhầm ta nói lại!
Bây giờ thì đã giải được tất cả rùi ! nhưng ngại đánh Latex quá !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]