Khó hay dễ???

[ghjk]

Tìm ít nhất 1 số hữu tỉ a sao cho a,a+5,a-5 đều là những số hữu tỉ chính phương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ghjk]

Chán cái diễn đàn này quá! Bài hay thía ma ko ai ngó!
Kết quả là duy nhất 1 nghịêm $(a=(\frac{41}{12}^2) $.Nếu ai muốn thử sức với chứng minh nghiệm duy nhất thì mình rất hoan nghênh! Mình có 1 chứng minh tuyệt đẹp(chỉ khoảng 3 dòng):nemoflow:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Talent]

Bài này khá phức tạp về tính toán nên ,người ngại giải .Số này nếu tôi nhớ không nhầm do một nhà vua ''đố '' một nhà khoa học và ông ta trả lời rất nhanh tuy nhiên không để lại cm rõ ràng về sau người ta mô phỏng lại cm của nhà khoa học đó (Gauss thì phải).
CM nó bằng cách xét hệ pt nghiệm nguyên :
$x^2-5y^2=z^2,x^2+5y^2=t^2 $
Bạn có thể xem lại mấy số toán học tuổi trẻ cũ năm 1998 của thày giáo Hoàng Chúng để biết thêm mấy bài toán mở rộng cho vấn đề này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ghjk]

Cuối cùng cũng đã có 1 cao nhân rảnh rỗi xuất hiện! Bạn đã nói đúng tư tưởng của bài toán, ngoại trừ phần khó nhất của nó bạn chưa c/m đó là làm sao c/m cả hệ 2pt(đủ để c/m) chỉ có duy nhấ 1 họ no(x=ma,y=mb)! Mong bạn đưa lời giải lên nhé! Nếu ko được thì mình sẽ đưa!:nemoflow:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ghjk]

Đây là lời giải của mình:
G/s hệ PT: $x^2+5y^2=k^2 $
$x^2-5y^2=l^2 $
có ít nhất 2 họ nghiệm khác nhau thì ta gọi $(x_1,y_1),(x_2,y_2) $ là 2 no đạc trưng của 2 họ ấy!$(y^2_1 \neq y^2_2) $
Vậy ta có:$(x_1)^2+5(y_1)^2=(x_2)^2+5(y_2)^2(1) $
$(x_1)^2-5(y_1)^2=(x_2)^2-5(y_2)^2(2) $
Từ (1) và (2) dễ dàng suy ra:$10(y_1)^2=10(y_2)^2 $(mâu thuẫn với điều kiện g/s)
Vậy Pt có ko quá 1 họ no!(Done!):nemoflow:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Chú vào đây anh bảo cái này [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ghjk]

Nguyên văn bởi dong1919

ghjk giải sai rồi , l,k đã cố định đâu mà = thế được
Bài này có thể chỉ ra nghiệm bằng cách tìm CTTQ của pt $ x^2+5y^2=z^2 $(do 2 pt này tương đương nhau)

Ý mình ko phải thía.l,k ko cố định và vì (x,y) là 1 no của pt đó nên sẽ có CT no tổng quát cho x và y. Minh chi lo PT k va l do co qua 2 ho no thui ma(vi l,k ko co dinh nen co the ton tai 1 bo so (x2,y2) chu).Neu cau tim ho no va c/m no duy nhat thi cau giai thia nao duoc ngoai cach chi ra ho no va c/m ko tont ai ho no nao khac(tuong duong voi g/s co ton tai 1 ho no nhu o tren)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dong1919]

Chỉ có nói cáh ghjk sai thôi
ko ý mình ở đây l,k chưa chắc = nhau để có
$ x_1^2+5y_1^2=x_2^2+5y_2^2 $
CÒn tìm nghiệm TQ thì dựa vào Phương trình Py-ta-go
Với bài toán trên có thể đưa về
$ t^2+z^2=2x^2 $
=>$ (t+z)^2+(t-z)^2=(2x)^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ghjk]

Nguyên văn bởi dong1919

Chỉ có nói cáh ghjk sai thôi
ko ý mình ở đây l,k chưa chắc = nhau để có
$ x_1^2+5y_1^2=x_2^2+5y_2^2 $
CÒn tìm nghiệm TQ thì dựa vào Phương trình Py-ta-go
Với bài toán trên có thể đưa về
$ t^2+z^2=2x^2 $
=>$ (t+z)^2+(t-z)^2=(2x)^2 $

Cậu câu bài quá đấy Đồng! Bài này thì lẽ đu7ong nhiên phải dùng Pytago nhưng cậu thực sự đã c/m được chưa?Nhớ là 2pt Pytago này có chung họ (x,y) đấy nhé! Dùng Ct rùi đem chia xuống để tính a cũng ko thành công đâu(mình thử rùi)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Đề nghị các bạn nếu lời giải đầy đủ, nếu kô mình buộc phải lock topic này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]