Pt nghiệm nguyên

tqdung · 06-06-2009, 11:03 PM

Bài 1:Giải pt nghiệm nguyên dương:
$x^7+y^7=2009^z. $
bài này khá cũ . Ai có cách giải hay thì post cho mọi người nha

reamer:

**chemthan** · 03-07-2009, 03:52 PM

Ta sử dụng bổ đề: Nếu $x,y $ là các số nguyên không chia hết cho $p $ nguyên tố nhưng có tổng chia hết cho $p $, thì với mọi số nguyên $k $ lẻ lớn hơn 1 ta có 1 là số mũ của $p $ trong $x^k+y^k $.
Trở lại bài toán đặt $x=7^u.41^v.x_0,y=7^u.41^v.y_0 $, ta có:
$x_0^7+y_0^7=7^{2z-7u}.41^{z-7v} $.
Mặt khác dễ thấy $x+y $ chia hết cho 7.
$x^{42}-y^{42} $ chia hết cho 41, suy ra $x^2-y^2 $ chia hết cho 41. Thành thử $x+y $ chia hết cho 41.
Sau đó áp dụng bổ đề ta có:$2z-7u,z-7v $ chỉ có thể là 0,1. Xong

tqdung · 04-07-2009, 02:34 PM

Anh giải đúng đấy. Nhưng bổ đề cần phát biểu chuẩn hơn:
$p $ ngtố lẻ. Nêu $x;y $ ko $\vdots p $ ;$x+y \vdots p $ thì $v_p(x^k+y^k)=v_p(x+y)+v_p(k). $

Talent · 05-07-2009, 05:25 PM

Trích:

Nguyên văn bởi tqdung

Anh giải đúng đấy. Nhưng bổ đề cần phát biểu chuẩn hơn:
$p $ ngtố lẻ. Nêu $x;y $ ko $\vdots p $ ;$x+y \vdots p $ thì $v_p(x^k+y^k)=v_p(x+y)+v_p(k). $

Bài này hình như là bài chọn ĐT vòng 1 của SP , nhưng dùng bổ đề này thì mạnh quá (mặc dù đi thi mình cũng dùng đúng bổ đề này ,kèm theo chứng minh lại ) . Thực ra chỉ cần dùng tính chất : Nếu x và y là hai số nguyên và nguyên tố cùng nhau thì ta luôn có : $\gcd(x+y,\frac{x^7+y^7}{x+y}=\gcd(x+y,7) $ ,Sau đó chỉ cần viết lại x,y dưới dạng $41^a.7^b.x' $ sau đó biện luận dứoi dạng đánh giá bất đẳng thức là xong .

**chemthan** · 05-07-2009, 05:51 PM

Sao lại quá mạnh, chứng minh có mấy dòng mà?

Talent · 05-07-2009, 05:59 PM

Mình sẽ rất ngạc nhiên nếu bạn có thể đưa ra một chứng minh mấy dòng ... ,thậm chí theo mình biết thì chứng minh đó vẫn phải sử dụng tính chất chất ở trên (bài post của mình ). Bạn post lời giải lên được chứ ,vì dù sao viết lại chứng minh cũng là một cách để hiểu vấn đề hơn ...

**chemthan** · 05-07-2009, 06:54 PM

Uk. Mình hơi vội vàng. Mình chỉ chứng minh được bổ đề của bạn tqdung trong trường hợp $k $ nguyên tố thôi.
Giả sử $x+y=m.p^\alpha $. Ta có:
$x^k+y^k=x^k+(m.p^\alpha-x)^k=A.k.p^{2\alpha}+m.k.x^{k-1}.p^\alpha $

06-06-2009, 11:03 PM	#1
tqdung +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2008 Đến từ: phố núi mộng mơ Bài gởi: 176 Thanks: 31 Thanked 28 Times in 21 Posts	Pt nghiệm nguyên Bài 1:Giải pt nghiệm nguyên dương: $x^7+y^7=2009^z. $ bài này khá cũ . Ai có cách giải hay thì post cho mọi người nha reamer: __________________ Đại học thôi, lăn tăn gi nữa =.=

04-07-2009, 02:34 PM	#3
tqdung +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2008 Đến từ: phố núi mộng mơ Bài gởi: 176 Thanks: 31 Thanked 28 Times in 21 Posts	Anh giải đúng đấy. Nhưng bổ đề cần phát biểu chuẩn hơn: $p $ ngtố lẻ. Nêu $x;y $ ko $\vdots p $ ;$x+y \vdots p $ thì $v_p(x^k+y^k)=v_p(x+y)+v_p(k). $ __________________ Đại học thôi, lăn tăn gi nữa =.=

05-07-2009, 05:59 PM	#6
Talent +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 287 Thanks: 16 Thanked 90 Times in 61 Posts	Mình sẽ rất ngạc nhiên nếu bạn có thể đưa ra một chứng minh mấy dòng ... ,thậm chí theo mình biết thì chứng minh đó vẫn phải sử dụng tính chất chất ở trên (bài post của mình ). Bạn post lời giải lên được chứ ,vì dù sao viết lại chứng minh cũng là một cách để hiểu vấn đề hơn ... __________________ Prime

03-07-2009, 03:52 PM	#2
chemthan Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts	Ta sử dụng bổ đề: Nếu $x,y $ là các số nguyên không chia hết cho $p $ nguyên tố nhưng có tổng chia hết cho $p $, thì với mọi số nguyên $k $ lẻ lớn hơn 1 ta có 1 là số mũ của $p $ trong $x^k+y^k $. Trở lại bài toán đặt $x=7^u.41^v.x_0,y=7^u.41^v.y_0 $, ta có: $x_0^7+y_0^7=7^{2z-7u}.41^{z-7v} $. Mặt khác dễ thấy $x+y $ chia hết cho 7. $x^{42}-y^{42} $ chia hết cho 41, suy ra $x^2-y^2 $ chia hết cho 41. Thành thử $x+y $ chia hết cho 41. Sau đó áp dụng bổ đề ta có:$2z-7u,z-7v $ chỉ có thể là 0,1. Xong

05-07-2009, 05:51 PM	#5
chemthan Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts	Sao lại quá mạnh, chứng minh có mấy dòng mà?

05-07-2009, 06:54 PM	#7
chemthan Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts	Uk. Mình hơi vội vàng. Mình chỉ chứng minh được bổ đề của bạn tqdung trong trường hợp $k $ nguyên tố thôi. Giả sử $x+y=m.p^\alpha $. Ta có: $x^k+y^k=x^k+(m.p^\alpha-x)^k=A.k.p^{2\alpha}+m.k.x^{k-1}.p^\alpha $