Sum-free set

[hien123]

Một tập hợp số $A$ được gọi là sum-free nếu với mọi $u,v$ thuộc $A$ (có thể $u=v$) thì $u+v$ không thuộc $A$. Cho một tập hợp $S$ gồm các số thực khác $0$, chứng minh tồn tại một tập con sum-free của $S$ có số phần tử lớn hơn $\dfrac{|S|}{3}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[haruboy]

Nguyên văn bởi hien123

Một tập hợp số $A$ được gọi là sum-free nếu với mọi $u,v$ thuộc $A$ (có thể $u=v$) thì $u+v$ không thuộc $A$. Cho một tập hợp $S$ gồm các số thực khác $0$, chứng minh tồn tại một tập con sum-free của $S$ có số phần tử lớn hơn $\dfrac{|S|}{3}$

ai hiểu sao nói lại giùm, đọc mãi mà ko hiểu nổi tại sao nó song ánh
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hien123]

Nguyên văn bởi haruboy

ai hiểu sao nói lại giùm, đọc mãi mà ko hiểu nổi tại sao nó song ánh
[Only registered and activated users can see links. ]

Chứng minh trên lấy từ cuốn The Probabilistic Method của nhà toán học người Israel Noga Alon nhưng trong TH số nguyên, đề của ta là số thực. Ngoài ra, trường hợp số nguyên có thể sử dụng modulo $3^{n}$ với bổ đề: Tồn tại $3^{n}-1$ tập sum - free, mỗi tập gồm $3^{n-1}$ thặng dư khác 0 modulo $3^{n}$, đồng thời mỗi thặng dư khác 0 modulo $3^{n}$ xuát hiện trong đúng $3^{n-1}$ tập. Cái này chứng minh bằng quy nạp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]