Các bài toán về trường hữu hạn

[lac]

1,Cho p là số nguyên tố và F là một trường với $|F|=p^2 $. Chứng minh rằng có a trong F để $a^2=5 $. Phát biểu và chứng minh kết quả tổng quát.

2,F là một trường hữu hạn. Chứng minh rằng có một đa thức bất khả quy trên F có bậc n với mỗi n.

3,Chứng minh rằng $\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2(\alpha) $ , ở đó $\alpha^2+\alpha+1=0 $.

4,Xác định phân tích của $x^4+1 $ trên $\mathbb{F}_3 $.

5,Chứng minh rằng $x^4-7 $ bất khả quy trên $\mathbb{F}_5 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

2, Giả sử $|F|=p^k $ và G là một trường hữu hạn với $|G|=p^{nk} $. Vì $nk=[G:\mathbb{F}_p]=[G:F][F:\mathbb{F}_p]=[G:F]k $ nên [G:F]=n. Mở rộng G/F phải là mở rộng đơn vì cả G và F là các trường hữu hạn, viết G=F(u) thì đa thức tối tiểu của u trên F chính là đa thức thỏa mãn.

4, $x^4+1=(x^2-x-1)(x^2+x-1) $ . Hai đa thức đó không có nghiệm trên $\mathbb{F}_3 $.

3, Vì $x^2+x+1 $ không có nghiệm trên $\mathbb{F}_2 $ nên nó bất khả quy trên $\mathbb{F}_2 $ và chúng ta có điều cần chứng minh do $\mathbb{F}_2 $ hữu hạn và |K|=4.

5, Bằng cách phân tích đa thức $x^{25}-x $ trên $\mathbb{F}_5 $ , ta có các đa thức monic bậc hai bất khả quy trên $\mathbb{F}_5 $ là $x^2-2,x^2+2,x^2-2x-2,x^2+2x-2,x^2+2x-1,\\ x^2-2x-1,x^2-x+2,x^2+x+2,x^2-x+1,x^2+x+1 $.


Nhưng đa thức $x^4-7 $ không có nghiệm trong $\mathbb{F}_5 $ và không chia hết trong $\mathbb{F}_5[x] $ cho bất cứ đa thức nào trong 10 đa thức trên nên nó bất khả quy trên $ \mathbb{F}_5. $

1, Bài toán là một hệ quả của kết quả sau:
Cho f(x) là một đa thức với các hệ số là các số nguyên p-adic, $a_0 $ là một số nguyên p-adic sao cho $f(a_0)\equiv 0\pmod{p} $ và $f'(a_0)\not\equiv 0\pmod{p} $. Khi đó tồn tại duy nhất dãy các số hữu tỉ nguyên $a_1,a_2,... $ sao cho với mỗi số nguyên dương n:
a)$f(a_n)\equiv 0\pmod{p^{n+1}} $
b)$a_n\equiv a_{n-1}\pmod{p^n} $
c)$0\leq a_n<p^{n+1} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[robin]

6,Cho $F $ là một trường hữu hạn. Nếu $f,g\in F[x] $ là các đa thức bất khả quy có cùng bậc, chứng tỏ rằng chúng có cùng trường phân rã. Sử dụng điều này xác định trường phân rã của $x^4+1 $ trên $F_3 $.

7,Cho q là lũy thừa của một số nguyên tố p và n là một số nguyên dương không chia hết cho p. Nếu K là trường phân rã của $x^n-1 $ trên $\mathbb{F}_q $, chứng minh rằng $K=\mathbb{F}_{q^m} $, ở đây m là bậc của q trong $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* $.

8,F là một trường có đặc số p
a)Cho $F^p=\{a^p|a\in F\} $. Chứng minh rằng $F^p $ là trường con của F.
b)Nếu$ F=\mathbb{F}_p(t) $ là trường hàm hữu tỷ một biến trên $\mathbb{F}_p $, xác định $F^p $ và $[F:F^p] $.

9,Chứng minh rằng các phần tử của một trường hữu hạn đều là tổng của hai bình phương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

6, Phần thứ hai của bài toán ta dùng kết quả này [Only registered and activated users can see links. ] . Với phần đầu thì ta dùng kết quả ''F là trường hữu hạn và f là đa thức monic bất khả quy trên F thì trường phân rã của f trên F sẽ có bậc n trên F''.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lonely]

Nguyên văn bởi robin

9,Chứng minh rằng các phần tử của một trường hữu hạn đều là tổng của hai bình phương.

Giả sử a là phần tử bất kì của $\mathbb{F}_q $, xét các đa thức $f_i(x)=x^2-a+i^2 $ với i chạy qua tất cả các phần tử của $\mathbb{F}_q $. Trong các đa thức này chắc chắn sẽ có ít nhất một đa thức không bất khả quy trên $\mathbb{F}_q $, từ đây ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]