|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
25-02-2018, 04:06 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts | Phương pháp xuống thang 1)Chứng minh rằng $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ không có nghiệm nguyên dương 2)Chứng minh rằng $r^{4}+s^{4}=t^{2}$ không có nghiệm nguyên dương Từ đó suy ra $Q_{n}=\frac{(1+\sqrt{2})^{n}+(1-\sqrt{2})^{n}}{2}$ không là số chính phương thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 25-02-2018 lúc 04:37 PM |
26-02-2018, 04:03 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Cái này dùng bổ đề ở [Only registered and activated users can see links. ] là xong! Với chú ý là nếu $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ thì bộ $\left(x;\,y;\,z\right)=\left(2s^2t^2;\,t^4-s^4;\,t^4+s^4\right)$ là nghiệm của phương trình $x^2+y^2=z^2$ và nó thoả $2xy=(2str)^2$. Bổ đề kia còn có một trường hợp nữa là: Bổ đề. Hễ phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ thì $\mathfrak x\mathfrak y$ không là số chính phương. Và dùng nó, có luôn được ý này. |
27-02-2018, 11:27 AM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts | Không phải là cố ý đâu: Nếu $z^{2}=P^{4}-Q^{4}=(P^{2}-Q^{2})(P^{2}+Q^{2})$ .Có thể giả sử là (P,Q) có ước chung lớn nhất là 1 .Vì đang xét P,Q,z là các số nguyên dương nhỏ nhất. Trường hợp 1:$P^{2}-Q^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}$ có ước chung lớn nhất là 2 thì $P^{2}-Q^{2}=2x^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}=2y^{2}$ từ đó suy ra $(PQ)^{2}=y^{4}-x^{4}$ .Vậy là bộ y,x,PQ là bộ nghiệm nhỏ hơn theo nghĩa P là nhỏ nhất. Trường hợp 2:$P^{2}-Q^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}$ có ước chung lớn nhất là 1 thì $P^{2}+Q^{2}=S^{2}$ và $P^{2}-Q^{2}=T^{2}$ .Do đó $P^{2}=Q^{2}+T^{2}$ cũng có tiếp $S^{2}=P^{2}+Q^{2}=Q^{2}+T^{2}+Q^{2}=2Q^{2}+T^{2}$ Bởi P,Q,z là nhỏ nhất nên ta phải có bộ (S,P,Q) có ước chung lớn nhất là 1 và bộ (P,T,Q) cũng vậy.Vì vậy S,P,T là số nguyên dương lẻ còn Q nguyên dương chẵn Từ $S^{2}=T^{2}+2Q^{2}----->S=t^{2}+2q^{2}$ thật vậy $2Q^{2}=S^{2}-T^{2}=(S-T)(S+T)$ .Ấy từ Q chẵn và UCLN(S,T)=1 nên UCLN(S-T,S+T)=2 .Ta suy ra hai số $\frac{S+T}{2},\frac{S-T}{2}$ là hoán vị của ($2W^{2},V^{2}$) hay là $S=\frac{S+T}{2}+ \frac{S-T}{2}=2W^{2}+V^{2}$ Nhưng ta lại có $S=2W^{2}+V^{2}------>(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}$ là số chính phương Biết $(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}=(\frac{S+T}{2})^{2}+( \frac{S-T}{2} )^{2}=\frac{S^{2}+T^{2}}{2}$ Từ $S^{2}=2Q^{2}+T^{2}------>\frac{S^{2}+T^{2}}{2}=\frac{2Q^{2}+T^{2}+T^{2}}{2 }=Q^{2}+T^{2}=P^{2}$ Từ đó $P^{2}=(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}$ Bộ ba số Pitago xác định luôn $2W^{2}=2mn$;$V^{2}=m^{2}-n^{2}$;$P=m^{2}+n^{2}$ Từ $Q^{2}=4W^{2}V^{2}=4mn(m^{2}-n^{2})--->(Q/2)^{2}=mn(m^{2}-n^{2})$.Từ UCLN($m,n,m^{2}-n^{2}$)=1 suy ra $m=M^{2}$ và $n=N^{2}$ hay $V^{2}=M^{4}-N^{4}$ bộ nghiệm M,N,V còn nhỏ hơn. Suy ra điều giả sử là sai vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 27-02-2018 lúc 11:31 AM |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|