Sheaf Theory

[99]

Lần trước đã gửi topic này roài, nhưng forum gặp sự cố, thế là topic bị xóa.

99 mở topic này muốn trao đổi về [Only registered and activated users can see links. ], hy vọng có nhiều member tham gia.

Bài viết dựa theo (gần như hoàn toàn ) cuốn sách của [Only registered and activated users can see links. ] và bài giảng của thầy Thái.

1.Bó và tiền bó (sheaf - presheaf) : Một tiền bó $\mathfrak{F} $ các nhóm abel trên không gian topo X là họ các nhóm abel
(i) Với mọi U mở là tập con của X, $\mathfrak{F}(U) $ là một nhóm abel, $\mathfrak{F}(\empty)= 0 $
(ii) Với mọi $U\subset V\subset X $ , U,V mở : có đồng cấu nhóm $r_{U,V}: \mathfrak{F}(V)\to\mathfrak{F}(U) $ thỏa mãn
+) $r_{U,U}=1_{\mathfrak{F}(U)} $
+) $r_{U,W}=r_{U,V}r_{V,W} $ với mọi $U\subset V\subset W\subset X $ trong đó U,V,W là các tập mở.
$r_{U,V} $ được gọi là ánh xạ hạn chế (restriction). Ta thường ký hiệu $r_{U,V}(s) = s_{|_U} $ với $s \in \mathfrak{F}(V) $

Tiền bó $\mathfrak{F} $ là bó nếu nó thỏa mãn thêm 2 điều kiện sau:
(iii)Với mọi U mở là tập con của X, ${V_i}_{i\in I} $ là phủ mở của U và nếu $s_i\in\mathfrak{F}(V_i) $ với mọi $i\in I $ thỏa mãn $s_i_{|_{V_i\cap V_j}}=s_j_{|_{V_i\cap V_j}} $ thì tồn tại $s\in\mathfrak{F}(U) $ sao cho $s_{|_{V_i}}=s_i $ với mọi $i\in I $
Điều kiện này còn gọi là điều kiện "dán"
(iv) Với mọi U mở con X, ${V_i}_{i\in I} $ là phủ mở của U , s\in $\mathfrak{F}(U) $ thỏa mãn $s_|_{V_i}=0 $ với mọi i thì $s=0 \in\mathfrak{F}(U) $. Đây còn gọi là điều kiện về "tính duy nhất"

Ví dụ : - M là đa tạp vi phân, U là tập con mở của M, $C^{\infty}(U) $ là tập tất cả các hàm nhẵn trên U. Khi đó $C^{\infty} $ là bó các hàm nhẵn trên M
- Xét mặt phẳng phức $\mathbb{C} $. U là tập mở của $\mathbb{C} $. $\mathfrak{B}(U) $ là tập các hàm chỉnh hình bị chặn trên U. Khi đó $\mathfrak{B} $ là tiền bó các hàm chỉnh hình bị chặn trên $\mathbb{C} $. Đây không phải một bó. Vì theo định lý Liouville, mọi hàm chỉnh hình trên $\mathbb{C} $ bị chặn là hàm hằng, do đó $\mathfrak{B} $ không thỏa mãn điều kiện dán.
- M là đa tạp nhẵn. $\mathfrak{F}(U) $ là tập các k-dạng vi phân trên U , U là tập mở của M. $\mathfrak{F} $ là bó các k-dạng vi phân trên M

2.Bó hằng Giả sử G là nhóm abel, được trang bị topo rời rạc. X là không gian topo. Xét bó $\mathfrak{F} $ như sau :Với U mở $\subset X $, $\mathfrak{F}(U)= C(U,G) $ là tập các ánh xạ liên tục từ U vào G.
$\mathfrak{F} $ được gọi là bó hằng, và được ký hiệu là G

3. Thớ (stalk) : Giả sử $\mathfrak{F} $ là tiền bó các nhóm abel trên không gian topo X
$x\in X $. Ta định nghĩa một stalk tại x là $\mathfrak{F}_x=\lim_{\overset{\rightarrow}{x\in U}}\mathfrak{F}(U) $. Giới hạn được lấy với mọi tập mở U chứa x .Về định nghĩa của giới hạn trực tiếp có thể xem bài tập 14, chương 2 trong sách của Atiyah- McDonald.
Một cách định nghĩa khác, tương đương :
$\mathfrak{F}_x := \{(U,s) : x\in U\subset X ,s\in\mathfrak{F}(U)\}/\sim $
Ở đây, $\sim $ là quan hệ tương đương được xác định như sau : $(U_1,s_1)\sim (U_2,s_2) $ nếu tồn tại tập mở $x\in U\subset U_1\cap U_2 $ sao cho $s_1_|_{U}=s_2_{|_{U}} $.

Bài tập : chứng minh hai định nghĩa stalk trên là tương đương.

(còn nữa)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Rồi sao nữa chú? Tiếp đi, anh đang xem.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

2 anh thông cảm , dạo ni em đương bận . Mà em cũng đoán là mấy cái nài đại cương quá, nên ít người muốn thảo luận . Cơ mà chả biết ở forum mình có ai muốn thảo luận phân thớ vector phức, đa tạp Kahler, hyperbolic ... gì không , chứ mấy cái kia em thích hơn nhiều . Topic này em sẽ viết tiếp, các anh yên tâm . Để mấy hôm nữa em luyện nốt analytic sheaves rồi viết một thể cho tiện

@anh 2M : em không biết monosheaf. Em cũng chỉ học sheaf theory để phục vụ cho học phân thớ vector phức thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

4.Morphisms (cấu xạ): Giả sử $\mathfrak{F} $ và $\mathfrak{G} $ là hai tiền bó trên $X $. Một cấu xạ $\Phi :\mathfrak{F}\to\mathfrak{G} $ là một họ các đồng cấu

$\{ \Phi(U) : \mathfrak{F}(U)\to\mathfrak{G}(U) \} $

trong đó $U\subset X $ là tập con mở, thỏa mãn nếu $U\subset V $ thì ta có biểu đồ giao hoán (ở MS chưa gõ được, nên mọi người chịu khó đọc ký hiệu )

$\Phi(U)\circ r_{U,V} = r_{U,V}\circ\Phi(V) $

ở đây, $r_{U,V} $ là ánh xạ hạn chế (ký hiệu chung cho cả 2 tiền bó $\mathfrak{F} $ và $\mathfrak{G} $)

Cấu xạ $\Phi $ được gọi là đẳng xạ (isomorphism) nếu $\Phi(U) $ là đẳng cấu nhóm với mọi $U $ là tập con mở của $X $.

Nhận xét : $\Phi:\mathfrak{F}\to\mathfrak{G} $ cảm sinh đồng cấu $\Phi_x:\mathfrak{F}_x\to\mathfrak{G}_x $ .
Cụ thể : nếu $<U,s>\in\mathfrak{F}_x $ (một lớp tương đương) , thì $\Phi_x(<U,s>)= <U,\Phi(U)(s)> \in \mathfrak{G}_x $.

Mệnh đề 4.1 : $\Phi $ là đẳng xạ khi và chỉ khi $\Phi_x $ là đẳng cấu nhóm với mọi $x\in X $
Chứng minh có thể đọc trong AG của Hartshorne.

5.(Tiền) bó các module : Giả sử $\mathcal{R} $ là tiền bó các vành giao hoán (định nghĩa như trên : thay nhóm abel = vành giao hoán) trên không gian topo $X $, $\mathcal{M} $ là (tiền) bó các nhóm abel trên không gian topo $X $. Giả sử với mọi $U $ là tập con mở của $X $ $\mathcal{M}(U) $ là $\mathcal{R}(U) $-module thỏa mãn với mọi $U\subset V $ là các tập con mở của $X $

$r_{U,V}(\alpha f)=r_{U,V}(\alpha)r_{U,V}(f) $

trong đó $\alpha\in\mathcal{R}(V), f\in\mathcal{M}(V) $

Khi đó $\mathcal{M} $ được gọi là (tiền) bó các $\mathcal{R} $-modules ( a (pre)sheaf of $\mathcal{R} $-modules)

Ví dụ :
- Giả sử $M $ là đa tạp vi phân. $\mathcal{E} $ là bó các hàm nhẵn (tức là khả vi vô hạn) trên $M $. $\mathcal{E}^p $ là bó các p-dạng vi phân nhẵn trên $M $. Khi đó $\mathcal{E}^p $ là bó các $\mathcal{E} $-modules
- Giả sử $M $ là đa tạp phức. $\mathcal{O} $ là bó các hàm chỉnh hình trên $M $. $\Omega^p $ là bó các p-dạng chỉnh hình trên $M $. Khi đó $\Omega^p $ là bó các $\mathcal{O} $-modules



(Còn nữa)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

6.Bó tự do và bó tự do địa phương - Free sheaves and locally free sheaves
Giả sử $\mathcal{R} $ là bó các vành giao hoán trên không gian topo $X $
a. Bó $\mathcal{R}^p $ $(p\geq 0) $ xác định bởi tiền bó

$U\to\mathcal{R}^p(U):= \mathcal{R} \oplus \ldots \oplus \mathcal{R} $ (p lần)

là một bó các $\mathcal{R} $-modules là được gọi là tổng trực của $\mathcal{R} $

b.Nếu $\mathcal{M} $ là bó các $\mathcal{R} $-modules thỏa mãn $\mathcal{M} $ đẳng cấu với $\mathcal{R}^p $ với $p\geq 0 $ nào đó thì $\mathcal{M} $ được gọi là bó tự do của các module (free sheaf of modules)

c.Nếu $\mathcal{M} $ là bó $\mathcal{R} $-modules thỏa mãn với mọi $x\in X $ tồn tại lân cận mở $U $ của $x $ sao cho $\mathcal{M}_{|U} $ là free, thì $\mathcal{M} $ là bó tự do địa phương {locally free sheaf}

Ví dụ : bó các smooth sections của một phân thớ vector vi phân $E\to X $ là locally free.

7.Bó liên kết với một tiền bó: Mục đích là "biến" một tiền bó thành một bó

Giả sử $\mathfrak{F} $ là tiền bó. Khi đó $\mathfrak{F}^{+} $ là bó thỏa mãn

$\mathfrak{F}^{+}(U)=\{ s:U\to\coprod_{x\in U} \mathfrak{F}_x \} $ thỏa mãn $s(x)\in\mathfrak{F}_x $ sao cho với mọi $x\in U $, tồn tại tập mở $V\in U $, $x\in V $ và một section $t\in\mathfrak{F}(V) $ thỏa mãn $s(y)=t(y) $ với mọi $y\in V $

Nhận xét : định nghĩa này và định nghĩa dùng không gian etale trong sách của Wells là như nhau. Nói chung, nếu mới học thì định nghĩa này dễ nắm bắt hơn là không gian etale, nhưng sẽ chẳng có ích gì nếu học đến phép giải bó mềm chính tắc của một bó.

Mệnh đề 7.1 : Nếu $\mathfrak{F} $ là bó, thì $\mathfrak{F}^{+} $ đẳng cấu với $\mathfrak{F} $

Ví dụ : $\mathfrak{B}^{+} $ là bó các hàm chỉnh hình trên $\mathbb{C} $ (Tiền bó $\mathfrak{B} $ đã được định nghĩa ở [Only registered and activated users can see links. ])

8.Các định nghĩa khác: Bó ảnh, hạt nhân, đối hạt nhân...

Nếu $\Phi:\mathfrak{F}\to\mathfrak{G} $ là cấu xạ bó. Khi đó $Ker\Phi $ với

$(Ker\Phi)(U)= Ker(\Phi(U):\mathfrak{F}(U)\to\mathfrak{G}(U)) $

là một bó. Tương tự với $Im\Phi $ và $Coker\Phi $, nhưng hai tiền bó này chưa chắc đã là bó. Ta gọi $Im\Phi^{+} $ là image sheaf và vẫn ký hiệu là $Im\Phi $

Bó thương: Bó thương của hai bó $\mathfrak{F} $ và $\mathfrak{G} $ là bó liên kết với tiền bó

$U\to\mathfrak{F}(U)/\mathfrak{G}(U) $

Ký hiệu là $\mathfrak{F}/\mathfrak{G} $

9.Phức (complex): Một dãy $\mathfrak{F}^{\bullet} $ các bó

$\ldots\to \mathfrak{F}^i \overset{ \Phi^i}{\to}\mathfrak{F}^{i+1} \overset{ \Phi^{i+1}}{\to}\mathfrak{F}^{i+2} \overset{ \Phi^{i+2}}{\to} \ldots $

là một phức nếu $\Phi^{i+1}\circ\Phi^i=0 $ với mọi $i $

Phức là khớp (exact) nếu $Ker\Phi^{i+1}=Im\Phi^i $ với mọi $i $

Một dãy khớp dạng $0\to \mathfrak{F}^0 \to\mathfrak{F}^1 \to\mathfrak{F}^2\to 0 $ được gọi là dãy khớp ngắn (short exact sequence)

Mệnh đề 9.1: Một phức dạng $0\to \mathfrak{F}^0 \to\mathfrak{F}^1 \to\mathfrak{F}^2\to 0 $ là khớp khi và chỉ khi $0\to \mathfrak{F}^0_x \to\mathfrak{F}^1_x \to\mathfrak{F}^2_x\to 0 $ là khớp với mọi $x $.

10. Phép giải (Resolution). Một phép giải của bó $\mathfrak{F} $ là một dãy khớp có dạng

$0\to\mathfrak{F} \to\mathfrak{F}^0 \to \mathfrak{F}^1\to \ldots $

Ký hiệu $\mathfrak{F}\to\mathfrak{F}^{\bullet} $

Ví dụ :- Xét đa tạp vi phân $M $, và bó các dạng vi phân nhẵn trên $M $, ta có phức de Rham là một phép giải bó hằng $\mathbb{R} $

$0\to\mathbb{R}\to \mathcal{E}\to \mathcal{E}^1\to \mathcal{E}^2\to\ldots $

Dãy này khớp do bổ đề Poincaré : với mọi $x\in M $ tồn tại một lần cận $U $ tại $x $ để $U $ vi phôi (diffeomorphic) với một lân cận hình sao của $\mathbb{R}^n $, khi đó dạng đóng trên $U $ cũng là dạng khớp

- Xét đa tạp phức $M $ và bó các (p,q)-dạng vi phân nhẵn trên $M $. Khi đó ta có phức Dolbeault là phép giải bó hằng $\mathbb{C} $

$0\to\mathbb{C} \to\Omega^p \to\mathfrak{A}^{p,0}\to\mathfrak{A}^{p,1}\to \ldots $

Dãy này khớp do bổ đề Dolbeault

(còn nữa)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

11.Bó flasque và bó mềm (soft sheaf)

Giả sử $\mathfrak{F} $ là bó trên không gian topo $X $. $S\subset X $ là tập con đóng.

Định nghĩa :

$\mathfrak{F}(S)=\lim_{\overset{\longrightarrow}{U \supset S}} \mathfrak{F}(U) $

giới hạn lấy trên các tập $U $ mở.

$\mathfrak{F} $ được gọi là mềm (soft sheaf) nếu ánh xạ hạn chế $\mathfrak{F}(X)\to\mathfrak{F}(S) $ là toàn cấu với mọi $S\subset X $ đóng

(Định nghĩa này giống như : một hàm xác định trên S có thể thác triển lên X thỏa mãn điều kiện gì đó)

Bó $\mathfrak{F} $ được gọi là flasque nếu với mọi $U $ mở $\subset X $, ánh xạ hạn chế $\mathfrak{F}(X)\to\mathfrak{F}(U) $ là toàn cấu.

Nhận xét: bó flasque là bó soft. Cả hai từ flasque và soft đều có nghĩa là mềm

Mệnh đề 11.1: Nếu $0\to\mathfrak{F}^0 \to\mathfrak{F}^1 \to\mathfrak{F}^2 \to 0 $ là dãy khớp ngắn, trong đó $\mathfrak{F}^0 $ là flasque thì dãy cảm sinh

$0\to\mathfrak{F}^0(U) \to\mathfrak{F}^1(U) \to\mathfrak{F}^2(U)\to 0 $

là khớp với mọi $U $ mở $\subset X $

Mệnh đề 11.2: Nếu $\mathfrak{A} $ là bó soft và $0\to\mathfrak{A} \overset{g}{\to}\mathfrak{B} \overset{h}{\to}\mathfrak{C} \to 0 $ là dãy khớp ngắn, thì dãy

$0\to\mathfrak{A}(X) \to \mathfrak{B}(X) \to\mathfrak{C}(X) \to 0 $

là khớp.

Chứng minh : Giả sử $c\in\mathfrak{C}(X) $. Ta cần c/m tồn tại $b\in\mathfrak{B}(X) $ sao cho $h_X(b)=c $
Do tính khớp của dãy, nên với mọi $x\in X $ tồn tại lân cận $U $ của $x $ sao cho tồn tại $b\in\mathfrak{B}(U) $ sao cho $h_U(b)=c_{|U} $ (lưu ý tính khớp là tính chất địa phương)
Do đó, ta có thể phủ $X $ bằng một họ các tập mở $U_i $ thỏa mãn : với mọi $i $ tồn tại $b_i\in\mathfrak{B}(U_i) $ sao cho $h_{U_i}(b_i)=c_{|U_i} $
Do $X $ là paracompact, nên tồn tại phủ mịn hơn, hữu hạn địa phương $V_j $ của $U_i $ và giả thiết thêm $V_j $ là các tập đóng.

Xét tất cả các cặp $(b,V) $ , ở đây, $V $ là hợp của các tập trong $\{V_i\} $, và $b\in\mathfrak{B}(V) $ thỏa mãn $h_V(b)=c_{|V} $. (lưu ý : do tính hữu hạn địa phương, nên V là tập đóng)

Xét thứ tự định nghĩa bởi :

$(b,V) \leq (b^',V^') \Leftrightarrow \left\{ V\subset V^' \\ b^'_{|V}= b \right. $

Theo bổ đề Zorn, tồn tại phần tử cực đại $(b,V) $ thỏa mãn $h_V(b)=c_{|V} $. Ta cần chứng minh $V = X $.

Phản chứng : Nếu $V \neq X $, khi đó tồn tại $V_j $ sao cho $V_j\not\subset V $ . Do $h(b-b_j) = c- c = 0 $ trên $V\cap V_j $. Do tính khớp tại $\mathfrak{B}(X) $ nên tồn tại $a\in\mathfrak{A}(V\cap V_j) $ sao cho $g(a) = b-b_j $
Do $\mathfrak{A} $ mềm, nên có thể thác triển $a $ lên toàn $X $.
Định nghĩa $\tilde{b}\in\mathfrak{B}(V\cup V_j) $ như sau

$\tilde{b} = \left\{ b ( on V )\\ b_j +g(a) (on V_j) \right. $

Khi đó $h(\tilde{b}) =c_{|V\cup V_j} $ , do đó $V $ không cực đại.

(còn nữa)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Xong rồi bỏ mấy bài tập trong Robin Hartshorne mà giải, thế là ngon rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Hì, mãi mới có thời gian rảnh một chút

12.Bó tốt (fine sheaf): X là không gian Hausdorff paracompact. $\mathfrak{F} $ là bó trên X. $\mathfrak{F} $ là tốt (fine) nếu mọi phủ mở hữu hạn địa phương $\{U_i\} $ của X, tồn tại họ các đồng cầu bó $\{\eta_i : \mathfrak{F} \to \mathfrak{F}\} $ thỏa mãn

• $\sum \eta_i = 1 $
• $\eta_i(\mathfrak{F}_x) = 0 \forall x \in V $ mở nào đó chứa $X-U_i $

Họ $\{\eta_i\} $ trên được gọi là phân hoạch đơn vị của bó $\mathfrak{F} $ đối với phủ $\{U_i\} $

Ví dụ : Các bó sau là fine.

• $C_X $ bó các hàm liên tục trên không gian topo Hausdorff paracompact X
• $\mathfrak{E}_X $ bó các hàm nhẵn trên đa tạp vi phân X
• $\mathfrak{E}^{p,q}_X $ bó các (p,q)-dạng vi phân trên đa tạp (hầu) phức X

(Về các định nghĩa của các bó này thì đọc trong [Only registered and activated users can see links. ])

13. Mệnh đề : bó tốt là bó mềm.

C/m: Giả sử $\mathfrak{F} $ là bó tốt trên X và S là tập con đóng của X. Giả sử $x\in \mathfrak{F}(S) $. Khi đó có một phủ gồm các tập mở trong X $\{U_i\} $ của tập $S $ và tồn tại các nhát cắt $s_i\in \mathfrak{F}(U_i) $ sao cho $s_i_{|U_i \cap S} = s_{|U_i \cap S} $.

Đặt $U_0 = X-S $ và $s_0 = 0 $ , khi đó $\{U_i\} $ là phủ mở của X. Do X là paracompact, ta có thể giả sử $\{U_i\} $ hữu hạn địa phương và do đó có một phần hoạch đơn vị $\{\eta_i\} $ đối với $\{U_i\} $. Ta có $\eta_i (s_i) $ là nhát cắt trên $U_i $ và đồng nhất 0 trong một lân cận của biên $\partial U_i $ (do định nghĩa của phân hoạch) , và do đó, nó có thể thác triển lên toàn X. Do đó, ta định nghĩa

$\tilde{s} = \sum_{i} \eta_i(s_i) $

thì $\tilde{s} $ là thác triển cần tìm của $s $ và do đó, bó $\mathfrak{F} $ là bó mềm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

14. Không gian étalé :

(a) Một [Only registered and activated users can see links. ] trên không gian topo X là một không gian topo $\mathfrak{F} $ cùng với một toàn ánh liên tục $\pi : \mathfrak{F}\to X $ sao cho $\pi $ là đồng phôi địa phương.

(b) Một nhát cắt (section) của không gian étalé $\mathfrak{F}\to X $ trên một tập mở $U\subset X $ là một ánh xạ liên tục $s : U\to \mathfrak{F} $ sao cho $\pi \circ s = id_U $. Tập các nhát cắt trên U được ký hiệu là $\Gamma(U, \mathfrak{F}) $

Từ tiền bó $\mathfrak{F} $ trên X , ta xây dựng không gian etale $\tilde{\mathfrak{F}} \to X $ như sau

$\tilde{\mathfrak{F}} = \coprod_{x\in X} \mathfrak{F}_x $

$\pi :\tilde{\mathfrak{F}} \to X $ là ánh xạ chiếu tự nhiên biến các điểm thuộc $\mathfrak{F}_x $ thành x. Ta trang bị cho $\tilde{\mathfrak{F}} $ topo như sau :

Với mỗi tập con mở $U\subset X $, $s\in \mathfrak{F}(U) $, ta định nghĩa

$N(U,s) = \{s_x : x\in U\} $

trong đó $s_x\in \mathfrak{F}_x $ cảm sinh bởi $s $ . Họ $\{N(U,s)\} $ là cơ sở topo của $\tilde{\mathfrak{F}} $.

Khi đó $\tilde{\mathfrak{F}} \to X $ là không gian etale trên X.

Nhận xét : bó liên kết $\mathfrak{F}^{+} $ định nghĩa như ở [Only registered and activated users can see links. ] thỏa mãn $\mathfrak{F}^{+}(U) = \Gamma(U,\tilde{\mathfrak{F}}) $ (coi như bài tập nhỏ )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Lẽ ra mệnh đề này phải trình bày ở phần bó mềm :rokeyrulez:

15. Mệnh đề (Hệ quả của 11.2) : Nếu $\mathfrak{A} $,$\mathfrak{B} $ là mềm và dãy

$0\to \mathfrak{A} \overset{g}{\to} \mathfrak{B} \overset{h}{\to} \mathfrak{C} \to 0 $

khớp thì $\mathfrak{C} $ cũng mềm

Chứng minh: do $\mathfrak{A} $ mềm nên dãy

$0\to \mathfrak{A}(X) \to \mathfrak{B}(X) \to \mathfrak{C}(X) \to 0 $

khớp. $S\subset X $ đóng bất kỳ, khi đó với mọi tập F là tập con đóng trong S thì cũng đóng trong X. Do đó, các bó cảm sinh $\mathfrak{A}_{|S} $ và $\mathfrak{B}_{|S} $ mềm.

Do đó, dãy

$0\to \mathfrak{A}(S) \to \mathfrak{B}(S) \to \mathfrak{C}(S) \to 0 $

khớp.

Lấy $c\in\mathfrak{C}(S) $ bất kỳ. Khi đó tồn tại $b\in\mathfrak{B}(S) $ sao cho $h_S(b)=c $. Do $\mathfrak{B} $ mềm nên $b= {\tilde{b}}_{|S} $ với $\tilde{b}\in\mathfrak{B}(X) $

Đặt $\tilde{c}= h_X(\tilde{b}) $, khi đó ${\tilde{c}}_{|S}=c $. Do đó $\mathfrak{C} $ mềm.

16. Mệnh đề (Hệ quả của 11.2) : Nếu dãy

$0\to \mathfrak{F}_0 \to \mathfrak{F}_1\to \ldots $

là dãy khớp các bó mềm thì dãy

$0\to \mathfrak{F}_0(X) \to\mathfrak{F}_1(X) \to \ldots $

khớp.

Chứng minh : Xem trong Wells , trang 54

17.Nhóm đối đồng điều với hệ số trong bó: Giả sử $\mathfrak{F} $ là bó trên không gian topo X.

Phép giải

$0\to \mathfrak{F} \to\mathfrak{F}^0 \to \mathfrak{F}^1 \ldots $

được gọi là chính tắc nếu các bó $\mathfrak{F}^i $ là bó mềm với mọi $i $.

Khi đó, ta định nghĩa

$H^q(X,\mathfrak{F}):= \frac{Ker(\mathfrak{F}^q(X) \to \mathfrak{F}^{q+1}(X))}{Im(\mathfrak{F}^{q-1}(X) \to \mathfrak{F}^q(X))} $

$H^q(X,\mathfrak{F}) $ được gọi là [Only registered and activated users can see links. ] của không gian X bậc q với hệ số trong bó $\mathfrak{F} $

Về sự tồn tại của phép giải chính tắc, đọc chứng minh trang 54-55.

18. Định lý Leray: Hai phép giải chính tắc của bó $\mathfrak{F} $ là đồng luân

Vậy 2 phép giải chính tắc bất kỳ đều cho các nhóm đối đồng điều bó như nhau.

Nhận xét : $H^0(X,\mathfrak{F}) = \mathfrak{F}(X) $
Nếu $\mathfrak{F} $ mềm , thì $H^i(X,\mathfrak{F})=0 $ với $i>0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

19. Các tiên đề của lý thuyết đối đồng điều :
Phần này dài nên 99 ngại gõ, nhưng nó lại rất quan trọng. Vì vậy, mọi người đọc ở trang 56, sách của [Only registered and activated users can see links. ] nhé

20.Bó acyclic và phép giải acyclic:

Giả sử $\mathfrak{F} $ là bó trên X.

$\mathfrak{F} $ là bó acyclic nếu $H^q(X,\mathfrak{F})=0 $ với mọi $q>0 $

Phép giải $0\to \mathfrak{F} \to \mathfrak{F}^{\bullet} $ là acyclic nếu $H^q(X, \mathfrak{F}^p)= 0 $ với mọi $q>0 $, $p\geq 0 $

Nhận xét: phép giải gồm các bó mềm là acyclic.

21. Đối đồng điều Cech

Để tính nhóm đối đồng điều bó, ta có thể dùng đối đồng điều Cech.

Giả sử X là không gian topo, $\mathfrak{F} $ là bó trên X. $\mathfrak{U} = \{U_{\alpha}\} $ là phủ mở của X

Một q-đơn hình (q-simplex) $\sigma $ là một họ có thứ tự gồm q+1 tập hợp thuộc $\mathfrak{U} $ và có giao khác rỗng.
Cụ thể : $\sigma = (U_0,\ldots,U_q) $ và $\cap_{i=0}^q U_i \neq \empty $

Tập $\cap_{U_i \in \sigma} U_i $ được gọi là giá của đơn hình $\sigma $, ta ký hiệu là $|\sigma| $

Một q-đối dây chuyền (q-cochain) của $\mathfrak{U} $ với hệ số trong $\mathfrak{F} $ là một ánh xạ f liên kết mỗi đơn hình $\sigma $ một phần tử $f(\sigma) \in \mathfrak{F}(|\sigma|) $. Tập các q-cochain được ký hiệu là $C^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) $ là một nhóm abel.

Ta định nghĩa toán tử đối bờ (coboundary operator) $\delta : C^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) \to C^{q+1}(\mathfrak{U}, \mathfrak{F}) $ như sau

Nếu $f\in C^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) $ và $\sigma = (U_0,\ldots,U_{q+1}) $
$(\delta f) (\sigma) = \sum_{i=0}^{q+1} (-1)^i r_{|\sigma|,|\sigma_i|} (f(\sigma_i)) $
ở đây $\sigma_i = (U_0,\ldots, U_{i-1},U_{i+1},\ldots, U_{q+1}) $

Khi đó $\delta $ là đồng cấu nhóm và thoả mãn $\delta^2 =0 $

Ta có phức
$C^{*}(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) := C^0(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) \overset{\delta}{\to} C^1(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) \to \ldots $

Đối đồng điều của phức này được gọi là đối đồng điều Cech của phủ $\mathfrak{U} $ với hệ số trong bó $\mathfrak{F} $.

Cụ thể : Nếu đặt $Z^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) = Ker \delta : C^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) \to C^{q+1}(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) $

và $B^q (\mathfrak{U},\mathfrak{F}) : = Im \delta : C^{q-1}(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) \to C^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) $

thì $H^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) := \frac{Z^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F})}{B^q( \mathfrak{U}, \mathfrak{F})} $ (nhóm đối đồng điều Cech thứ q của phủ $\mathfrak{U} $)

Một vài kết quả (chép từ Appendix cuối chương 2, sách của Wells)

(a) Nếu $\mathfrak{V} $ là refinement của $\mathfrak{U} $ khi đó ta có đồng cầu nhóm tự nhiên

$\mu_{\mathfrak{U},\mathfrak{V}} : H^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) \to H^q(\mathfrak{V},\mathfrak{F}) $

và $\lim_{\overset{\longrightarrow}{\mathfrak{U}}} H^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) = H^q(X,\mathfrak{F}) $ ("=" là đẳng cấu)

(b) Nếu $\mathfrak{U} $ là phủ thoả mãn $H^q(|\sigma|,\mathfrak{F}) =0 $ với mọi $q\geq 1 $ và $\sigma $ của $\mathfrak{U} $
Khi đó, $H^q(X,\mathfrak{F}) = H^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) $ với mọi $q\geq 0 $

(và khi đó, $\mathfrak{U} $ được gọi là phủ Leray)

(c) Nếu X là paracompact và $\mathfrak{U} $ là hữu hạn địa phương, khi đó $H^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F})=0 $ với mọi $q>0 $ và mọi bó tốt $\mathfrak{F} $

(còn nữa)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

Em viết đang rất hay ,đợt trước anh làm mọi người nghi ngờ,Chứ anh đang quan tâm em viết,anh vẫn đủ tham vọng theo dõi em theo đuổi,cơ mà.Về đồng điều anh cũng quan tâm nhiều lắm,vì nó cũng dính một phần trong lĩnh vực của anh.Với lại làm hình học mà không biết nó thì chắc không còn sĩ diện học toán nhỉ,và chí ít cũng biết dc cái khởi đầu của em,phải không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

Thôi em nó viết chi tiết để mọi người theo dõi,như là một cuộc nói chuyện.Đọc sách cũng tùy mức độ hiểu đến đâu,có những người như mình chẳng hạn có đọc sách thì có dám viết đâu.Nên Đức Anh cứ viết tiếp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

@ những ai nói topic này là rác rưởi, toàn copy hết từ sách ra... :
99 có vài lời thôi.

1. Nếu đã đọc hết các bài rồi thì sẽ thấy 99 copy ở chỗ nào, chỗ nào tự viết.
2. Sách thảo luận là sách của Wells, không phải của Hartshorne, vì vậy đừng nhầm lẫn.
3. Mỗi sách viết theo một kiểu, phục vụ những mục đích khác nhau. Sách của Wells giới thiệu đại cương để còn học hình học vi phân Hermit, đa tạp Kahler,... nên Wells trình bày tắt và sẽ có vài khó hiểu nếu mọi người mới đọc Wells.
99 cố gắng trình bày những hiểu biết của 99 khi đọc sách này, đơn giản vậy thôi. Nếu ai đó biết nhiều hơn 99 và sẵn sàng giúp mọi người, và giúp 99 thì có thể trình bày những cái sâu hơn mà 99 chưa biết. 99 sẽ rất cảm ơn.

4. Topic này có thể coi như bài thuyết trình ở Seminar. Ở Seminar, chỗ nào 99 không biết, 99 vẫn có thể hỏi mọi người mà.

5. Cuối cùng, mục đích của 99 là để phổ biến kiến thức về lý thuyết bó. Nhiều người nghe đến từ : "đối đồng điều với hệ số trong bó" đã cảm thấy hoa mỹ, choáng ngợp quá. Có thể nhiều người không hiểu 99 đang làm gì.
99 chỉ đưa ra vài ví dụ thôi : ai cũng biết đến tiếng tăm của NCT, DQV rồi chứ... Chỉ nghe mấy từ siêu......, với nổ........, mà học trò VN đã tròn xoe mắt kính phục. Đọc một bài viết nào đó, thấy dùng nhiều từ hoa mỹ, đã tưởng ngay người viết là người giỏi. Nghe đến từ "hình học đại số" là bao nhiêu người nhăm nhe đọc ngay sách của Hartshorne...

Những điều này, có thể những người làm Toán như anh Kakalotta không hiểu, coi là rách việc, nhưng nếu là giáo viên, chắc ai cũng khổ tâm cả.

99 chỉ có mấy lời vậy thôi. Hiểu hay không hiểu là tùy thuộc mọi người.

================================================== ==

Tiếp tục post trước. 99 giải thích mấy chỗ khó hiểu mà 99 chép từ Appendix trong sách của Wells.

Ta xây dựng đồng cấu nhiên ở (a)


Giả sử $\mathfrak{V} $ là phủ mịn hơn đối với phủ $\mathfrak{U} $

Giả sử $\mathfrak{U}= \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in I} $ và $\mathfrak{V} = \{V_{\beta}\}_{\beta\in J} $

Nhận xét $C^q(\mathbb{U},\mathfrak{F}) = \prod_{\sigma} \mathfrak{F}(\sigma) $
$= \prod_{i_0 <\ldots < i_q}\mathfrak{F}(U_{i_0}\cap \ldots \cap U_{i_q}) $

I, J sắp thứ tự toàn phần.

$\Phi : J \to I $ thỏa mãn $V_{\beta} \subset U_{\Phi(\beta)} $
Khi đó $\Phi $ cảm sinh
$\tilde{\Phi} : C^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) \to C^q(\mathfrak{V},\mathfrak{F}) $
$\tilde{\Phi}\omega (V_{\beta_0}\cap\ldots \cap V_{\beta_q}) $ $= \omega(U_{\Phi(\beta_0)}\cap \ldots \cap U_{\Phi(\beta_q)}) $

Nhận xét (mọi người tự chứng minh)

(i) $\Phi \circ \delta = \delta \circ \Phi $ . Hay \Phi là một ánh xạ dây chuyền (chain map ; về khái niệm này, đọc trong Nhập môn đại số đồng điều, bản tiếng Việt của Hu, hoặc bất cứ giáo trình topo đại số nào)
(ii) Nếu $\Psi : J\to I $ là một ánh xạ mịn (refinement map) khác $\Phi $ thì $\tilde{\Phi} $ và $\tilde{\Psi} $ đồng luân (khái niệm đồng luân của hai chain map cũng tìm hiểu ở trong các tài liệu trên)
Cụ thể ta xây dựng homotopy
$K: C^q(\mathfrak{U},\mathfrak{F}) \to C^{q-1} (\mathfrak{V},\mathfrak{F}) $

$K\omega (V_{\beta_0,\ldots, \beta_{q-1}}) = \sum (-1)^i \omega (U_{\Phi(\beta_0)\ldots \Phi(\beta_i) \Psi(\beta_i)\ldots \Psi(\beta_{q-1})}) $

Khi đó $\tilde{\Psi} - \tilde{\Phi}= K\delta + \delta K $

~~> $\Phi $ cảm sinh đồng cầu tự nhiên trên nhóm đối đồng điều.

Ta lấy giới hạn trực tiếp của nhóm đồng điều Cech theo hệ trực tiếp này.

Định nghĩa về giới hạn trực tiếp tìm hiểu ở phần bài tập chương 2, sách của Atiyah-McDonald.

(b) Ví dụ về phủ Leray :

Giả sử X là đa tạp vi phân paracompact. Xét $\mathfrak{U} $ là phủ mở của X gồm các tập mở lồi trắc địa (hai điểm bất kỳ có thể nối được bằng một đường trắc địa nằm trong tập mở đó), đây là phủ Leray đối với bó hằng $\mathbb{R} $ của X

Tham khảo thêm về Good cover trong Differential Forms in Algebraic Topology của Bott-Tu (hình như phần đầu sách có nói)

Để hiểu thêm chút xíu về Cech cohomology, mọi người nên tự tay tính thử đối đồng điều Cech của $S^1 $ đối với bó $\mathbb{Z} $ với phủ mở gồm 2 tập mở.
=========================================
Lẽ ra 99 nên trình bày thêm một số đẳng cấu nhóm đối đồng điều bó như định lý Dolbeault, bó de Rham,... mọi người chịu khó đọc sách của Wells nhé.

Cuối cùng, nếu có gì sai sót trong trình bày, hy vọng mọi người sẽ sửa giúp 99. 99 cám ơn rất nhiều.

Topic đến đây là dừng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]