Chứng minh hình thang cân

sieubaoeskimo · 13-02-2011, 07:13 PM

Cho $\triangle ABC $ cân tại A. Trên các đoạn AB,AC lần lượt lấy các điểm D,E không trùng 2 đầu mút. Các đường tròn (D,DB);(E,EC) cắt nhau tại X khác phía với BC so với DE. M là giao điểm của AC và XD; N là giao điểm của AB và XE.(M,MX) cắt tia đối của tia MA tại P;(N,NX) cắt tia đối của tia NA tại Q.Chứng minh PQCB là hình thang cân.

robert.nguyen · 13-02-2011, 09:23 PM

Trích:

Nguyên văn bởi sieubaoeskimo

Cho $\triangle ABC $ cân tại A. Trên các đoạn AB,AC lần lượt lấy các điểm D,E không trùng 2 đầu mút. Các đường tròn (D,DB);(E,EC) cắt nhau tại X khác phía với BC so với DE. M là giao điểm của AC và XD; N là giao điểm của AB và XE.(M,MX) cắt tia đối của tia MA tại P;(N,NX) cắt tia đối của tia NA tại Q.Chứng minh PQCB là hình thang cân.

Bài này hinh như sai. Hình thì hãy mở file dưới đây thì biết.

perfectstrong · 13-02-2011, 09:31 PM

Đề đúng mà, lại rất đẹp.

**phantiendat_hv** · 13-02-2011, 10:25 PM

Đề đúng đấy, bài này hay mà khó thiệt làm mãi mà chua ra nũa
Ai làm được giải nhanh giúp mình với

tuanh208 · 14-02-2011, 12:59 AM

Mượn hình bạn phantiendat_hv nhé

Ta có $\widehat{XQA}=90^{0}-\widehat{\frac{XNQ}{2}}=90^{0}-\left (\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{AEN}}{2} \right )=\widehat{ACB}-\widehat{ACX}=\widehat{XCB} $
Vậy tứ giác BQXC nội tiếp
Tương tự suy ra 5 điểm B,Q,X,P,C cùng nằm trên 1 đường tròn
Do đó tứ giác BQPC nội tiếp suy ra đpcm.

sieubaoeskimo · 14-02-2011, 05:41 PM

Thực ra bài toán này là chứng minh 1 trong 2 giao điểm của (N,NX) với AB và 1trong 2 giao điểm của (M,MX) với AC cùng với B;C tạo thành tứ giác nội tiếp.
Bài toán trên xuất phát từ bài toán sau:
Cho tứ giác ABCD thoả AB+BC=AD+DC,E là giao điểm của AB và CD;F là giao điểm của AD và BC.Khi đó AE + EC=AF+FC.

**novae** · 15-02-2011, 12:02 PM

Một bài toán khác với cùng giả thiết như trên: Gọi $I $ là trung điểm $DE $. $Y $ là giao điểm thứ hai của $(D) $ và $(E) $. Chứng minh rằng $BC,XY,AI $ đồng quy.

tuanh208 · 15-02-2011, 08:36 PM

Dựng hbh AEFD, từ đó $\overline{A,I,F} $
Đt AF, DF, EF cắt BC lần lượt tại J, K, L
Dễ cm K thuộc (D), L thuộc (E)
Ta có $\frac{JK}{JC}=\frac{JF}{JA}=\frac{JL}{JB} \Rightarrow JK.JB=JL.JC\Rightarrow J\in XY $(đpcm)

perfectstrong · 15-02-2011, 09:04 PM

Trích:

Nguyên văn bởi tuanh208

Dựng hbh AEFD, từ đó $\overline{A,I,F} $
Đt AF, DF, EF cắt BC lần lượt tại J, K, L
Dễ cm K thuộc (D), L thuộc (E)
Ta có $\frac{JK}{JC}=\frac{JF}{JA}=\frac{JL}{JB} \Rightarrow JK.JB=JL.JC\Rightarrow J\in XY $(đpcm)

Anh nói rõ hơn được ko, tại sao lại có J thuộc XY.

**novae** · 15-02-2011, 09:29 PM

Trích:

Nguyên văn bởi perfectstrong

Anh nói rõ hơn được ko, tại sao lại có J thuộc XY.

$JK.JB=JL.JC \Rightarrow $ phương tích của $P $ đối với $(D) $ và $(E) $ bằng nhau. Do đó $P $ nằm trên trục đẳng phương của $(D) $ và $(E) $, chính là $XY $.
Phương tích - trục đẳng phương là kiến thức của lớp 10. Với lớp 9 có thể chứng minh qua các mệnh đề sau:

$XY $ là quỹ tích các điểm $Z $ thỏa mãn $DZ^2-EZ^2 = R_{(D)}^2 - R_{(E)}^2 $
$DJ^2-EJ^2=R_{(D)}^2 - R_{(E)}^2 $

13-02-2011, 07:13 PM	#1
sieubaoeskimo +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 19 Thanks: 2 Thanked 4 Times in 3 Posts	Chứng minh hình thang cân Cho $\triangle ABC $ cân tại A. Trên các đoạn AB,AC lần lượt lấy các điểm D,E không trùng 2 đầu mút. Các đường tròn (D,DB);(E,EC) cắt nhau tại X khác phía với BC so với DE. M là giao điểm của AC và XD; N là giao điểm của AB và XE.(M,MX) cắt tia đối của tia MA tại P;(N,NX) cắt tia đối của tia NA tại Q.Chứng minh PQCB là hình thang cân.

13-02-2011, 09:31 PM	#3
perfectstrong +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Đà Nẵng Bài gởi: 91 Thanks: 388 Thanked 35 Times in 25 Posts	Đề đúng mà, lại rất đẹp. __________________ Lãng tử và toán học…

13-02-2011, 10:25 PM	#4
phantiendat_hv +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: Bình Phước.....$ xứ bụi $ Bài gởi: 379 Thanks: 276 Thanked 410 Times in 185 Posts	Đề đúng đấy, bài này hay mà khó thiệt làm mãi mà chua ra nũa Ai làm được giải nhanh giúp mình với thay đổi nội dung bởi: phantiendat_hv, 13-02-2011 lúc 10:28 PM

15-02-2011, 12:02 PM	#7
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Một bài toán khác với cùng giả thiết như trên: Gọi $I $ là trung điểm $DE $. $Y $ là giao điểm thứ hai của $(D) $ và $(E) $. Chứng minh rằng $BC,XY,AI $ đồng quy. __________________ M.

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

14-02-2011, 12:59 AM	#5
tuanh208 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2008 Bài gởi: 35 Thanks: 11 Thanked 25 Times in 13 Posts	Mượn hình bạn phantiendat_hv nhé Ta có $\widehat{XQA}=90^{0}-\widehat{\frac{XNQ}{2}}=90^{0}-\left (\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{AEN}}{2} \right )=\widehat{ACB}-\widehat{ACX}=\widehat{XCB} $ Vậy tứ giác BQXC nội tiếp Tương tự suy ra 5 điểm B,Q,X,P,C cùng nằm trên 1 đường tròn Do đó tứ giác BQPC nội tiếp suy ra đpcm.

14-02-2011, 05:41 PM	#6
sieubaoeskimo +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 19 Thanks: 2 Thanked 4 Times in 3 Posts	Thực ra bài toán này là chứng minh 1 trong 2 giao điểm của (N,NX) với AB và 1trong 2 giao điểm của (M,MX) với AC cùng với B;C tạo thành tứ giác nội tiếp. Bài toán trên xuất phát từ bài toán sau: Cho tứ giác ABCD thoả AB+BC=AD+DC,E là giao điểm của AB và CD;F là giao điểm của AD và BC.Khi đó AE + EC=AF+FC.