cmr...

caca nguyen · 30-01-2008, 05:28 PM

CMR:
$\frac{(a-1)!b}{a_1! a_2!...a_r!} $ là số nguyên,trong đó $a=\sum a_i,b=UCLN(a_1,a_2,...,a_r) $

fool90 · 04-02-2008, 02:59 PM

Để ý các tính chất sau(tự cm vì nó khá hiển nhiên):
1) $[\frac{a}{d} ]=[\frac{a-1}{d} ] +\epsilon $
$\epsilon =0 nếu a \no \vdots d. $
$\epsilon =0 nếu a \vdots d. $

2) $[a+b] \geq [a] +[b] \geq [a+b] -1. $

3) Kí hiệu $V_p (a) $ là số $k $ max sao cho $a \vdots p^k. $
thì :
$V_p ((a+b)!) \geq V_p (a!) + V_p (b!) $
$V_p (a!) =V_p ((a-1)!) \forall a \no \vdots p. $

Với mỗi p là ước của $a! $ , ta cm $V_p $Tử $\geq $ $V_p $mẫu ($V_p T \geq V_p M $)
$V_p M = \sum V_p (a_i !) $
$V_p T =V_p ((a-1)!) +V_p (b) $

Giả sử $min V_p (a_j) = V_p (a_l) = k $
suy ra $V_p (b) =k $
Có:
$V_p T= V_p (a-1)! + V_p (b) = V_p (a-1)! + k \geq \sum\limits_{i=1;i \neq l}^r V_p (a_i!) + V_p ((a_l-1) !) +k = \sum\limits_{i=1;i \neq l}^r V_p (a_i!)+ V_p((a_l)!) =V_p M $
$\Rightarrow V_p T \geq V_p M $

Do đó ta có biểu thức đã cho nguyên

30-01-2008, 05:28 PM	#1
caca nguyen M&F_dn Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: 10A1_Lê Quý Đôn,Đà Nẵng Bài gởi: 75 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	cmr... CMR: $\frac{(a-1)!b}{a_1! a_2!...a_r!} $ là số nguyên,trong đó $a=\sum a_i,b=UCLN(a_1,a_2,...,a_r) $ __________________ Cảm ơn đời mỗi sớm mai thức dậy Cho ta thêm một ngày nữa để yêu thương! Mathemater N.T.T reamer:^_^reamer:

04-02-2008, 02:59 PM	#2
fool90 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Ninh Bình Bài gởi: 49 Thanks: 1 Thanked 13 Times in 4 Posts	Để ý các tính chất sau(tự cm vì nó khá hiển nhiên): 1) $[\frac{a}{d} ]=[\frac{a-1}{d} ] +\epsilon $ $\epsilon =0 nếu a \no \vdots d. $ $\epsilon =0 nếu a \vdots d. $ 2) $[a+b] \geq [a] +[b] \geq [a+b] -1. $ 3) Kí hiệu $V_p (a) $ là số $k $ max sao cho $a \vdots p^k. $ thì : $V_p ((a+b)!) \geq V_p (a!) + V_p (b!) $ $V_p (a!) =V_p ((a-1)!) \forall a \no \vdots p. $ Với mỗi p là ước của $a! $ , ta cm $V_p $Tử $\geq $ $V_p $mẫu ($V_p T \geq V_p M $) $V_p M = \sum V_p (a_i !) $ $V_p T =V_p ((a-1)!) +V_p (b) $ Giả sử $min V_p (a_j) = V_p (a_l) = k $ suy ra $V_p (b) =k $ Có: $V_p T= V_p (a-1)! + V_p (b) = V_p (a-1)! + k \geq \sum\limits_{i=1;i \neq l}^r V_p (a_i!) + V_p ((a_l-1) !) +k = \sum\limits_{i=1;i \neq l}^r V_p (a_i!)+ V_p((a_l)!) =V_p M $ $\Rightarrow V_p T \geq V_p M $ Do đó ta có biểu thức đã cho nguyên