Đề thi China TST 2013

[huynhcongbang]

Dưới đây là đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc dự thi IMO năm nay. Mọi người tham khảo thử nhé:

Câu 3 của đề ngày 24/3 khá khó hiểu. Mình gửi kèm bản gốc và bản tiếng Anh để mọi người dịch giúp chuẩn hơn nhé!
Bản tiếng Trung:



Bản tiếng Anh:
101 people, sitting at a round table in any order, had 1,2,3,...,101 cards, respectively. A transfer is someone give one card to one of the two people adjacent to him. Find the smallest positive integer k such that there always can through no more than k times transfer, each person hold cards of the same number, regardless of the order.

Bản dịch ở dưới là theo bản tiếng Trung nhưng chưa hiểu rõ ý của đề lắm.

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TRUNG QUỐC THI IMO
NĂM 2012 – 2013

Ngày 13 tháng 3 năm 2013

Bài 1.
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $\Omega $ có hai đường chéo$AC,BD$ là cắt nhau tại $F$, các đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau tại $E$. Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $F$ lên $AB,CD$ tương ứng là $G,H$ và các điểm $M,N$lần lượt là trung điểm của các đoạn $BC,EF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNG$ cắt đoạn $BF$tại $P$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNH$cắt đoạn $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$.

Bài 2.
Với n là số nguyên dương, ta định nghĩa $f(n)=\underset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\min }}\,\left| \sqrt{2}-\frac{m}{n} \right|$. Giả sử $({{n}_{i}})$ là một dãy các số nguyên dương tăng ngặt và $C$ là một hằng số sao cho $f({{n}_{i}})<\frac{C}{{{n}^{2}}},i=1,2,3,...$ Chứng minh rằng tồn tại một số thực $q>1$ để ${{n}_{i}}\ge {{q}^{i-1}},i=1,2,3,...$

Bài 3.
Cho số nguyên dương $n\ge 3.$ Đánh số $1,2,3,...,n$ lên $n$ quả bóng để tô màu cho các quả bóng, mỗi quả bóng được tô một trong bốn màu đỏ, vàng, lam và lục theo cách sau: Đầu tiên sắp xếp $n$ quả bóng một cách tùy ý thành vòng tròn, với ba quả bóng liên tiếp bất kỳ theo chiều kim đồng hồ, ta có 3 số $i,j,k$ tương ứng ghi trên chúng. Ta xét các điều kiện sau:
o Nếu $i>j>k$ thì quả bóng $j$ được tô màu đỏ.
o Nếu $i<j<k$ thì quả bóng $j$ được tô màu vàng.
o Nếu $i<j,k<j$ thì quả bóng $j$ được tô màu lam.
o Nếu $i>j,k>j$ thì quả bóng $j$ được tô màu lục.
Hai cách tô màu $n$ quả bóng được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một quả bóng trong hai cách tô màu có màu khác nhau. Tìm số tất cả các cách tô màu khác nhau.

Ngày 14 tháng 3 năm 2013

Bài 4.
Gọi $n,k$ là các số nguyên lớn hơn 1, các số thực không âm ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$; ${{c}_{1}},{{c}_{2}},...,{{c}_{n}} $ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
1) ${{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge ...\ge {{a}_{n}}$ và ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=1$.
2) Với $m=1,2,3,...,n$ thì ${{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{m}}\le {{m}^{k}}$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ {{c}_{1}}a_{1}^{k}+{{c}_{2}}a_{2}^{k}+...+{{c}_{n} }a_{n}^{k} $ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5.
Gọi $P$ là một điểm nằm bên trong $ABC$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Giả sử rằng $PL : PM : PN = BC : CA : AB$. Kéo dài các tia $AP,BP,CP$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần thứ hai ở $D,E,F$. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $APF,APE,BPF,BPD,CPD,CPE$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 6.
Tìm tất cả các số thực dương $r<1$, sao cho tồn tại một tập hợp $S$ các số thực thỏa mãn tính chất sau: Với bất kì số thực $t$ nào đó, có đúng một trong các số $t,t+r,t+1$ thuộc $S$ và có đúng một trong các số $t-1,t-r,t$ thuộc $S$.

Ngày 18 tháng 3 năm 2013

Bài 1.
Với số nguyên $k\ge 2$, gọi ${{T}_{k}}=\left\{ (x,y)|x,y=0,1,2,...,k-1 \right\}$ là một tập hợp gồm ${{k}^{2}}$ điểm trong mặt phẳng tọa độ vuông góc. Các khoảng cách giữa các điểm trong ${{T}_{k}}$ được sắp xếp từ lớn đến nhỏ như sau ${{d}_{1}}(k)>{{d}_{2}}(k)>{{d}_{3}}(k)>...$Gọi ${{S}_{i}}(k)$ là số các cặp điểm thuộc ${{T}_{k}}$ có khoảng cách bằng ${{d}_{i}}(k)$. Chứng minh nếu $m,n$ là các số nguyên dương mà $m>n>i$ thì ${{S}_{i}}(m)={{S}_{i}}(n).$

Bài 2.
Chứng minh tồn tại số nguyên dương $k$ và dãy số nguyên dương tăng ngặt $({{a}_{n}})$ sao cho với bất kì số nguyên dương $n$ nào, ta đều có ${{a}_{n}}<K{{(1,01)}^{n}}$ và tổng của hữu hạn các số hạng bất kì của $({{a}_{n}})$ đều không phải là số chính phương.

Bài 3.
Gọi $A$ là tập hợp 6 điểm nào đó trong mặt phẳng. Đặt $n(A)$ là số các đường tròn đơn vị đi qua ít nhất 3 điểm trong $A$. Tìm giá trị lớn nhất của $n(A)$.

Ngày 19 tháng 3 năm 2013

Bài 4.
Cho số nguyên $N>1$ phân tích được thành $N=p_{1}^{{{\alpha }_{1}}}p_{2}^{{{\alpha }_{2}}}\cdot \cdot \cdot p_{k}^{{{\alpha }_{k}}}$, đặt $\Omega \left( N \right)={{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{k}}$. Với ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ là các số nguyên dương , xét $P(x)=\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)\cdot \cdot \cdot \left( x+{{a}_{n}} \right)$. Giả sử rằng với bất kì số nguyên dương $k$nào thì $\Omega \left( P(k) \right)$là số chẵn. Chứng minh $n$ là số chẵn.

Bài 5.
Tìm số nguyên dương $m$ lớn nhất thỏa mãn các tính chất sau: Với mỗi hoán vị ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...$ của các tất cả các số nguyên dương, đều tồn tại các số nguyên dương ${{i}_{1}}<{{i}_{2}}<...<{{i}_{m}}$ sao cho ${{a}_{{{i}_{1}}}},{{a}_{{{i}_{2}}}},{{a}_{{{i}_{3 }}}},...,{{a}_{{{i}_{m}}}}$ lập thành cấp số cộng với công sai lẻ.

Bài 6.
Với số nguyên dương $n\ge 1$, xét các số thực không âm ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$, đặt ${{S}_{k}}=\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}{{a}_{i} }}$ với $k=0,1,...,n$ và quy ước $C_{0}^{0}=1$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{S_{k}^{2}}-\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{{{S}_{k}}} \right)}^{2}}\le \frac{4}{45}{{\left( {{S}_{n}}-{{S}_{0}} \right)}^{2}}$.

Ngày 24 tháng 3 năm 2013

Bài 1.
Cho số nguyên $n\ge 2$ và các số nguyên dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ có $\gcd ({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}})=1$. Ta đặt $A={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ và gọi ${{d}_{i}}=\gcd (A,{{a}_{i}}),i=\overline{1,n}$ . Với mọi $i=\overline{1,n}$, gọi ${{D}_{i}}$ là ước chung lớn nhất của $n-1$ số trong $n$ số đã cho mà không tính ${{a}_{i}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\prod\limits_{i=1}^{n}{\frac{A-{{a}_{i}}}{{{d}_{i}}{{D}_{i}}}}$.

Bài 2.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có $P$ là trung điểm cung $BAC$, $Q$ là điểm đối xứng với $P$qua $O$. Gọi $I$là tâm đường tròn nội tiếp $ABC$. Giả sử $PI$ cắt $BC$ tại $D$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AID$ cắt đường thẳng $PA$ tại $F$. Gọi $E$ là điểm trên đoạn $PD$ sao cho $DE=DQ$. Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp $ABC$là $R,r$. Chứng minh nếu $\widehat{AEF}=\widehat{APE}$ thì ${{\sin }^{2}}\widehat{BAC}=\frac{2r}{R}$.

Bài 3.
Có 101 người được đánh số là $1,2,3,...,101$ có giữ số tấm thẻ đúng bằng số thứ tự của họ. Những người này ngồi xung quanh bàn tròn một cách ngẫu nhiên. Mỗi lần chuyển qua chỗ khác thì người đó phải trao một tấm thẻ trong tay mình cho một trong hai người ngồi cạnh. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho có thể thông qua không quá $k$lần đổi chỗ sao cho mỗi người đều có một con số tương đồng.

Ngày 25 tháng 3 năm 2013

Bài 4.
Cho số nguyên tố $p$, $a,k$là số nguyên dương thỏa mãn ${{p}^{a}}<k<2{{p}^{a}}$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n<{{p}^{2a}}$ và $C_{n}^{k}\equiv n\equiv k\left( \bmod {{p}^{a}} \right)$.

Bài 5.
Cho số nguyên $n\ge 2$ và ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}},{{b}_{1}},{{b}_ {2}},...,{{b}_{n}}$ là các số nguyên không âm. Chứng minh rằng

${{\left( \frac{n}{n-1} \right)}^{n-1}}\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}} \right)+{{\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}} \right)}^{2}}\ge \prod\limits_{i=1}^{n}{{{\left( a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \right)}^{\frac{1}{n}}}}$.

Bài 6.
Trên mặt phẳng tọa độ vuông góc, xét các tập hợp điểm nguyên $P$,$Q$ sao cho mỗi tập hợp điểm đều tạo thành một đa giác lồi. Đặt $T=P\cap Q$. Chứng minh nếu $T$ không rỗng mà cũng không chứa điểm nguyên nào thì tập hợp $T$ không suy biến thành tứ giác lồi.

--- Hết ----

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoanghai_vovn]

Bài 1 ngày 1: Ta sẽ cm $P,Q$ là trung điểm $BF,CF$. Gọi $P'$ là trung điểm $BF$ thì ta cần cm $P'GNM$ nội tiếp, để cm điều này ta chỉ cần cm $\widehat{MGN}=\widehat{BAC}$ là xong. Gọi $Q'$ là trung điểm $CF$ thì $\Delta MGP'=\Delta MHQ'$. Từ giả thiết vuông góc suy ra $NG=NC$, kết hợp hai cái trên suy ra $NM$ là phân giác góc $GNH$ suy ra $\widehat{GNM}=\widehat{AEC}$. Cũng từ hai tam giác bằng nhau kết hợp với biến đổi góc dễ suy ra $\widehat{GMH}=2\widehat{ABD}$. Tới đây suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mashimaru]

Bài 6 của ngày 25 / 3 thiếu một dữ kiện quan trong, đó là 2 đa giác $P, Q$ là các đa giác lồi có đỉnh là các lattice points.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi Mashimaru

Bài 6 của ngày 25 / 3 thiếu một dữ kiện quan trong, đó là 2 đa giác $P, Q$ là các đa giác lồi có đỉnh là các lattice points.

Oh, trong đề ghi là "in and on" mà anh không để ý. Vậy $P, Q$ là các đa giác luôn chứ không phải chỉ là các đỉnh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cool hunter]

Nguyên văn bởi hoanghai_vovn

Bài 1 ngày 1: Ta sẽ cm $P,Q$ là trung điểm $BF,CF$. Gọi $P'$ là trung điểm $BF$ thì ta cần cm $P'GNM$ nội tiếp, để cm điều này ta chỉ cần cm $\widehat{MGN}=\widehat{BAC}$ là xong. Gọi $Q'$ là trung điểm $CF$ thì $\Delta MGP'=\Delta MHQ'$. Từ giả thiết vuông góc suy ra $NG=NC$, kết hợp hai cái trên suy ra $NM$ là phân giác góc $GNH$ suy ra $\widehat{GNM}=\widehat{AEC}$. Cũng từ hai tam giác bằng nhau kết hợp với biến đổi góc dễ suy ra $\widehat{GMH}=2\widehat{ABD}$. Tới đây suy ra đpcm.

c có thể làm cụ thể hợ đc không, nhiều chỗ t không hiểu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]