Chứng minh một tập không phải là đa tạp con

[thiago]

Chứng minh rằng nón $x^2+y^2+z^2=t^2+u^2 $ không là đa tạp con của $\mathbb{R}^5. $

(Đề thi môn đa tạp khả vi ở ĐHSPHN)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiago]

Có một số bạn chứng minh như sau : Xét $f(x,y,z,t,u) = x^2+y^2+z^2 - t^2- u^2 $ thì nón là tập $f^{-1}(0) $. Nếu nón này là đa tạp thì không gian tiếp xúc tại điểm gốc $O(0,0,0,0,0) $ là hạt nhân của $df_O $, mà tập sau là cả $R^5 $, do đó gây ra mâu thuẫn.

Theo mọi người thì chứng minh đó có đúng không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thang ngo]

Lời giải bạn đưa ra không đúng, lý do vì lập luận đưa ra ko đúng.

Có thể giải như sau:

B_1={$z=\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2} $ },
B_2={$z=-\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2} $ }
Thì giao của chúng là (0). Giả sử tập đã cho là đa tạp thì trong một lân cận của 0 nó đồng phôi với 1 đĩa 4 chiều. Xét lân cận đó trừ đi điểm 0 thì nó gồm hai tập rời nhau là B_1\{(0)} và B_2\{(0)}, trong khi đó đĩa 4 chiều trừ đi điểm 0 là một tập liên thông. Từ đó dẫn đến mâu thuẫn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiago]

Nguyên văn bởi thang ngo

Có thể giải như sau:

B_1={$z=\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2} $ },
B_2={$z=-\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2} $ }
Thì giao của chúng là (0)

Mình không hiểu hai tập hợp của bạn, nếu theo như mình hiểu thì giao của nó cũng không phải chỉ có một phần tử. Hai nữa là đề bài đâu có nói là chứng minh nón này không phải đa tạp con 4 chiều?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thang ngo]

Bài giải của mình sai. Mình sửa lại như sau:
Gọi tập đã cho là A.

Giả sử A là đa tạp con của R^5, lấy B_1, B_2 (sửa z=... thành u=...) như lời giải ban đầu thì B_1 giao với tập {$x^2+y^2+z^2> t^2 $} là đa tạp 4 chiều, do đó A là đa tạp con 4 chiều của R^5. Từ đó tồn tại hàm g trên lân cân của 0 trong R^5 sao cho, dg(0) khác 0 và A={g=0}.

Có thể giả sử $\partial g/ \partial u \not = 0 $. Khi đó theo định lý hàm ẩn tồn tại h(x,y,u,t) khả vi sao cho u=h(x,y,z,t) là nghiệm của g=0. Mặt khác bởi B_1 , B_2 là tập con của A nên
h(x,y,z,t)= $\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2} $
và
h(x,y,z,t)=$\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2} $
Điều này mâu thuẫn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiago]

Nguyên văn bởi thiago

Có một số bạn chứng minh như sau : Xét $f(x,y,z,t,u) = x^2+y^2+z^2 - t^2- u^2 $ thì nón là tập $f^{-1}(0) $. Nếu nón này là đa tạp thì không gian tiếp xúc tại điểm gốc $O(0,0,0,0,0) $ là hạt nhân của $df_O $, mà tập sau là cả $R^5 $, do đó gây ra mâu thuẫn.

Theo mọi người thì chứng minh đó có đúng không?

Mãi mới tìm thấy phản ví dụ : [Only registered and activated users can see links. ] Lập luận trên là không đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiago]

Về ý thì mình cũng hiểu đại khái rồi, nhưng chi tiết thì mình thấy có một chút vấn đề.

Mặt khác bởi B_1 , B_2 là tập con của A nên
h(x,y,z,t)= $\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2} $
và
h(x,y,z,t)=$\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2} $
Điều này mâu thuẫn.

Vì sao vì $B_i $ là các tập con nên h phải có dạng kia?

Theo mình thì bài toán này là tổng quát của bài toán quen thuộc hơn :

2. Chứng minh nón $z^2 = x^2+y^2 $ trong $R^3 $ không là một mặt.

3. Chứng minh nón một lá $\{(x,y,z)\in R^3 : z^2=x^2+y^2, z\geq 0\} $ không là mặt.

Ban đầu mình nghĩ bài toán này không khó, vì nó là bài số 3 trong 5 bài , nhưng hóa ra không phải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Pan]

Bạn viết rõ phản ví dụ được ko? Vì math.vn mấy nay ko vào được? Thanks
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiago]

Yes, in fact it's very simple

Xét hàm $f(x,y,z) = z^2 $ trên $R^3 $. Khi đó $0 $ không là giá trị chính quy của $f $ nhưng $f^{-1}(0) $ vẫn là đa tạp con.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]