Chứng minh về $\sigma$ đại số Borel

**portgas_d_ace** · 16-09-2015, 10:21 AM

Cho $F = \left\{ {\left[ {a, + \infty } \right):a \in \mathbb{R}} \right\}$. Ta có $\sigma$ đại số sinh bởi $F$ chính là $\sigma$ đại số Borel trên $\mathbb{R}$. Tức là $\sigma \left( F \right) = B\left( \mathbb{R} \right)$. Tớ chỉ mới chứng minh được $\sigma \left( F \right) \supset B\left( \mathbb{R} \right)$ chiều ngược lại thì chưa

. Ngoài ra bạn nào có tài liệu về phần này cho mình xin với

99 · 16-09-2015, 10:56 AM

Tài liệu thì chịu, nhiều cái là tự suy luận thôi.

Cách chứng minh đối với sigma-đại số là như sau:
- về tư tưởng thì vì sigma-đại số là một tập hổ lốn các tập nên ta không thể chứng minh sự bao hàm (bao hàm nghĩa là tập này là tập con của tập kia), bằng cách lấy các tập bất kỳ rồi đem chứng minh nó thuộc vào sigma-đại số khác, thay vào đó ta chỉ chứng minh trên tập cơ sở mà thôi, sau đó dựa vào tính đóng của các phép toán tập hợp: hợp của hai tập thuộc sigma-đại số thì vẫn thuộc đó, giao cũng vậy, hiệu cũng vậy v.v.

Sigma-đại số sinh bởi $F$ có các tập cơ sở là $[a,+\infty)$, nên chỉ cần chứng minh $[a,+\infty)\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$ Điều này thì trở nên quá dễ dàng rồi.

Tóm lại, cái khó của bạn chính là việc thiếu hụt kiến thức về lý thuyết tập hợp, chứ không phải ở sigma-đại số, nên nếu tìm tài liệu ở mục lý thuyết độ đo là vô nghĩa.

16-09-2015, 10:21 AM	#1
portgas_d_ace Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 506 Thanks: 160 Thanked 189 Times in 160 Posts	Chứng minh về $\sigma$ đại số Borel Cho $F = \left\{ {\left[ {a, + \infty } \right):a \in \mathbb{R}} \right\}$. Ta có $\sigma$ đại số sinh bởi $F$ chính là $\sigma$ đại số Borel trên $\mathbb{R}$. Tức là $\sigma \left( F \right) = B\left( \mathbb{R} \right)$. Tớ chỉ mới chứng minh được $\sigma \left( F \right) \supset B\left( \mathbb{R} \right)$ chiều ngược lại thì chưa . Ngoài ra bạn nào có tài liệu về phần này cho mình xin với __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -

16-09-2015, 10:56 AM	#2
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Tài liệu thì chịu, nhiều cái là tự suy luận thôi. Cách chứng minh đối với sigma-đại số là như sau: - về tư tưởng thì vì sigma-đại số là một tập hổ lốn các tập nên ta không thể chứng minh sự bao hàm (bao hàm nghĩa là tập này là tập con của tập kia), bằng cách lấy các tập bất kỳ rồi đem chứng minh nó thuộc vào sigma-đại số khác, thay vào đó ta chỉ chứng minh trên tập cơ sở mà thôi, sau đó dựa vào tính đóng của các phép toán tập hợp: hợp của hai tập thuộc sigma-đại số thì vẫn thuộc đó, giao cũng vậy, hiệu cũng vậy v.v. Sigma-đại số sinh bởi $F$ có các tập cơ sở là $[a,+\infty)$, nên chỉ cần chứng minh $[a,+\infty)\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$ Điều này thì trở nên quá dễ dàng rồi. Tóm lại, cái khó của bạn chính là việc thiếu hụt kiến thức về lý thuyết tập hợp, chứ không phải ở sigma-đại số, nên nếu tìm tài liệu ở mục lý thuyết độ đo là vô nghĩa.