Hướng tới kỳ thi Vietnam TST 2014 - Page 9

**namdung** · 14-02-2014, 02:31 PM

Trích:

Nguyên văn bởi let_wind_go

1. Chứng minh hay phủ định mệnh đề sau: "Mọi số nguyên đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của một hay một số các lập phương đúng phân biệt".

Mình nghĩ khẳng định là đúng
Chú ý: $(9k^4)^3 +(1-9k^3)^3+(3k-9k^4)^3=1$ với mọi k nguyên.
Từ đây cho k nhận n giá trị sao cho các giá trị đó không trùng nhau( chắc là sẽ chọn đc khi cho k ra vô cùng), ta sẽ được n=1+1+1+....+1 (n số 1)

Lời giải này là đúng rồi, tuy nhiên như nhận xét của nhiều bạn, khá là khó để tìm ra hệ thức $(9k^4)^3 +(1-9k^3)^3+(3k-9k^4)^3=1$. Tôi có 1 cách tiếp cận khác, cũng tương tự nhưng dễ tìm được hơn:

Thực tế ta chỉ cần tìm ra một họ nghiệm phụ thuộc tham số của phương trình $x^3 + y^3 + z^3 = 1 $. Phương trình này có nghiệm (1, 1, 0). Ta tham số hóa chung quanh nghiệm này bằng cách đặt $x = 1+t, y = 1-t $. Khi đó $x^3 + y^3 = 2 + 6t^2 $. Như vậy nếu chọn $t = 6u^3 $ và $z = -6u^2 $ thì ta sẽ được $x^3 + y^3 + z^3 = 2 $. Như thế, tương tự như cách giải của bạn let_wind_go ta có hệ thức

$(1+6u^3)^3 + (1-6u^)^3 + (-6u^2)^3 = 2 $

Trong một số bài toán yêu cầu chứng minh phương trình có nghiệm hoặc vô số nghiệm, ta có thể dùng cách "áp đặt" thêm một số điều kiện để hạn chế vùng tìm kiếm, hoặc tìm trong những vùng theo chủ ý của mình. Ở trên đây, ta đã áp đặt điều kiện x + y = 2.

Xem xét một ví dụ khác:

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình $x^4 + y^4 + z^4 = 2 $ có vô số nghiệm hữu tỷ.

Với bài này, ta "khoanh vùng" tìm nghiệm trong tập hợp các số hữu tỷ x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Vì sao như thế. Vì ta biết nếu x + y + z = 0 thì $2(x^4 + y^4 + z^4) = (x^2+y^2+z^2)^2 $. Như thế ta đưa bài toán về việc chứng minh tồn tại vô số số hữu tỷ x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và $x^2 + y^2 + z^2 = 2 $. Cuối cùng, dùng phép thế đưa về bài toán chứng minh phương trình $x^2 + xy +y^2 = 1 $ có vô số nghiệm hữu tỷ. Cái bài cuối này các bạn có biết cách làm không?

Nhiều bài toán không yêu cầu tìm tất cả các nghiệm mà chỉ cần chỉ ra một nghiệm. Thuật toán ăn tham đôi khi có ích.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ n sao cho tồn tại các số nguyên lẻ $x_1, x_2, ..., x_n $ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + x_2^2 +...+ x_n^2 = n^4. $

Vì bình phương của một số lẻ sẽ đồng dư 1 mod 8 nên nếu tồn tại các số nguyên lẻ $x_1, x_2, ..., x_n $ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + x_2^2 +...+ x_n^2 = n^4 (*) $ thì n phải đồng dư 1 mod 8. Ta chứng minh rằng nếu n = 8k+1 thì phương trình (*) có nghiệm.

Ta ăn tham bằng cách chọn $x_1 $ lớn nhất có thể. Vì n lẻ nên ta chọn $x_1 = n^2 - 2 $. Lúc này $x_2^2 + ... + x_n^2 = 4n^2 - 4 $. Tiếp theo ta lại chọn tối đa: $x_2 = 2n-1 $. Thay vào ta được $x_3^2 + ... + x_n^2 = 4n - 5 (**) $. Cuối cùng, trong n-2 số còn lại, ta sẽ chọn p số bằng 3 và (n-2-p) số bằng 1. Để các số này nghiệm đúng (**) ta cần có 9p + (n-2-p) = 4n - 5 <=> p = 3k.

**Traum** · 14-02-2014, 07:37 PM

Bài 44: (dễ-trung bình)
a. Tồn tại hay không vô hạn các tập hữu hạn phần tử $A_1,A_2,... $ thỏa mãn: với mọi $2\le k\le 2014 $ thì $k $ tập bất kì có đúng $2014-k $ phần tử chung.
b. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các tập hữu hạn phần tử $A_1,A_2,... $ thỏa mãn: cứ 2013 tập bất kì thì có đúng 1 phần tử chung trong khi cứ 2014 tập bất kì thì không có phần tử chung.

Bài 45: (trung bình-khó)
Cho một đa giác lồi 2015 đỉnh. Tìm số nguyên dương K lớn nhất sao cho có thể chia tất cả các đường chéo của đa giác vào K tập đôi một rời nhau $S_1,...,S_K $ sao cho với mọi $1\le i\neq j\le K $ thì tồn tại ít nhất một đường chéo thuộc tập $S_i $ và ít nhất một đường chéo thuộc tập $S_j $ sao cho chúng cắt nhau tại một điểm nằm trong đa giác.

Nguồn cả hai bài Mathlinks.ro.

BlackSelena · 15-02-2014, 06:41 PM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Theo hình vẽ bên dưới thì các đường tròn ở trên không có chung trục đẳng phương. Tâm đẳng phương duy nhất của chúng là $Q$ thôi và ngoài ra không tìm được tâm nào khác nữa. Bạn xem lại đề bài nhé!

Sorry, đề đúng phải là $(PDX), (PEY), (PFZ)$ đồng trục

**namdung** · 17-02-2014, 08:57 AM

Chưa có ai công phá bài này nhỉ.

Petya và Vasya chơi trò chơi như sau. Ban đầu trên bàn có 11 đống sỏi, mỗi đống có 10 viên sỏi. Hai người thay phiên nhau đi, bắt đầu từ Petya. Mỗi một nước đi, người chơi bốc 1, 2 hoặc 3 viên sỏi, nhưng Petya mỗi lần bốc tất cả các viên sỏi từ một đống sỏi bất kỳ, còn Vasya luôn bốc các viên sỏi từ các đống khác nhau (nếu như Vasya bốc nhiều hơn một viên). Người nào đến lượt mình không đi được nữa sẽ thua. Hỏi ai là người luôn đảm bảo được thắng lợi, không phụ thuộc vào cách đi của người kia?

Cái khó của bài này là Petya và Vasya chơi theo các luật khác nhau (không đối xứng). Những trò chơi như vậy gọi là trò chơi partizan. Hướng dẫn để tìm kiếm lời giải:
1.Hãy thử giải trong trường hợp Vasya cũng chơi như Petya, tức là mỗi lần bốc tất cả các viên sỏi từ một đống sỏi bất kỳ.
2. Tìm cách mô hình hóa đưa về một bài toán có tính đối xứng hơn.

vietha_b2sty · 18-02-2014, 11:16 AM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Chưa có ai công phá bài này nhỉ.

Petya và Vasya chơi trò chơi như sau. Ban đầu trên bàn có 11 đống sỏi, mỗi đống có 10 viên sỏi. Hai người thay phiên nhau đi, bắt đầu từ Petya. Mỗi một nước đi, người chơi bốc 1, 2 hoặc 3 viên sỏi, nhưng Petya mỗi lần bốc tất cả các viên sỏi từ một đống sỏi bất kỳ, còn Vasya luôn bốc các viên sỏi từ các đống khác nhau (nếu như Vasya bốc nhiều hơn một viên). Người nào đến lượt mình không đi được nữa sẽ thua. Hỏi ai là người luôn đảm bảo được thắng lợi, không phụ thuộc vào cách đi của người kia?

Cái khó của bài này là Petya và Vasya chơi theo các luật khác nhau (không đối xứng). Những trò chơi như vậy gọi là trò chơi partizan. Hướng dẫn để tìm kiếm lời giải:
1.Hãy thử giải trong trường hợp Vasya cũng chơi như Petya, tức là mỗi lần bốc tất cả các viên sỏi từ một đống sỏi bất kỳ.
2. Tìm cách mô hình hóa đưa về một bài toán có tính đối xứng hơn.

Bài này em nghĩ là đem về bảng $11.10$ sau mỗi lần bốc của người thứ nhất thì người thứ 2 bốc đỗi xứng với nó qua đường zic zac từ ô trên cùng bên trái đến ô cuối cùng bên phải. Bài toán vẫn đúng với 1,2,..,k và tương tự với người thứ 2 là k đống

**huynhcongbang** · 18-02-2014, 02:11 PM

Trích:

Nguyên văn bởi quocbaoct10

với TH tổng quát $n$ chẵn thì số tự nhiên $q$ thỏa mãn tính chất là những số mà $n:q=2k$. Ta gọi $a_i$ và $a_{i+q}$ (hoặc $a_{i-q}$) là một "cặp" nếu $a_i=i+q$ và $a_{i+q}=i$ (tương tự với . Theo đk đề bài thì 2 cặp khác nhau thì các số ở trong 2 cặp đó phải khác nhau. vậy nên, $n$ số trong hoán vị phải được chia thành các "cặp" rời nhau. Giả sử tồn tại số $q$ mà $n:q=2k+1$ (hoặc q không chia hết n) thỏa hoán vị trên. Theo giả thiết trên thì sẽ luôn tồn tại số $i$ ( $i+3q>2n$) mà $a_i$ và $a_{i+q}$ thành 1 "cặp". Vì $q$ thỏa yêu cầu đề nên $a_{i+2q}=i+q=a_i$ (vô lí). cmtt với TH: $i+q$ và $i+2q$ thành 1 cặp; $i-q, i-2q$ thành 1 "cặp". Như vậy với $n=2014$ thì các số thỏa ycđb là $q=0, q=1, q=1007$.

Nếu theo cách em lập luận thì kết quả bài này là các số $q$ là ước của $n$ mà $\dfrac{n}{q}$ là số chẵn phải không? Trong đó $0$ là trường hợp đặc biệt.
Nhận xét các số ghép thành từng cặp có vẻ làm cho vấn đề rõ ràng, sáng sủa (có thể xét theo kiểu chia thành các lớp đồng dư nhưng rắc rối hơn nhiều).
Thế nhưng các số $q=19, 53$ đâu nhỉ?

**quocbaoct10** · 18-02-2014, 06:36 PM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Nếu theo cách em lập luận thì kết quả bài này là các số $q$ là ước của $n$ mà $\dfrac{n}{q}$ là số chẵn phải không? Trong đó $0$ là trường hợp đặc biệt.
Nhận xét các số ghép thành từng cặp có vẻ làm cho vấn đề rõ ràng, sáng sủa (có thể xét theo kiểu chia thành các lớp đồng dư nhưng rắc rối hơn nhiều).
Thế nhưng các số $q=19, 53$ đâu nhỉ?

dạ em quên mất

. Em cứ nghĩ ước của 2014 chỉ có 1007;2;1.

**namdung** · 23-02-2014, 10:06 PM

Một bài toán tôi mới giảng sáng nay trên lớp Tập huấn thi chọn đội tuyển IMO:

Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 0, |a| + |b| + |c| + |d| = 4. Tìm max P = |(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)|.

giabao185 · 24-02-2014, 08:36 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Một bài toán tôi mới giảng sáng nay trên lớp Tập huấn thi chọn đội tuyển IMO:

Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 0, |a| + |b| + |c| + |d| = 4. Tìm max P = |(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)|.

Giả sử $ a\ge b\ge c\ge d$
Áp dụng bđt AM-GM cho 6 số không âm ta được
$\sqrt{2}(a-b)+\sqrt{2}(c-d)+(a-c)+(b-d)+(2-\sqrt{2})(a-d) +(2+\sqrt{2})(b-c)\ge 6.\sqrt<6>{4P}$(căn bậc 6 của 4P)(em đã gõ theo cách của diễn đàn mà hoài nó không ra.Thông cảm!)
Hay$ 2\sqrt<6>{4P}\le a+b-c-d\le \mid a\mid+\mid b\mid+ \mid c\mid+\mid d\mid=4$
$\rightarrow P\le 16$
Ta có $ a=\frac{2+\sqrt{2}}{2};b=\frac{2-\sqrt{2}}{2} $
$ c=\frac{-2+\sqrt{2}}{2};d=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$
thõa mãn các điều kiện của đề bài và tại đó P=16
Vậy Max P=16

lupanh7 · 25-02-2014, 01:06 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Traum

b. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các tập hữu hạn phần tử $A_1,A_2,... $ thỏa mãn: cứ 2013 tập bất kì thì có đúng 1 phần tử chung trong khi cứ 2014 tập bất kì thì không có phần tử chung.

Giả sử tồn tại vô hạn các tập hữu hạn phần tử $A_1,A_2,... $ thỏa mãn bài toán.
Đặt $A=A_1\cap A_2\cap A_3\cap ... \cap A_{2012} $
Rõ ràng $A\neq \oslash $
Giả sử $A=\{a_1,a_2,...,a_n\} $
Do 2013 tập bất kỳ thì có đúng 1 phần tử chung nên trong các tập
$A\cap A_{2012+i} $ (với $i=1,2,...,n+1 $) sẽ có 2 tập bằng nhau
giả sử $A\cap A_{2012+i}=A\cap A_{2012+j}=\{a_k\} $ ($k\in \{1,2,...,2012\} $)
khi đó $A_1\cap A_2\cap ... \cap A_{2012}\cap A_i\cap A_j=\{a_k\} $ vô lý.
Như vậy không tồn tại vô hạn các tập hữu hạn phần tử như đề bài yêu cầu

**quocbaoct10** · 25-02-2014, 02:01 PM

Trích:

Nguyên văn bởi lupanh7

Giả sử tồn tại vô hạn các tập hữu hạn phần tử $A_1,A_2,... $ thỏa mãn bài toán.
Đặt $A=A_1\cap A_2\cap A_3\cap ... \cap A_{2012} $
Rõ ràng $A\neq \oslash $
Giả sử $A=\{a_1,a_2,...,a_n\} $
Do 2013 tập bất kỳ thì có đúng 1 phần tử chung nên trong các tập
$A\cap A_{2012+i} $ (với $i=1,2,...,n+1 $) sẽ có 2 tập bằng nhau
giả sử $A\cap A_{2012+i}=A\cap A_{2012+j}=\{a_k\} $ ($k\in \{1,2,...,2012\} $)
khi đó $A_1\cap A_2\cap ... \cap A_{2012}\cap A_i\cap A_j=\{a_k\} $ vô lý.
Như vậy không tồn tại vô hạn các tập hữu hạn phần tử như đề bài yêu cầu

Chứng mìn tồn tại mà bạn ?

**namdung** · 25-02-2014, 04:06 PM

Theo tin mới nhất từ BGD và ĐT thì ngày thi TST được ấn định là 25, 26/3.

lupanh7 · 25-02-2014, 06:37 PM

Trích:

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Chứng mìn tồn tại mà bạn ?

Nếu lời giải của mình không có vấn đề gì thì chắc là đề nhầm

**huynhcongbang** · 26-02-2014, 09:46 PM

Từ ngày 21/02 đến 27/02, tại công ty Titan Education ở TPHCM, có tổ chức trường Xuân nhằm tập huấn chuẩn bị cho kỳ thi TST 2014 sắp tới. Chương trình diễn ra trong vòng 1 tuần tương tự như các năm và đến ngày mai là kết thúc. Trong đợt này, có nhiều bài giảng của các chuyên gia như thầy Trần Nam Dũng, thầy Lê Bá Khánh Trình, thầy Nguyễn Trọng Tuấn, thầy Lê Anh Vinh và 2 cựu IMO là: Võ Văn Huy và Cấn Trần Thành Trung. Ngoài ra, còn có một số nội dung bổ sung vào ban đêm cùng 2 bài kiểm tra theo hình thức đề TST các năm (mỗi ngày giải 3 bài toán trong vòng 270 phút).

Xin giới thiệu với mọi người các bài toán trong 2 bài kiểm tra này.

Bài 1.

Cho $a,b,c$ là các số thực có tổng khác 0, thỏa mãn điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2(ab+bc+ca)$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{12}\le \frac{{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a}{{{(a+b+c)} ^{3}}}\le \frac{5}{36}.$$ Bài 2.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các điểm $P,Q$ lần lượt di chuyển trên các đoạn $AB,AC$ (không trùng với đỉnh tam giác $ABC$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $A$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $PQ$. Chứng minh rằng:
a) ${{S}_{AQP}}+{{S}_{BPN}}+{{S}_{CNQ}}<{{S}_{ABC}}$.
b) Nếu $N$ nằm trên đoạn $BC$ thì đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 3.

Ký hiệu $(x,y,z)$ là ước chung lớn nhất của các số nguyên dương $x,y,z$.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $M$, tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ có $(a,b,c)=1$ sao cho $$(a+b+c,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}},{{a}^{2014} }+{{b}^{2014}}+{{c}^{2014}})>M.$$ b) Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương có $(a,b,c)=1$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $$D=(a+b+c,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}},{{a}^{201 3}}+{{b}^{2013}}+{{c}^{2013}}).$$ Bài 4.

Ký hiệu $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $$f(x)f\left( yf(x)-1 \right)={{x}^{2}}f(y)-f(x)$$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 5.

Cho một đa giác lồi có $n$ đỉnh với $n\ge 3$ và mỗi đỉnh của đa giác được tô một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Ta thực hiện trò chơi sau đây: ở mỗi bước, chọn $k$ đỉnh liên tiếp của đa giác và đổi màu của chúng ($k<n$). Biết rằng lúc ban đầu, tất cả các đỉnh của đa giác đều được tô màu xanh.
a) Cho $n={{2014}^{2016}}$ và $k={{2016}^{2014}}$ , hỏi sau một số hữu hạn bước, có thể chuyển tất cả các đỉnh của đa giác về màu đỏ được hay không?
b) Hỏi với các giá trị $n,k$ bất kì ($n\ge 3,k<n$), bằng cách chơi đó, có thể thu được đa giác có số đỉnh màu đỏ nhiều nhất là bao nhiêu?

Bài 6.

Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh đối không song song. Giả sử các đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau ở $E$ và các đường thẳng $AD,BC$ cắt nhau ở $F$. Kí hiệu ${{O}_{1}},{{O}_{2}},{{O}_{3}},{{O}_{4}}$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EBC,EAD,FDC,FAB$. Đường tròn $(E{{O}_{1}}{{O}_{2}})$ cắt $EB,EC$ lần lượt ở $X,Y$; đường tròn $(F{{O}_{3}}{{O}_{4}})$ cắt $FC,FD$ lần lượt ở $Z,T$. Chứng minh rằng các điểm $X,Y,Z,T$ cùng thuộc một đường tròn.

------ Hết -----

**huynhcongbang** · 27-02-2014, 01:14 AM

Cũng như các năm trước, mình cũng chỉ có thể post các nội dung của HLV bọn mình làm việc với các học sinh thôi (sau ngày mai). Bài giảng của các thầy thì do không có file và mình cũng không có điều kiện đi nghe giảng đầy đủ nên không ghi chép lại được. Tất nhiên, quan trọng là tiếp xúc với các thầy để học cách tư duy, phân tích vấn đề thôi chứ bài tập để luyện thi thì không thiếu, có thể tìm được từ nhiều nguồn mà bạn.

14-02-2014, 07:37 PM	#122
Traum Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts	Bài 44: (dễ-trung bình) a. Tồn tại hay không vô hạn các tập hữu hạn phần tử $A_1,A_2,... $ thỏa mãn: với mọi $2\le k\le 2014 $ thì $k $ tập bất kì có đúng $2014-k $ phần tử chung. b. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các tập hữu hạn phần tử $A_1,A_2,... $ thỏa mãn: cứ 2013 tập bất kì thì có đúng 1 phần tử chung trong khi cứ 2014 tập bất kì thì không có phần tử chung. Bài 45: (trung bình-khó) Cho một đa giác lồi 2015 đỉnh. Tìm số nguyên dương K lớn nhất sao cho có thể chia tất cả các đường chéo của đa giác vào K tập đôi một rời nhau $S_1,...,S_K $ sao cho với mọi $1\le i\neq j\le K $ thì tồn tại ít nhất một đường chéo thuộc tập $S_i $ và ít nhất một đường chéo thuộc tập $S_j $ sao cho chúng cắt nhau tại một điểm nằm trong đa giác. Nguồn cả hai bài Mathlinks.ro. __________________ Traum is giấc mơ. thay đổi nội dung bởi: Traum, 14-02-2014 lúc 07:54 PM

27-02-2014, 01:14 AM	#135
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Cũng như các năm trước, mình cũng chỉ có thể post các nội dung của HLV bọn mình làm việc với các học sinh thôi (sau ngày mai). Bài giảng của các thầy thì do không có file và mình cũng không có điều kiện đi nghe giảng đầy đủ nên không ghi chép lại được. Tất nhiên, quan trọng là tiếp xúc với các thầy để học cách tư duy, phân tích vấn đề thôi chứ bài tập để luyện thi thì không thiếu, có thể tìm được từ nhiều nguồn mà bạn. __________________ Sự im lặng của bầy mèo

17-02-2014, 08:57 AM	#124
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Chưa có ai công phá bài này nhỉ. Petya và Vasya chơi trò chơi như sau. Ban đầu trên bàn có 11 đống sỏi, mỗi đống có 10 viên sỏi. Hai người thay phiên nhau đi, bắt đầu từ Petya. Mỗi một nước đi, người chơi bốc 1, 2 hoặc 3 viên sỏi, nhưng Petya mỗi lần bốc tất cả các viên sỏi từ một đống sỏi bất kỳ, còn Vasya luôn bốc các viên sỏi từ các đống khác nhau (nếu như Vasya bốc nhiều hơn một viên). Người nào đến lượt mình không đi được nữa sẽ thua. Hỏi ai là người luôn đảm bảo được thắng lợi, không phụ thuộc vào cách đi của người kia? Cái khó của bài này là Petya và Vasya chơi theo các luật khác nhau (không đối xứng). Những trò chơi như vậy gọi là trò chơi partizan. Hướng dẫn để tìm kiếm lời giải: 1.Hãy thử giải trong trường hợp Vasya cũng chơi như Petya, tức là mỗi lần bốc tất cả các viên sỏi từ một đống sỏi bất kỳ. 2. Tìm cách mô hình hóa đưa về một bài toán có tính đối xứng hơn.

23-02-2014, 10:06 PM	#128
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Một bài toán tôi mới giảng sáng nay trên lớp Tập huấn thi chọn đội tuyển IMO: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 0, \|a\| + \|b\| + \|c\| + \|d\| = 4. Tìm max P = \|(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)\|.

25-02-2014, 04:06 PM	#132
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Theo tin mới nhất từ BGD và ĐT thì ngày thi TST được ấn định là 25, 26/3.