Toán số học tổ hợp

[A Good Man]

Cho m là số nguyên dương. Tập hợp $S= \left \{ \right. n\in N|m^2\leq n<(m+1)^2\left. \right \} $. Chứng minh tất cả các tích có dạng a.b với a; b thuộc S đều phân biệt
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Nguyên văn bởi A Good Man

Cho m là số nguyên dương. Tập hợp $S= \left \{ \right. n\in N|m^2\leq n<(m+1)^2\left. \right \} $. Chứng minh tất cả các tích có dạng a.b với a; b thuộc S đều phân biệt

Giả sử tồn tại $a,b,c,d\in S$ sao cho $ab=cd$ với $a=\max\{a,b,c,d\}$. Từ đây suy ra $b<c,b<d$. Bằng phản chứng ta chứng minh được $c-b<m$ hoặc $d-b<m$. Không giảm tổng quát ta giả sử $c-b<m$. Khi đó
$$1<\dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}=\dfrac{a-d}{c-b}\leq\dfrac{m^2+2m}{m^2}=1+\dfrac{2}{m}.$$
Suy ra
$$0<\dfrac{a-d+b-c}{c-b}\leq \dfrac{2}{m}.$$
Do $c-b<m$ nên $a-d+b-c=1$, đặt $x=c-b$. Ta có
$$a=c+\dfrac{c}{x}=b+1+x+\dfrac{b}{x}\geq b+1+2\sqrt{b}\geq (m+1)^2.$$
Từ đây thấy vô lý. Hay ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]