Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 14-04-2012, 03:17 PM   #1
DuyLTV
Moderator
 
DuyLTV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: LTVer
Bài gởi: 616
Thanks: 161
Thanked 234 Times in 157 Posts
Cùng nghiên cứu về định lý Avast-n

Bắt nguồn từ vài bài toán của thầy dạy toán trong đợt bồi dưỡng đội tuyển Quốc Gia vừa rồi, mình chú ý thấy một số tính chất cứ lặp đi lặp lại một cách khó hiểu. Và cuối cùng, mình cũng đã tổng kết được một định lý, khá quen với tất cả các bạn, nhưng dẫu sao, thì việc xây dựng nó thành định lý thì cũng hay hơn. Mình xin được đặt tên nó là định lý Avast-n. Ký tự "n" ở đây chỉ số cạnh trong mỗi lần chúng ta xét các bài toán. Định lý này là một sự tổng quát của định lý Pascal và định lý Desargues. Nó cho ta một đường thẳng mà chúng ta thấy nó được tạo ra bởi "cực và đối cực". Cụ thể xin phát biểu như sau:

Định lý: Cho 2n điểm theo thứ tự nằm trên vòng tròn (O) là $\displaystyle{A_1, A_2, ..., A_{2n}}$, sao cho các đường thẳng đi qua $ A_i$ và $A_{i+n}$ đồng quy tại một điểm I. Khi đó, các giao điểm của các cặp đường thẳng $(A_iA_{i+1};A_{i+n}A_{i+n+1})$ đồng viên.

Chứng minh: Trước tiên, ta dễ có Avast-2 hiển nhiên đúng. Avast-3 do định lý Pascal trong trường hợp đặc biệt.

Từ $n \ge 4$, mỗi lần tăng n lên 1 đơn vị, tức là thêm 2 điểm nữa, ta cũng coi như là thêm 2 điểm khi đã có sẵn 6 điểm, tức là chỉ cần chứng minh cho trường hợp $n=4$, các trường hợp khác là hiển nhiên.

Xét với $n=4$. Ta đã có Avast-3 cho 6 điểm A, B, C, D, E, F trên đường tròn (O). Lấy điểm G bất kỳ trên (O), gọi giao điểm của tia GI và vòng tròn (O) là H. Gọi $AB \cap ED = \{ J\}, BC \cap EF = \{ L \}, CD \cap AF = \{P \}, AC \cap FD = \{Q \}, FH \cap CG = \{ M \}, HA \cap DG = \{N\}$
Theo định lý Pascal cho 6 điểm A, B, C, D, E, F, và định lý Desargues cho hai tam giác ABC và DEF, ta suy ra được $\overline{JLPQ}$. (1)

Lại với định lý Pascal cho 6 điểm A, H, F, D, G, C, và định lý Desargues cho hai tam giác AHF và DGC, ta suy ra $\overline{MNPQ}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overline{MNJLPQ}$, hay ta rút ra được $\overline{JLMN}$.

Vậy ta có Avast-4, hay ra cũng có Avast-n với $n\in\mathbb{N}, n\ge 2 \ \ \blacksquare.$

Rõ ràng từ trên, ta có thể mở rộng thêm ra rằng, giao điểm của các cặp đường thẳng tạo bởi 4 điểm bất kỳ thuộc đường tròn, sao cho tồn tại đường thẳng đi qua 2 điểm cũng đi qua I, và đường thẳng đi qua hai điểm còn lại cũng đi qua I, thì cũng nằm trên đường thẳng thẳng hàng nêu trên. Ta gọi đường thẳng này là đường Avast của vòng tròn đối với điểm I ($\Delta ^{(O)}_{I}$). Đường này thỏa mãn là đường vuông góc với OI.

Mình thấy định lý này khá hay và rất hữu dụng (đối với những bài toán làm cảm hứng đó). Với những phát biểu trên, mình mong muốn tìm được những bài toán hay từ định lý này, mong các bạn, mỗi người đóng góp một ít, để có thể đưa ra một chuyên đề hoàn chỉnh cho định lý này.

Hình vẽ cụ thể, có thể tham khảo tại: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DuyLTV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to DuyLTV For This Useful Post:
conami (14-04-2012), hongduc_cqt (17-07-2012), mathandyou (11-02-2013), n.v.thanh (14-04-2012), Tranminhngoc (16-04-2012), Trànvănđức (19-12-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:20 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.71 k/44.57 k (6.43%)]