Topic về bất đẳng thức

[lexuanthang]

Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng :$ \frac{a^2} {b} +\frac{b^2} {c} +\frac{c^2} {a} +a+b+c \ge 2\sqrt{3(a^2 +b^2 +c^2)} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[havgod]

Nguyên văn bởi lexuanthang

Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng :$ \frac{a^2} {b} +\frac{b^2} {c} +\frac{c^2} {a} +a+b+c \ge 2\sqrt{3(a^2 +b^2 +c^2)} $

mình nghĩ bài này S.O.S đc
biến đổi thành
$\sum ({\frac {a^2} {b} +b-2a})\ge 2(\sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)}) $
$\sum {\frac {(a-b)^2} {b}\ge (\sum \frac {2(a-b)^2}{\sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c}) $
$\sum {(a-b)^2}(\frac 1 b -\frac {2}{\sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c})\ge 0 $
dễ thấy $\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c\ge 2b $, từ đó suy ra đpcm
------------------------------

Nguyên văn bởi lexuanthang

Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh rằng :$ (a+b+c)( \frac{a} {b} +\frac{b} {c}+\frac{c} {a} ) \ge 3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} $

Bài này tương tự bài trên nè
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lexuanthang]

Nguyên văn bởi havgod

mình nghĩ bài này S.O.S đc
biến đổi thành
$\sum ({\frac {a^2} {b} +b-2a})\ge 2(\sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)}) $
$\sum {\frac {(a-b)^2} {b}\ge (\sum \frac {2(a-b)^2}{\sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c}) $
$\sum {(a-b)^2}(\frac 1 b -\frac {2}{\sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c})\ge 0 $
dễ thấy $\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c\ge 2b $, từ đó suy ra đpcm
------------------------------

Bài này tương tự bài trên nè

Mình cảm ơn bạn rất nhiều !!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]