Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2013, 11:13 AM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,980
Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts
[VMO 2013] Bài 7 - Số học


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 12-01-2013 lúc 11:46 AM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
hieu1411997 (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), Lan Phuog (12-01-2013), lexuanthang (13-01-2013), nguyenhtctb (12-01-2013), TNP (13-01-2013), tqdungt1k20 (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:23 AM   #2
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
$$\left\{ \begin{align}
& ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
& ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
& bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
\end{align} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sẽ không quên nỗi đau này..!
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 8 Users Say Thank You to High high For This Useful Post:
hongduc_cqt (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), Lan Phuog (12-01-2013), Mashimaru (12-01-2013), Mr_Pi (12-01-2013), n.v.thanh (12-01-2013), nliem1995 (12-01-2013), TNP (13-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:38 AM   #3
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
$$\left\{ \begin{align}
& ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
& ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
& bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
\end{align} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$
Nhận xét: các số tự nhiên $x$ thỏa $x \equiv 1\left( \bmod 15 \right) $ thì có chữ số tận cùng là $1$ hoặc $6$


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to hakudoshi For This Useful Post:
cuongpbc (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:55 AM   #4
Mashimaru
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 89
Thanks: 19
Thanked 70 Times in 28 Posts
Mình dùng định lý Thặng dư Trung Hoa, tách qua mod $3 $ và mod $5 $. Kết quả: $3472$. Không biết có đúng không nhỉ


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Mashimaru, 12-01-2013 lúc 11:57 AM
Mashimaru is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to Mashimaru For This Useful Post:
huynhcongbang (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), Lan Phuog (12-01-2013), magician_14312 (12-01-2013), ntuan5 (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:58 AM   #5
nguoi_vn1
+Thành Viên+
 
nguoi_vn1's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 127
Thanks: 87
Thanked 35 Times in 22 Posts
Anh Hiếu trình bày đầy đủ đi ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai
VMO 2014- Đợi mình nhé
nguoi_vn1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 12:10 PM   #6
daicahuyvn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2011
Bài gởi: 9
Thanks: 6
Thanked 12 Times in 3 Posts
[QUOTE=Mashimaru;182373]Mình dùng định lý Thặng dư Trung Hoa, tách qua mod $3 $ và mod $5 $. Kết quả: $3472$. Không biết có đúng không nhỉ


Em ra 2347
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
daicahuyvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 01:52 PM   #7
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Mọi người trình bày lời giải hộ mình
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 02:04 PM   #8
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi Mashimaru View Post
Mình dùng định lý Thặng dư Trung Hoa, tách qua mod $3 $ và mod $5 $. Kết quả: $3472$. Không biết có đúng không nhỉ
Độ phức tạp $O(n^6)$ rồi nhá.

Mà anh nghĩ bài này chắc phải có vài phép biến đổi đại số cho cái biểu thức kia để ra được một cái gì đó hay ho rồi thu nhỏ số trường hợp. Có khi các thầy đếm 1 cái gì đó để ra cái này cũng không chừng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 02:11 PM   #9
Mashimaru
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 89
Thanks: 19
Thanked 70 Times in 28 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Độ phức tạp $O(n^6)$ rồi nhá.

Mà anh nghĩ bài này chắc phải có vài phép biến đổi đại số cho cái biểu thức kia để ra được một cái gì đó hay ho rồi thu nhỏ số trường hợp. Có khi các thầy đếm 1 cái gì đó để ra cái này cũng không chừng.
Không anh ạ. Bài này cho rõ $n = 15$, nên độ phức tạp của em là $O(1)$ Em nghĩ bài này có ý đầu tiên là mình quan tâm đến $(a, b, c)$ rồi sinh ra $(a', b', c')$. Trong khi đếm $a, b, c$ thì dùng Thặng dư Trung Hoa như em đã nói ở trên để tách ra thành mod $3$ và mod $5$.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mashimaru is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 09:29 PM   #10
bboy114crew
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: Dòng thời gian...
Bài gởi: 294
Thanks: 290
Thanked 189 Times in 91 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới bboy114crew
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài này khá giống với một bài thi HSG KHTN năm nào đó!
Khá hóc!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Thay đổi tất cả và mãi mãi......
Offline...
bboy114crew is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 10:49 PM   #11
votronghieu
+Thành Viên+
 
votronghieu's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 17
Thanks: 3
Thanked 2 Times in 2 Posts
Sử dụng mod 3 xử lí đc các các họ nghiệm sau
(a,b,c) (a',b',c') = hoán vị của (x,0,0) (1,1,1) (mod3)
(a,b,c) (a',b',c') = hoán vị của (x,0,0) (2,2,2) (mod3)
(a,b,c) (a',b',c') = hoán vị của (1,1,1) (x,0,0) (mod3)
(a,b,c) (a',b',c') = hoán vị của (2,2,2) (x,0,0) (mod3)

rồi xét theo mod 5 mỗi bộ trên cho ra 4 họ nghiệm nữa theo mod5
=> đc số cụ thể luôn
từ đó chỉ cần tính hoán vị của mỗi họ nhỏ
các họ tương tự nhau nên chỉ cần xét đại diện

P/s: 2 năm rồi mới làm toán, kiến thức rơi gần hết, chỉ biết làm thủ công như thế thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
votronghieu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to votronghieu For This Useful Post:
Dongcdhv (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:38 PM   #12
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Nếu để mod 15 thì đơn giản quá ^^ .
Ta có thể tim công thức nếu thay 15 bằng $p $ nguyên tố bất kì .
Và từ đó suy ra công thức tổng quát ^^
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:56 PM   #13
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trước hết, theo định lí phần dư Trung Hoa thì ta thấy rằng nếu số $x \equiv a \mod{3}, 0 \le a \le 2$ và $x \equiv b \mod{5}, 0 \le b \le 4$ thì tồn tại duy nhất số $c, 0 \le c \le 14$ mà $x \equiv c \mod{15}$ do $(3,5)=1$.

Do đó, ta sẽ đếm số bộ $(a,b,c,a',b',c')$ mà $$\left\{ \begin{align}
& ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right) \\
& ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right) \\
& bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right) \\
\end{align} \right.$$
với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,2 \right\}$
Giả sử số bộ này là A.

Tiếp theo, ta đếm số bộ $(a,b,c,a',b',c')$ mà $$\left\{ \begin{align}
& ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 5 \right) \\
& ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 5 \right) \\
& bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 5 \right) \\
\end{align} \right.$$
với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\}$
Giả sử số bộ này là B.

Khi đó, ứng với mỗi bộ A và mỗi bộ B sẽ tương ứng với một bộ 6 số thỏa mãn đề bài, tức là ta cần tính $A \cdot B$.

(1) Đếm số bộ A.
Trước hết ta sẽ đếm số bộ theo mod ta thấy rằng $(ab, a'b'), (bc, b'c'), (ca,c'a')$ đều không cùng chia hết cho 3 nên dễ thấy rằng $abc, a'b'c'$ cũng không cùng chia hết cho 3 (nếu không thì sẽ có một trong 3 bộ kia chia hết cho 3, mâu thuẫn).
Giả sử $abc$ không chia hết cho 3, do chỉ có 2 số dư là $1,2$ nên sẽ có 2 trong 3 số $a,b,c$ đồng dư với nhau theo modulo 3. Ta tiếp tục giả sử đó là $a,b$.
Khi đó, tương ứng $a'b'$ chia hết cho 3. Nếu $a'$ chia hết cho 3 thì lại suy ra tiếp $a'c'$ chia hết cho 3 hay $ac$ chia 3 dư 1, tức là $a,c$ đồng dư với nhau theo modulo 3.
Mà $bc$ chia 3 dư 1 thì dẫn đến $b'c'$ chia hết cho 3 và suy ra thêm có 1 số trong $b',c'$ chia hết cho 3.

Từ đó, do tính bình đẳng của các số $a,b,c$ và $a',b',c'$ ta suy ra rằng cả ba số $a,b,c$ đồng dư với nhau theo modulo 3 và trong các số $a',b',c'$ thì có 2 số chia hết cho 3, số còn lại tùy ý.
Có 2 cách chọn bộ $(a,b,c)$ và 7 cách chọn bộ $(a',b',c')$ (do có 1 cách chọn (0,0,0), 3 cách chọn (0,0,1)$ và 3 cách chọn (0,0,2)$).

Tương tự với trường hợp $a'b'c'$ không chia hết cho 3.

Do đó, số bộ trong trường hợp này là $A=2 \cdot 2 \cdot 7 = 28$ bộ.

(1) Đếm số bộ B.
Các số dư khi chia cho 5 là $0,1,2,3,4$ và ta thấy các tích của các bộ sau sẽ có số dư tương ứng khi chia cho 5 được liệt kê bên dưới:
$1 \cdot 2 \equiv 1
1 \cdot 2 \equiv 2, \, 1 \cdot 3 \equiv 3, \, 1 \cdot 4 \equiv 4, \, 2 \cdot 2 \equiv 4, \, 2 \cdot 3 \equiv 1, \, 2 \cdot 4 \equiv 3, \, 3 \cdot 3 \equiv 4, \, 3 \cdot 4 \equiv 2, \, 4 \cdot 4 \equiv 1$
Tương tự trên, các số $abc, a'b'c'$ đều không cùng chia hết cho 5.
Ta xét các trường hợp sau:
- Nếu $abc$ hoặc $a'b'c'$ chia hết cho 5, giả sử $abc$ chia hết cho 5 và ta tiếp tục giả sử $a$ chia hết cho 5 thì $a'b', a'c'$ chia 5 dư 1. Ta xét 4 trường hợp sau:

+ Nếu $a'$ chia 5 dư 1 thì $b',c'$ chia 5 dư 1 và dẫn đến $bc$ chia hết cho 5 và có thêm 1 trong 2 số $b,c$ chia hết cho 5.
Khi đó, bộ số mà 2 trong 3 số $(a,b,c)$ chia hết cho 5 và $(a',b',c')=(1,1,1)$ là thỏa mãn đề bài.
Có tất cả $7 \cdot 1 = 7$ bộ như thế.

+ Nếu $a$ chia 5 dư 4 thì $b',c'$ chia 5 dư 4 và dẫn đến $bc$ chia hết cho 5, có bộ mà 2 trong 3 số $(a,b,c)$ chia hết cho 5 và $(a',b',c')=(4,4,4)$ là thỏa mãn đề bài.
Có tất cả $7 \cdot 1 = 7$ bộ như thế.

+ Nếu $a'$ chia 5 dư 2 thì $b',c'$ chia 5 dư 3 thì $b'c'$ chia 5 dư 4 và dẫn đến $bc$ chia 5 dư 2.
Khi bộ số có dạng $(a,b,c)=(0,1,2),(0,3,4)$ và $(a',b',c') = (2,3,3)$ thỏa mãn.
Có tất cả $6 \cdot 2 = 12$ bộ như thế.

* Nếu $a'$ chia 5 dư 3 thì $b',c'$ chia 5 dư 2 và dẫn đến $bc$ chia 5 dư 2.
Khi đó bộ số có dạng $(a,b,c)=(0,1,2),(0,3,4)$ và $(a',b',c') = (3,2,2)$ thỏa mãn.
Có tất cả $6 \cdot 2 = 12$ bộ như thế.

Trường hợp này có tất cả $2 \cdot (7+7+12+12)=76$ bộ thỏa.

- Ta tính trường hợp mà cả $abc,a'b'c'$ đều không chia hết cho 5.
Khi đó, ta thấy $ab,bc,ca$ chỉ có thể chia 5 dư $2,3,4$ vì nếu chia 5 dư 1 thì bộ $a'b',b'c',c'a'$ sẽ chia hết cho 5, mâu thuẫn.
Ta thấy các số dư của $ab,bc,ca$ khi chia cho 5 không thể là $(2,2,2), (2,2,3),(2,2,4), (2,3,3), (2,4,4), (3,3,3), (3,3,4), (3,4,4)$
Thật vậy, chẳng hạn với bộ $(2,2,2)$, ta có $ab \equiv bc \equiv ca \equiv ca \equiv 2$ dẫn đến $2 \cdot c^2 = 4$, vô lí. Tương tự với các trường hợp còn lại.
Chỉ có thể là $(2,3,4),(3,3,4),(4,4,4)$, ta có 3 trường hợp:
- Nếu $(ab,bc,ca)=(2,3,4)$ thì $(a'b',b'c',c'a') = (4,3,2)$ và ta tìm được $(a,b,c,a',b',c')$ tương ứng là $(4,3,1,1,4,2)$ hoặc $(1,2,4,1,4,2)$ hoặc $(4,3,1,4,1,3)$ hoặc $(1,2,4,4,1,3)$ thỏa mãn
Có tất cả $6 \cdot 4 = 24$ bộ thỏa mãn.
- Nếu $(ab,bc,ca)=(2,4,2)$ thì $(a'b',b'c',c'a')=(4,2,4)$ không thỏa.
- Nếu $(ab,bc,ca)=(4,4,4)$ thì $(a'b',b'c',c'a')=(2,2,2)$ không thỏa.

Do đó, trong trường hợp này có $2 \cdot 24 = 48$ bô thỏa mãn đề bài.

Từ đó ta tính được tổng số bộ $B$ là $76+48=124$ bộ.

Vậy tổng số bộ cần tính là $28 \cdot 124 = 3472$.






[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
ha.uyen2796 (14-01-2013), hoangkute69 (13-01-2013), hungvu (13-01-2013), nghiepdu-socap (13-01-2013), TNP (13-01-2013)
Old 13-01-2013, 12:21 AM   #14
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 466 Times in 171 Posts
Đáp số là

Với $p, q $ là các số nguyên tố: $f(2) = 8 $, $f(p) = p^3 + 1 $ với $p\equiv 3\pmod 4 $ và $f(p) = p^3 - 1 $ với $p\equiv 1\pmod 4 $.

$f(pq) = f(p)f(q) $ nếu $p\neq q $.

Đáp số cho bài toán là $f(15) = f(3)f(5) = 28\times 124 = 3472 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 13-01-2013 lúc 12:24 AM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 16 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
hiepbeohd (14-01-2013), hieu1411997 (13-01-2013), hoanghaithanh (13-01-2013), hungvu (13-01-2013), HuongNhat (13-01-2013), huynhcongbang (13-01-2013), kimlinh (13-01-2013), lexuanthang (13-01-2013), magician_14312 (13-01-2013), nghiepdu-socap (13-01-2013), nqt (14-01-2013), pmn_t1114 (13-01-2013), thaygiaocht (13-01-2013), TNP (13-01-2013), vinhhop.qt (13-01-2013), votronghieu (13-01-2013)
Old 13-01-2013, 01:32 PM   #15
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Một kết quả tổng quát hơn:

Gọi $f(p)$ là số tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa mãn điều kiện $$\left\{ \begin{align}
& ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv x \left( \bmod p \right) \\
& ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv y \left( \bmod p \right) \\
& bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv z \left( \bmod p \right) \\
\end{align} \right.$$
với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,2,...,p \right\}$ và $0 \le x, y, z \le p-1$.

Khi đó:
- Nếu $0 < x, y, z \le p-1$ thì:
+ $f(p) = p^3-1=(p-1)(p^2+p+1)$ nếu $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$
+ $f(p) = p^3+1 = (p+1)(p^2-p+1)$ nếu $p \equiv 3 \left( \bmod 4 \right)$.

- Nếu trong 3 số $x,y,z$ có một số bằng 0 thì:
+ $f(p) = p^3-p^2+p-1=(p-1)(p^2+1)$ nếu $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$
+ $f(p) = p^3-p^2-p+1=(p+1)(p-1)^2$ nếu $p \equiv 3 \left( \bmod 4 \right)$.

- Nếu trong 3 số $x,y,z$ có 2 số bằng 0 thì
+ $f(p) = 2p^3-3p^2+2p-1 = (p-1)(2p^2-p+1)$ nếu $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$.
+ $f(p) = 2p^3-p^2-2p+1=(p+1)(p-1)(2p-1)$ nếu $p \equiv 3 \left( \bmod 4 \right))$.

- Nếu cả 3 số $x,y,z$ đều bằng 0 thì:
+ $f(p) = 5p^3-6p^2+3p-1$ nếu $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$.
+ $f(p) = 3p^3-3p+1$ nếu $p \equiv 3 \left( \bmod 4 \right)$.

Các kết quả này mình kiểm tra bằng máy tính, quả thật rất bất ngờ với các số này, tức là đề thi của chúng ta có thể 3 số 1 bởi 3 số khác 0 bất kì (tất nhiên là đều không vượt quá 2) và kết quả vẫn không đổi.

Kiểm tra thử:
- Với $p$ chia 4 dư 1 thì số tất cả các trường hợp xảy ra là:
$(p^3-1)(p-1)^3+3(p-1)^2(p^3-p^2+p-1)+3(p-1)(2p^3-3p^2+2p-1)+(5p^3-6p^2+3p-1)=p^6$.
- Với $p$ chia 4 dư 1 thì số tất cả các trường hợp xảy ra là:
$(p^3+1)(p-1)^3+3(p-1)^2(p^3-p^2+p-1)+3(p-1)(2p^3-p^2-2p+1)+(3p^3-3p+1)=p^6$.
Hoàn tất trùng khớp do mỗi số $a,b,c,a',b',c'$ có $p$ cách chọn.

Các đại lượng trên hứa hẹn sẽ có một lời giải đẹp cho trường hợp tổng quát này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: congbang_dhsp, 14-01-2013 lúc 01:36 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
ha.uyen2796 (14-01-2013), hongduc_cqt (18-07-2013), nghiepdu-socap (13-01-2013), nyctkt (14-01-2013), pmn_t1114 (13-01-2013)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:55 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 115.15 k/131.26 k (12.27%)]