Không tồn tại các ma trận

[legendarthas]

Giúp em với, đề còn có mỗi 1 câu mà giải mãi chưa ra

Chứng minh ko tồn tại 2 ma trận vuông cấp 2 B,C thỏa:


$\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\end{bmatrix}
= B^{2}+C^{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Có thể tồn tại 2ma trận thỏa mãn:
Xét $\alpha >0 $, chọn B sao cho $B^2= (
\begin{array}{cc}
0 & -\alpha \\
1+\alpha & 0
\end{array}
) $ và C sao cho $C^2= (
\begin{array}{cc}
0 & 1+\alpha \\
-\alpha & 0 \\
\end{array}
) $;
ví dụ, ta có $B= (
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & a \\
\end{array}
) $
thì có hệ
$ \{
\begin{array}{cc}
bc+a^2 & =0 \\
2ab&=-\alpha \\
2ac&=1+\alpha \\
\end{array}
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

Bài này chắc bạn legendarthas thiếu giả thiết hai ma trận B,C giao hoán rồi

Nếu B, C giao hoán vấn đề khá dễ, bạn hãy hình dung xem biểu thức $x^2+y^2 $ phân tích thành nhân tử như thế nào, áp dụng ý đó vào cho hai ma trận của bạn là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[legendarthas]

@Mr Stoke: Đề nó chỉ có vậy thôi bạn ơi, mình cam đoan là đúng đề đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duytuyen15]

Sử dụng bổ đề: $\det(B^2+C^2) \ge 0 $ với mọi ma trận vuông $B, C $ cùng cấp. Bổ đề này chứng minh có dùng số phức. Bạn suy nghĩ nhé. Thông cảm, mình ko biết gõ Latex.
------------------------------
À, phải có điều kiện ma trận $B, C $ giao hoán nữa phải ko bạn???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kynamsp]

Nguyên văn bởi duytuyen15

Sử dụng bổ đề: $\det(B^2+C^2) \ge 0 $ với mọi ma trận vuông $B, C $ cùng cấp. Bổ đề này chứng minh có dùng số phức. Bạn suy nghĩ nhé. Thông cảm, mình ko biết gõ Latex.
------------------------------
À, phải có điều kiện ma trận $B, C $ giao hoán nữa phải ko bạn???

bài này nếu có thêm điều kiện B,C giao hoán với nhau thì làm như thế này:
Ta có: $B^2+C^2=(B+iC)(B-iC) $ nên $det(B^2+C^2)=det(B+iC)(B-iC)=(\vert B+iC\vert)^2\geq 0 $ nhưng $det(\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\end{bmatrix})
=-1 $ suy ra ta có điều phải chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[legendarthas]

Vấn đề là trong đề bài ông thầy đưa mình thì không hề có điều kiện BC=CB
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaithuan_GC]

Không có giao hoán thì đề sai, bạn tự tìm phản ví dụ đi, không khó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]