Bài vừa thi

[lovemintu]

Bài này là bài sao * trong đề thi cuối kỳ em vừa làm chiều nay
Xác định số các tự đẳng cấu của $\mathbb{Z}_{p^n},\ p $ nguyên tố
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Vodka]

Nguyên văn bởi lovemintu

Bài này là bài sao * trong đề thi cuối kỳ em vừa làm chiều nay
Xác định số các tự đẳng cấu của $\mathbb{Z}_{p^n},\ p $ nguyên tố

Nếu mình nhớ không nhầm thì tất cả các tự đẳng cấu của ${Z}_{p^n} $ lập thành một nhóm cyclic cấp n sinh bởi ánh xạ
f(x)=$x^p $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Không biết một tự đẳng cấu của nó có phải là một $\mathbb{Z}_p $ -đẳng cấu không nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Vũ Trung Bồn]

số các tự đẳng cấu,theo mình là phi(p^n).Phi là hàm số học ơ le
Chúng ta quan tâm đến phần tử sinh là ra ngay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mrvuive]

Do $Z_{p^n} $ là nhóm cyclic với phép cộng nên một tự đồng cấu f từ $Z_{p^n}\longrightarrow Z_{p^n} $ hoàn toàn được xác định khi biết ảnh của f(1)$\in Z_{p^n} $. Như vậy là có đúng $p^n $ tự đồng cấu.
Còn để xác định tự đẳng cấu thì đòi hỏi f(1) phải là phần tử sinh của nhóm $Z_{p^n} $. Vậy có đúng $\varphi(p^n)=p^{n-1}(p-1) $ tự đẳng cấu.
Xin mọi người cho ý kiến thêm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]