Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Tôpô/Topology

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-01-2012, 12:41 AM   #1
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Topic các bài tập topo

Topo là môn học hay, nhưng ở VN không phải khoa Toán nào cũng dạy topo theo đúng nghĩa của nó. Ngay như một số trường được gọi là tốt về Toán ở VN cũng không giảng được các phần kiến thức thiết yếu trong topo, nhiều sv khi được hỏi thì chỉ biết topo nghĩa là "tập đóng, tập mở", còn nhóm đồng luân thì không hề biết là gì.

Vì vậy tôi mạnh dạn mở topic này nhằm mục đích sưu tầm một số bài tập hay về topo và thực hành giải bài tập. Lý do là chúng ta học chay nhiều, nên việc thực hành là quan trọng.

Những bài đầu tiên tôi sưu tầm chủ yếu liên quan tới tính nhóm đồng luân, nhóm đồng điều (đồng điều kỳ dị, tế bào, đơn hình), nhóm đối đồng điều, số Betti, đặc trưng Euler-Poincare, dạng giao, ký số.

Nếu bạn nào gặp khó khăn về thuật ngữ, cứ thoải mái đặt câu hỏi. Nếu các bạn có bài tập nào hay thì cứ mạnh dạn gửi vào, nếu có chú thích thêm vùng kiến thức sử dụng thì càng tốt. Chúng ta giải được đến đâu thì tốt đến đấy, không nên vì chưa giải được toàn bộ thì ngại không muốn viết lời giải

Bài 1.(đại cương) a. Chứng minh $D^n\times D^m $ đồng phôi với $D^{m+n} $, với $D^n $ là hình cầu đóng đơn vị trong không gian $\mathbb{R}^n $
b. Cho hai tập mở U và V trong $\mathbb{R}^n $ và $\mathbb{R}^m $ tương ứng. Nếu $m\neq n $ chứng minh U và V không đồng phôi với nhau.
c. Chứng minh $\mathbb{S}^n\wedge \mathbb{S}^m = \mathbb{S}^{n+m} $.

Bài 2. Tính các nhóm cơ bản của xuyến thực 2 chiều, $S^2 $, $\mathbb{RP}^2 $, băng Mobius (đóng hoặc mở), chai Klein, tổng liên thông của các tập này. Tính các nhóm đồng điều, số Betti, đặc trưng Euler-Poincare của các tập đó.

Bài 3. Tính $\pi_3(S^2\vee S^2 \vee S^2) $ và $\pi_3(\vee_4\mathbb{S}^2) $.

Bài 4. Cho $\varphi\colon \partial \mathbb{D}^2 \to \mathbb{S}^2 $ là đồng phôi lên đường xích đạo của $\mathbb{S}^2 $. Đặt $X = \mathbb{S}^2\cup_{\varphi}\mathbb{D}^2 $. Tính $\pi_1(X) $, $\pi_2(X) $, $\pi_3(X) $ và các nhóm đồng điều của $X $.

Bài 5 (bài này là bài thi cuối kỳ ở chỗ 99 học) Tính nhóm $\pi_1(T^2\vee \mathbb{S}^n) $, $\pi_n(T^2\vee \mathbb{S}^n) $ và các nhóm đồng điều của không gian này.

Bài 6. Cho $M $ là một đa tạp đơn liên, hỏi rằng $M\sharp M $ có phải là đa tạp đơn liên không?

Bài 7. $\mathbb{RP}^4 $ có phải là bờ của một đa tạp compact không? của đa tạp không compact?

Bài 8. $\mathbb{RP}^2\sharp T^2 $ có phải bờ của một đa tạp compact 3 chiều không?

Bài 9. Hỏi rằng $\mathbb{CP}^1\sharp\mathbb{CP}^1 $ có đồng biên với $\mathbb{CP}^2\sharp(\mathbb{T}^2\times\mathbb{S}^2 ) $

Bài 10. Hỏi rằng $(\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2)\sharp (\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^2) $ có vi phôi với $\mathbb{CP}^2\sharp\mathbb{CP}^2\sharp \overline{ \mathbb{CP}^2}\sharp\overline{\mathbb{CP}^2} $ không? Có đồng biên không? Ở đây $\overline{\mathbb{CP}^2} $ là $\mathbb{CP}^2 $ với hướng ngược lại.

Bài 11. Hỏi rằng ta có thể nhúng khả vi $\mathbb{CP}^2 $ vào $\mathbb{R}^5 $ được không?

Bài 12. Cho $\Sigma \subset\mathbb{R}^n $ đồng phôi với $\mathbb{S}^k $ với $1\leq k\leq n-1 $. Chứng minh rằng $H^i(\mathbb{R}^n-\Sigma,\mathbb{R}) = \mathbb{R} $ nếu $i= 0, n-k-1,n-1 $ và bằng 0 trong trường hợp khác. (Bài này lấy trong cuốn của Madsen và Tornehave)

Bài 13. Cho n>1. Tính các nhóm đồng luân $\pi_{\ast}(\mathbb{S}^n\vee \mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1) $ và các nhóm đồng điều $H_{\ast}(\mathbb{S}^n\vee\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1 ) $ với $\ast = 1,\ldots,n $.

Bài 14. Tính các nhóm đồng luân, các nhóm đồng điều của $\mathbb{S}^3 - \mathbb{S}^1 $.

Lưu ý: không phải bài nào 99 cũng giải được, vì nếu 99 giải được hết thì 99 sẽ không viết topic này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-01-2012, 04:51 AM   #2
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Thêm một số bài tập

[Only registered and activated users can see links. ]

Trích:
15. Show that if a connected manifold M is the boundary of a compact manifold, then the Euler characteristic of M is even.
16. Show that $\mathbb{RP}^{2n} $ and $\mathbb{CP}^{2n} $ cannot be boundaries.
17. Show that $\mathbb{CP}^2#\mathbb{CP}^2 $ cannot be the boundary of an orientable 5-manifold.
18. Show that the Euler characteristic of a closed manifold of odd dimension is zero.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
maths_bxq (16-02-2012)
Old 03-03-2012, 01:03 PM   #3
Thesoulofrock
+Thành Viên+
 
Thesoulofrock's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Cambridge, UK
Bài gởi: 156
Thanks: 1
Thanked 73 Times in 45 Posts
Bài 19: Giả sử $A_1, A_2, A_3$ là các tập đóng phủ $\mathbb{S}^2$. Chứng minh rằng trong một trong 3 tập trên tồn tại ít nhất 1 tập chứa 2 điểm đối xứng qua tâm. Tìm phản ví dụ để chứng minh phát biểu trên không đúng nếu phủ $\mathbb{S}^2$ bằng 4 tập mở. (nguồn từ bài giảng trên lớp )

Một bài toán đơn giản hơn đã từng được dùng làm đề thi Putnam:
Bài 20: Giả sử $A_1, A_2$ là một phủ mở của $\mathbb{S}^1$. Chứng minh rằng trong một trong 2 tập trên tồn tại ít nhất 1 tập chứa 2 điểm đối xứng qua tâm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Rằng xưa có gã từ quan
Lên non tìm động hoa vàng ngủ say

thay đổi nội dung bởi: 99, 04-03-2012 lúc 07:19 AM Lý do: thêm số bài
Thesoulofrock is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-03-2012, 12:21 AM   #4
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thesoulofrock View Post
Giả sử $A_1, A_2, A_3$ là các tập đóng phủ $\mathbb{S}^2$. Chứng minh rằng trong một trong 3 tập trên tồn tại ít nhất 1 tập chứa 2 điểm đối xứng qua tâm. Tìm phản ví dụ để chứng minh phát biểu trên không đúng nếu phủ $\mathbb{S}^2$ bằng 4 tập mở. (nguồn từ bài giảng trên lớp )
Định lý Lusternik-Schnirelman-Borsuk mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-03-2012, 02:59 AM   #5
Thesoulofrock
+Thành Viên+
 
Thesoulofrock's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Cambridge, UK
Bài gởi: 156
Thanks: 1
Thanked 73 Times in 45 Posts
Chậc, anh nhận ra nhanh quá. Phần tìm phản ví dụ cho trường hợp 4 tập cũng khá thú vị, mời anh thử xem sao
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Rằng xưa có gã từ quan
Lên non tìm động hoa vàng ngủ say
Thesoulofrock is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-03-2012, 03:53 AM   #6
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Không, 99 có biết gì đâu google ra mà ừ, có lẽ chắc phải lúc nào rỗi rãi, giờ mình đang bận làm khóa luận, và không liên quan gì tới topo nên chịu rồi

EDIT : dán 1 file vào cho tiện tra cứu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf Borsuk-Ulam.pdf (78.0 KB, 71 lần tải)

thay đổi nội dung bởi: 99, 04-03-2012 lúc 04:15 AM Lý do: dán file
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-03-2012, 07:41 AM   #7
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Thêm bài này nữa, lấy từ [Only registered and activated users can see links. ]

Bài 21: Cho $T\colon \mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^2\to\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^2$ là đẳng cự thỏa mãn $T^2= id$ (hay nói cách khác T là đối hợp). Ký hiệu $Fix T$ là tập các điểm bất động của $T.$ Hỏi rằng có thể xảy ra $Fix T$ là
(a) $\mathbb{RP}^2$?
(b) $\mathbb{S}^2$?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-03-2012, 10:37 AM   #8
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Có bài tập đơn giản nhưng khá thú vị. Cái này liên quan đến nhóm compact địa phương, cần thiết trong giải tích điều hòa:

Bài 22: Mô tả các topo trên $\mathbb Z $, $\mathbb Z^n $ sao cho $\mathbb Z $, $\mathbb Z^n $ trở thành các nhóm topo compact địa phương.

Câu trả lời cho $\mathbb Z $: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Mr Stoke, 14-03-2012 lúc 10:39 AM
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-12-2012, 11:25 PM   #9
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Hôm nay chỗ em vừa thi cuối kì topology1 xong. Có 1 một bài là: Hãy phân tích $S^{3} $ thành dạng $A\cup B $, sao cho: $A\cong B\cong D^{2}\times S^{1} $ và $A\cap B \cong S^{1}\times S^{1} $. Ánh xạ dán $S^{1}\times S^{1} \rightarrow S^{1}\times S^{1} $ là gì?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-12-2012, 11:33 PM   #10
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Bài này của bạn khó thế Đây chính là phân tích Heegaard đấy. Mình biết vậy thôi, chứ cũng không có thời gian tìm hiểu.

$D^2 \times S^1$ chính là xuyến đặc. Lấy một bản sao của cái này nữa, rồi dán biên hai thằng lại, ánh xạ dán là đồng nhất trên biên, thì ta thu được $S^3.$ Cái này là phân tích Heegaard nếu 99 không nhầm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
Gallus (10-12-2012)
Old 09-12-2012, 05:55 PM   #11
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Mình xin lỗi vì nói bậy đoạn ánh xạ dán ở trên: ánh xạ dán $f\colon S^1\times S^1\to S^1 \times S^1$ là ánh xạ đổi chỗ hai tọa độ. Bạn có thể xem ở mấy trang đầu cuốn sách của Saveliev, Lectures on the topology of 3-manifolds.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
Gallus (10-12-2012)
Old 10-12-2012, 01:14 AM   #12
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Cảm ơn anh 99. Em xin lỗi, giờ em đang thi các môn khác nữa nên vẫn chưa nghĩ lại. Cuốn sách em lấy ở trên Libgen được rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 15-12-2012, 03:14 PM   #13
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Em ghi lại đáp án ở trên lớp là :
Thay vì hình cầu ban đầu, chúng ta xét hình cầu có bán kính $\sqrt{2} $ trong $\mathbb{C}^2 $: $\ S^3=\left\{ (z,w): |z|^2 + |w|^2 = 2 \right\} $.
Khi đó thì: $\ A= \left\{ (z,w) \in S^3 : |z|^2 \leq |w|^2 \right\} $ và $\ B= \left\{ (z,w) \in S^3 : |z|^2 \geq |w|^2 \right\} $ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Homeomorphism từ $\ D^2 \times S^1 $ vào $\ A $ cụ thể là: $\ (z,w) \longmapsto (z, \sqrt{2-|z|^2}.w) $, vào $\ B $ là: $\ (z,w) \longmapsto (\sqrt{2-|z|^2}.w, z) $.
Sau đó lấy hợp thành nghịch đảo của ánh xạ thứ nhất với ánh xạ thứ 2 trên $\ S^1 \times S^1 $ thì ánh xạ dán chính là ánh xạ đổi chỗ của 2 tọa độ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Gallus For This Useful Post:
99 (15-12-2012)
Old 15-12-2012, 08:19 PM   #14
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Chẹp, tuyệt vời, công thức cụ thể thế này anh ít khi được thấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-01-2013, 08:53 PM   #15
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Em chào anh! Hôm nay em đi thi vấn đáp thầy giáo hỏi có một câu là: Nối từ một điểm trên $\mathbb{S}^n $ vào một điểm trên $\mathbb{RP}^n $ bằng một đoạn thẳng (vẽ ra thì nhìn như cái tạ tay, hai đầu là hai không gian trên). Tính $\pi_{1} $ của không gian topo này bằng cách tìm một ánh xạ phủ (? covering map) ?

Em đoán là khi $n=1 $ thì nhóm cơ bản sẽ là $\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z} {/}_{2} $ , khi $n>1 $ thì nhóm cơ bản sẽ là $\mathbb{Z} {/}_{2} $. Nhưng mà không chỉ ra được covering map. Buồn thiu!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:08 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 95.53 k/110.76 k (13.75%)]