Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 13-02-2012, 01:00 PM   #376
ha linh
+Thành Viên+
 
ha linh's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hà nội
Bài gởi: 81
Thanks: 155
Thanked 19 Times in 12 Posts
Cho $x,y,z >0 $ .CM:
$ \sum \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2z^2} \le \ 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ha linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-02-2012, 03:53 PM   #377
v.t.t_96
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: PTNK HCM city
Bài gởi: 162
Thanks: 87
Thanked 101 Times in 73 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ha linh View Post
Cho $x,y,z >0 $ .CM:
$ \sum \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2z^2} \le \ 3 $
Theo bđt Cauchy_Schwarz ta có :
$ \sum \frac{(x+y)^{2}}{(x^{2}+z^{2})+(y^{2}+z^{2})} \leq \sum (\frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+z^{2 }})=3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
v.t.t_96 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-02-2012, 07:14 PM   #378
bboy114crew
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: Dòng thời gian...
Bài gởi: 294
Thanks: 290
Thanked 189 Times in 91 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới bboy114crew
Trích:
Nguyên văn bởi phaituankhan19 View Post
C

Cho $a,b,c>0 $ thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc $.Chứng minh rằng:

$\[\frac{bc\sqrt{1+3{{a}^{2}}}}{b+3ca}+\frac{ca\sqrt{ 1+3{{b}^{2}}}}{c+3ab}+\frac{ab\sqrt{1+3{{c}^{2}}}} {a+3bc}\ge \frac{3}{2}\] $
Đặt $\frac{1}{a}=x ;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z $
Khi đó BDT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{\sqrt{1+x^2}}{xz+3y} \geq \frac{3}{2} $
Ta lại có:
$xz+3y=(y+x)(y+z) \leq \frac{(2y+x+z)^2}{4}=\frac{y+3}{4} $
Mà $\sqrt{x^2+3} \geq \frac{x+3}{2} $
Do đó:
$\sum \frac{\sqrt{1+x^2}}{xz+3y} \geq 2\sum \frac{x+3}{(y+3)^2} $
Mặt khác:
$\sum \frac{\sqrt{1+x^2}}{xz+3y}\sum\frac{1}{x+3} \geq (\sum\frac{1}{y+3})^2=(\sum\frac{1}{x+3})^2 $
Hay $\sum \frac{\sqrt{1+x^2}}{xz+3y} \geq \sum\frac{1}{x+3} \geq \frac{3}{2}.Q.E.D $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Thay đổi tất cả và mãi mãi......
Offline...
bboy114crew is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to bboy114crew For This Useful Post:
hungvu (06-07-2012)
Old 15-02-2012, 10:21 PM   #379
vjpd3pz41iuai
+Thành Viên+
 
vjpd3pz41iuai's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 303
Thanks: 129
Thanked 130 Times in 81 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi khaitang1234 View Post
bài 9 Cho $x,y,z\in [-1;1] $và $x+y+z=0 $. Chứng minh:
$\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}} \geq 3 $
Ta có bđt phụ sau
Với $$ab \ge 0$ $ thì ta có bđt
$$\sqrt {1 + a} + \sqrt {1 + b} \ge 1 + \sqrt {1 + a + b} $ $
Giả sử trong 3 số $$x + {y^2},y + {z^2},z + {x^2}$ $ thì $$(x + {y^2})(y + {z^2}) \ge 0$ $
áp dụng bất đẳng thức phụ trên cho 2 căn thức đầu,kết hợp cái còn lại ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vjpd3pz41iuai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-03-2012, 12:53 PM   #380
hung95
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 135
Thanks: 50
Thanked 18 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Bai62 Cho 3 số thực dương $a,b,c $.Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+bc}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2+ca}{b^2+(c+a) ^2}+\frac{c^2+ab}{c^2+(a+b)^2}\leq \frac{18}{5}\frac{a^2+b^2+c^2}{(a
+b+c)^2} $
Bài này ở #153 và nằm trong cuốn bất đẳng thức của anh Cẩn
Mình vẫn chưa hiểu lắm về thêm bớt số nào đó cho tử >0 và bất đẳng thức đó chặt nhất

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: hung95, 02-03-2012 lúc 11:57 AM
hung95 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-03-2012, 04:39 PM   #381
mars
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 43
Thanks: 4
Thanked 11 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hiep 123 View Post
Chứng minh với $a,b,c>0 $ :

$\sum \dfrac{a}{b}\leq \sum \sqrt{\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}} $
Sử dụng biến đổi:
$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{a}{b}-1+\frac{b}{c}-1+\frac{c}{a}-1=\frac{a-b}{b}+\frac{b-c}{c}+\frac{c-a}{a}=\frac{a-c}{b}+\frac{c-a}{a}+\frac{c-b}{b}+\frac{b-c}{c} $
$=\frac{(a-c)(a-b)}{ab}+\frac{(b-c)^2}{bc}\ge 0 $ Nếu giả sử rằng a=max{a,b,c}
Lưu ý rằng các hiệu $\sqrt{a+x}-\sqrt{b+x} $ có thể viết lại dưới dạng: $\frac{a-b}{\sqrt{a+x}+\sqrt{b+x}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
mars is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-03-2012, 08:01 PM   #382
TrauBo
Moderator
 
TrauBo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club)
Bài gởi: 1,058
Thanks: 937
Thanked 1,249 Times in 433 Posts
Cho a, b, c dương thỏa $abc=1 $. Tìm Max $\sum \frac{1}{a^2-a+1} $
Xin cách giải bằng phương pháp tiếp tuyến

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
TrauBo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-03-2012, 08:39 PM   #383
5434
+Thành Viên+
 
5434's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Đến từ: no*i ty bă't đâ'u
Bài gởi: 695
Thanks: 121
Thanked 335 Times in 214 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung95 View Post
Bài này ở #153 và nằm trong cuốn bất đẳng thức của anh Cẩn
Mình vẫn chưa hiểu lắm về thêm bớt số nào đó cho tử >0 và bất đẳng thức đó chặt nhất
Cuốn nào vậy bạn ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

5434 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 15-04-2012, 10:40 PM   #384
wuwi_9x
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Bài gởi: 12
Thanks: 3
Thanked 1 Time in 1 Post
Xét 3 số thực x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z = 1. CM : $x\sqrt{1-yz}+y\sqrt{1-xz}+z\sqrt{1-xy} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: TrauBo, 19-04-2012 lúc 03:50 PM Lý do: LaTex
wuwi_9x is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 22-04-2012, 07:32 PM   #385
wuwi_9x
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Bài gởi: 12
Thanks: 3
Thanked 1 Time in 1 Post
Mọi người có thể nói về kĩ thuật LÂN DẦN trong bất đẳng thức với ví dụ chứng minh đẳng thức sau : Xét ba số thực dương a,b,c chứng minh rằng
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ 10ab + b^{2}}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2}+ 10bc +c^{2}}} + \frac{c}{\sqrt{c^{2}+ 10ca + a^{2}}} \geq \sqrt{\frac{3}{4}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: wuwi_9x, 22-04-2012 lúc 09:02 PM
wuwi_9x is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-09-2012, 12:36 PM   #386
An_Giang
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: An Giang
Bài gởi: 21
Thanks: 0
Thanked 20 Times in 13 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi wuwi_9x View Post
Mọi người có thể nói về kĩ thuật LÂN DẦN trong bất đẳng thức với ví dụ chứng minh đẳng thức sau : Xét ba số thực dương a,b,c chứng minh rằng
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ 10ab + b^{2}}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2}+ 10bc +c^{2}}} + \frac{c}{\sqrt{c^{2}+ 10ca + a^{2}}} \geq \sqrt{\frac{3}{4}} $
Bất đẳng thức này mình thấy trong quyển sách "Bất đẳng thức suy luận và khám phá' với lời giải bằng Cauchy-Schwarz khá cồng kềnh vì phải đổi biến, ở đây chúng ta có một chứng minh đơn giản hơn cho bài toán này.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$ \frac{1}{\sqrt{1+ 10x^2 + x^4 }} + \frac{1}{\sqrt{1+ 10y^2 +y^4}} + \frac{1}{\sqrt{1+ 10z^2 + z^4}} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}. $$ trong đó $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}},\; y=\sqrt{\dfrac{c}{b}},\; z=\sqrt{\dfrac{a}{c}}$ nên ta được $xyz=1.$ Chú ý rằng $$4(1+x+x^2)^2-3(1+ 10x^2 + x^4)=(x-1)^2(x^2+10x+1) \ge 0.$$ Nên ta có $$\frac{1}{\sqrt{1+ 10x^2 + x^4}}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{1+x+x^2}.$$ Sử dụng đánh giá này ta đưa bài toán về chứng minh $$\frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z +z^2}\ge 1,$$ đây là một bất đẳng thức quen thuộc. Chứng minh hoàn tất.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The Simplest Solution Is The Best Solution
An_Giang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to An_Giang For This Useful Post:
mathmath123 (18-10-2012)
Old 01-09-2012, 07:18 PM   #387
hoang_kkk
+Thành Viên+
 
hoang_kkk's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Bài gởi: 103
Thanks: 259
Thanked 68 Times in 32 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi TrauBo View Post
Cho a, b, c dương thỏa $abc=1 $. Tìm Max $\sum \frac{1}{a^2-a+1} $
Xin cách giải bằng phương pháp tiếp tuyến
Không biết mình giải theo tiếp tuyến thế này đúng hay chưa

Đặt $a=\ln x, b=\ln y, c=\ln z $. Khi đó ta có $x+y+z=0 $.

Biểu thức đã cho được viết lại thành :

$T=\sum \frac{1}{e^{2x}-e^x+1} $

Xét hàm $f(t) $ với $f(t)=\frac{1}{e^{2t}-e^t+1} $ ta có

$f'(t)=\frac{e^t-e^{2t}}{\left ( e^{2t}-e^t+1 \right )^2} $

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=0 $

Khảo sát hàm f(t) ta được max f(t)=1 đạt được khi t=0. Áp dụng vào bài toán ta có $T\leq 3 $.
Vậy $maxT=3 $. Đạt được khi và chỉ khi $a=b=c=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hoang_kkk is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-09-2012, 03:17 PM   #388
ndhv
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2012
Đến từ: dhv
Bài gởi: 5
Thanks: 6
Thanked 2 Times in 2 Posts
Cho các số không âm a,b,c. CMR
$3(a^3+b^3+c^3)^2\geq (a^4+b^4+c^4)(a+b+c)^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ndhv is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-11-2013, 01:51 PM   #389
hungyeumath
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Cho a+b=1 \, \: \, \, \, \, a,b>0
\, \, \, \, \, min $ \frac{1}{a^3 + b^3} +\frac{1}{ab} $

bài này nhìn khá vui nhưng hiện tại mình mới tìm được max
mọi người cùng làm cho vui
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: hungyeumath, 23-11-2013 lúc 01:55 PM Lý do: latex
hungyeumath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-02-2014, 08:31 PM   #390
vuihoctoan@
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gởi: 9
Thanks: 2
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phantiendat_hv View Post
Bài2: Cho ba số thức dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3 $.Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c +2a^2}\geq 1 $

cách khác Cauchy_Schwarz
BĐT $ \Leftrightarrow\frac{a^4}{a^3+2b^2a^2}+\frac{b^4}{ b^3+2c^2b^2}+\frac{c^4}{c^3+2a^2c^2}\geq 1 $

$\Rightarrow VT\ge \frac{ (a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^ 2)} $

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $ (a^2+b^2+c^2)^2\ge a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) $(*)

Thật vậy$ (*) \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3 $ dễ dàng chứng minh được điều này với Cosi và giả thuyết $ a+b+c=3 $

Vậ BĐT được chứng minh xong!
Bài đăng bị chút lỗi mình sửa lại hộ nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vuihoctoan@ is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:25 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 100.29 k/115.79 k (13.39%)]