Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tổ Hợp

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 02-02-2018, 03:04 PM   #1
hung.vx
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 19
Thanks: 0
Thanked 3 Times in 2 Posts
Bài toán đóng mở $2018$ tủ của $2018$ học sinh.

Có $2018$ học sinh lần lượt đi qua một hành lang có $2018$ cái tủ đang đóng được đánh số từ $1$ đến $2018$. Học sinh đầu tiên mở tất cả các tủ. Học sinh thứ $2$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $2,4,...,2018$. Học sinh thứ $3$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $3,6,9,...,2017$. Và cứ tiếp tục như thế, học sinh thứ $i$ đi qua sẽ thay đổi trạng thái đóng mở của tất cả các tủ được đánh số là bội của $i$. Hỏi sau khi $2018$ học sinh đi qua thì còn bao nhiêu tủ vẫn còn đóng?

Kosovo Mathematical Olympiad 2018

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hung.vx is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-02-2018, 08:36 AM   #2
muaxl2xo
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2018
Bài gởi: 6
Thanks: 0
Thanked 2 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Có $2018$ học sinh lần lượt đi qua một hành lang có $2018$ cái tủ đang đóng được đánh số từ $1$ đến $2018$. Học sinh đầu tiên mở tất cả các tủ. Học sinh thứ $2$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $2,4,...,2018$. Học sinh thứ $3$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $3,6,9,...,2017$. Và cứ tiếp tục như thế, học sinh thứ $i$ đi qua sẽ thay đổi trạng thái đóng mở của tất cả các tủ được đánh số là bội của $i$. Hỏi sau khi $2018$ học sinh đi qua thì còn bao nhiêu tủ vẫn còn đóng?

Kosovo Mathematical Olympiad 2018
Tủ n sẽ có số lần tác động = số ước của n. chẳng hạn tủ 36 sẽ bị tác động bởi các học sinh 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Luôn có 2 ước tầm thường là 1 và n. Nếu có 1 ước trong khoảng (1; căn(n)) thì cũng có 1 ước tương ứng với nó trong khoảng (căn(n); n).
Vậy nếu n ko là số chính phương thì số ước của n luôn là số chẵn, do đó trạng thái cuối cùng của tủ n sẽ là đóng.
Nếu n là số chính phương thì số ước của n là số lẻ nên trạng thái cuối cùng của tủ là mở.
Các số chính phương từ 1 đến 2018 là k.k với 0 < k < 45 nên có 44 số.
Vậy tóm lại cuối cùng sẽ có 2018 - 44 = 1974 tủ đóng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
muaxl2xo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-02-2018, 03:14 AM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,380
Thanks: 2,151
Thanked 4,126 Times in 1,358 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Có một câu hỏi vui cho bài toán này.

Với số tủ là $n$, gọi $f(n)$ là số tủ mở.

Chứng minh rằng với mọi $m \ge 3$ nguyên dương thì tồn tại đúng ba số nguyên dương $n$ để $n=m \cdot f(n)$.

Bài này mình ngẫu hứng chế ra khi cho các bạn học trường Đông Titan HN 2016 làm một bài tương tự bài tủ đóng - mở ở trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:13 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 46.90 k/51.89 k (9.62%)]