Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 08-11-2017, 01:49 PM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,368
Thanks: 2,148
Thanked 4,088 Times in 1,350 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Từ bài USAMO 1976 đến Quảng Ninh 2017

Trong đề thi HSG của Mỹ cách đây hơn 40 năm, có 1 bài đa thức như sau:

Cho $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$, và $S(x)$ là các đa thức thỏa mãn \[P(x^5) + xQ(x^5) + x^2 R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + x +1) S(x),\] chứng minh rằng $x-1$ là một nhân tử của $P(x)$.

Bài toán này có thể được giải quyết bằng cách dùng số phức, thay các căn bậc 5 của đơn vị thích hợp để tìm ra các liên hệ giữa các đa thức đã cho.

https://artofproblemsolving.com/wiki...lems/Problem_5

Còn đây là bài toán trong đề Quảng Ninh 2017:

[Quảng Ninh] Cho $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thoả mãn:
\[P(x^2-x)+xQ(x^3-x)-(x^2-4)R(x) \quad\forall\, x \in \mathbb{R}\]
Chứng minh rằng phương trình $Q(x)+R(x-3)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.
Giả sử rằng tổng bậc của $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[M=P^2(0)+8Q^2(3)\]

Mình tin rằng tác giả đã sáng tác bài này dựa trên ý tưởng của bài USAMO kia. Vì việc thay các số vào tìm liên hệ chẳng qua khác nhau ở việc số thực / số phức mà thôi; các yếu tố còn lại rất tương tự.

Dưới đây là lời giải chi tiết của bài toán đó:

a) Trong đẳng thức đã cho, lần lượt thay $x=2,x=-2$, ta có
$$P(2)+2Q(2)=0,P(6)-2Q(6)=0.$$
Để có ${{x}^{2}}-x=2$, ngoài $x=2$, ta còn có $x=-1$ nên thay tiếp $x=-1$ vào, ta được
$$P(2)-Q(2)=-3R(-1).$$
Từ đó suy ra $-3Q(2)=-3R(-1)$ hay $Q(2)=R(-1)$.
Tương tự, thay $x=3$ vào, ta có $P(6)+3Q(6)=5R(3)$ nên $Q(6)=R(3).$
Vậy $Q(x)=R(x-3)$ có hai nghiệm phân biệt là $x=2,x=6.$

b) Gọi $m,n,p\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ lần lượt là bậc của $P(x),Q(x),R(x)$ thì
$$m+n+p=5 \text{ và } \max \left\{ 2m,2n+1 \right\}=p+2.$$
Dễ thấy $m=2,n=1,p=2$. Đặt $Q(x)=ax+b$ với $a\ne 0.$
Vì $R(x-3)-Q(x)$ là đa thức bậc hai, có hệ số cao nhất bằng 1 và có hai nghiệm là $x=2,x=6$ nên $R(x-3)-Q(x)=(x-2)(x-6).$ Suy ra $R(x-3)={{x}^{2}}-8x+12+ax+b$.
Từ đó ta tính được
$$R(x)={{(x+3)}^{2}}-8(x+3)+12+a(x+3)+b={{x}^{2}}+x(a-2)+3a+b-3.$$
Trong đẳng thức đề bài cho, thay $x=0$, ta có $P(0)=-4R(0)=-4(3a+b-3).$
Suy ra ${{P}^{2}}(0)+8{{Q}^{2}}(3)=16{{(3a+b-3)}^{2}}+8{{(3a+b)}^{2}}$.
Đặt $c=3a+b$, ta có $${{P}^{2}}(0)+8{{Q}^{2}}(3)=16{{(t-3)}^{2}}+8{{t}^{2}}=24({{t}^{2}}-4t+6)\ge 48.$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $48$, đạt được khi $t=2$ hay $3a+b=2.$
Ứng với $a=1,b=-1$, ta có các đa thức $P(x)={{x}^{2}}-5x+4,Q(x)=x-1,R(x)={{x}^{2}}-x-1$ thỏa mãn đề bài và ${{P}^{2}}(0)+8{{Q}^{2}}(3)=16+8\cdot {{2}^{2}}=48.$

Câu hỏi thú vị đặt ra là tại sao tác giả lại nghĩ ra được cách chọn các đa thức thích hợp để có các nghiệm đẹp như thế. Số 2 và 6 ở câu a có lý do nào để suy luận ra được hay không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
chemmath (14-11-2017), thaygiaocht (12-11-2017)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:50 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.70 k/45.06 k (7.45%)]