Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 15-07-2015, 12:03 PM   #1
Nvthe_cht.
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gởi: 69
Thanks: 15
Thanked 36 Times in 24 Posts
Bất đẳng thức số học

Gọi $D(n)$ là số các ước dương của $n$. Và $T(n)$ là số các số nguyên dương bé hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ ( chính là Phi(n) ). Chứng minh rằng:
$(D(n)-1).T(n) \ge n$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Nvthe_cht. is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-03-2016, 05:38 PM   #2
tikita
Senior Member
 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 151
Thanks: 2
Thanked 73 Times in 50 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Nvthe_cht. View Post
Gọi $D(n)$ là số các ước dương của $n$. Và $T(n)$ là số các số nguyên dương bé hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ ( chính là Phi(n) ). Chứng minh rằng:
$(D(n)-1).T(n) \ge n$
Hình như đề này có vấn đề thì phải, khi $n$ là số nguyên tố thì $D(n)=2$ va $T(n)=n-1$. Khi đo BDT sai .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tikita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-03-2016, 11:32 PM   #3
trungnghia215
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2015
Bài gởi: 6
Thanks: 0
Thanked 2 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi tikita View Post
Hình như đề này có vấn đề thì phải, khi $n$ là số nguyên tố thì $D(n)=2$ va $T(n)=n-1$. Khi đo BDT sai .
Chắc bất đẳng thức này sẽ đúng $(\tau (n) - 1).\varphi (n) + 1 \ge n$
Dĩ nhiên BĐT đúng với số nguyên tố.
Đặt $n = p_{1}^{a_{1}}.p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$
Khi đó $\tau (n) = \prod_{i = 1}^{k}(a_{i} + 1)$ và $\varphi (n) = \prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{a_{i} - 1}.(p_{i} - 1)$.
Dễ thấy $\tau (n) - 1 \ge a_{1}.\prod_{i = 2}^{k}(a_{i} + 1)$.
Do đó ta cần chứng minh $a_{1}.\prod_{i = 2}^{k}(a_{i} + 1).\varphi(n) + 1 \ge n$.
- Nếu $a_{1} \ge 2$ thì $a_{1}(p_{1} - 1).(\prod_{i = 2}^{k}(a_{i} + 1).(p_{i} - 1)).\prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{a_{i} - 1} \ge (\prod_{i = 1}^{k}2(p_{i} - 1)).\prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{a_{i} - 1} \ge (\prod_{i = 1}^{k}p_{i}).\prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{a_{i} - 1} = n$
- Nếu $a_{1} = 1$ (do ta không xét trường hợp số nguyên tố nên $k \ge 2$). Do đó $p_{k} \ge 3$ hay $(a_{k} + 1)(p_{k} - 1) \ge 2(p_{k} - 1) \ge p_{k} + 1$.
Từ đó ta có $(p_{1} - 1).\prod_{i = 2}^{k}(a_{i} + 1)(p_{i} - 1).p_{i}^{a_{i} - 1} \ge (p_{1} - 1)(\prod_{i = 2}^{k - 1}2(p_{i} - 1))(p_{k} + 1)$. Dễ thấy $k \ge 3$ thì bất đẳng thức đúng. Trường hợp $k = 2$, ta chỉ cần kiểm tra với $n = 6$. Khi đó thử lại $n = 6$ là giá trị thỏa mãn.
P.S: trình bày hơi lan man xíu..
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
trungnghia215 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:26 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 45.22 k/50.20 k (9.93%)]