|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
07-04-2016, 03:30 PM | #1 |
Super Moderator | Tìm hàm phức thỏa mãn điều kiện Giả sử $f$ liên tục trên đường tròn đơn vị thỏa mãn $\left| {f\left( z \right)} \right| \leqslant M$ và \[\left| {\int_{\left| z \right| = 1} {f\left( z \right)dz} } \right| = 2\pi M\] Tìm hàm $f$. Mình chỉ tìm ra được \[\left| {f\left( z \right)} \right| = M,\forall z \in \left\{ {\left| z \right| = 1} \right\}\] __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
08-04-2016, 08:31 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | Trích:
| |
08-04-2016, 09:15 PM | #3 |
Super Moderator | Ở đây chỉ cần xác định $f$ trên đường tròn đơn vị thôi mà bạn. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
08-04-2016, 10:24 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
Ta có \[ \left|\int_{|z| =1} f(z) dz \right| = \left(\left(\int_{|z|=1} g(z) dz\right)^2 + \left(\int_{|z|=1} h(z) dz\right)^2\right)^{\frac 12}. \] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz cho tích phân ta có \[ \left(\int_{|z|=1} g(z) dz\right)^2 \leq \int_{|z|=1} |g(z)|^2 dz \int_{|z|=1} dz = 2\pi \int_{|z|=1} |g(z)|^2 dz, \] đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $g$ là hằng số trên $\{|z| =1\}$. Tương tự ta có \[ \left(\int_{|z|=1} h(z) dz\right)^2 \leq \int_{|z|=1} |h(z)|^2 dz \int_{|z|=1} dz = 2\pi \int_{|z|=1} |h(z)|^2 dz, \] đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $h$ là hằng số trên $\{|z| =1\}$. Do đó ta có \[ 2\pi M = \left(\left(\int_{|z|=1} g(z) dz\right)^2 + \left(\int_{|z|=1} h(z) dz\right)^2\right)^{\frac 12} \leq \left(2\pi \int_{|z|=1} (g(z)^2 + h(z)^2) dz\right)^{\frac 12} \leq 2\pi M. \] Điều này chỉ ra rằng $g(z)^2 + h(z)^2 = M^2$ với mọi $|z| =1$, và đằng thức xảy ra trong bất đẳng thức Cauchy-Schwartz cho $g$ và $h$ tức là $g,h$ là hàm hằng trên $\{|z| =1\}$. Tóm lại, ta thu được $g(z) =a$ và $h(z) =b$ với $a,b$ là các hằng số thực sao cho $a^2 + b^2 = M^2$ hay là $f(z) = M e^{i \theta}$ với $\theta$ là số thực nào đó. | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | portgas_d_ace (09-04-2016) |
09-04-2016, 11:28 AM | #5 |
Super Moderator | Anh cho em hỏi, nếu hàm $f$ của anh là hàm hằng thì nó giải tích trên toàn mặt phẳng phức nên tích phân trên đường cong kín nó phải bằng $0$ chứ ạ __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
09-04-2016, 12:38 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | |
09-04-2016, 08:33 PM | #7 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
$$ \int f(z) dz = i \int_0^{2\pi} f(e^{it}) e^{it} dt = \int_0^{2\pi} (g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t) dt + i \int_0^{2\pi} (g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t) dt. $$ Sử dụng Cauchy-Schwartz $$\left(\int_0^{2\pi} (g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t) dt\right)^2 \leq 2\pi \int_0^{2\pi} (g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t)^2 dt,$$ với đẳng thức đúng khi và chỉ khi $g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t$ là hàm hằng, và $$\left(\int_0^{2\pi} (g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t) dt\right)^2\leq 2\pi \int_0^{2\pi} (g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t)^2 dt, $$ với đẳng thức khi và chỉ khi $g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t$ là hàm hằng. Cộng hai bdt lại suy ra $$\left|\int f(z) dz\right|^2 \leq 2\pi \int_0^{2\pi} (g(e^{it})^2 + h(e^{it})^2) dt \leq 4\pi^2 M^2. $$ Từ giả thiết suy ra $g^2 + h^2 = M^2$ và có đẳng thức trong bdt Caychy-Schwartz ở trên. Do đó tồn tại hằng số $a, b$ sao cho $$ g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t = a,\quad \text{và} \quad g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t = b.$$ Từ $g^2 + h^2 = M^2$ suy ra $a^2 + b^2 =M^2$. Hai phương trình trên suy ra $$g(e^{it}) = a\cos t+ b\sin t,\quad \text{và}\quad h(e^{it}) = -a\sin t + b\cos t,$$ do đó $f(e^{it}) = (a+ ib) e^{-it}$, tức là $f(z) = c \overline{z}$, với $c$ là hằng số, $|c| =M$. | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | portgas_d_ace (09-04-2016) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|