Tìm hàm phức thỏa mãn điều kiện

[portgas_d_ace]

Giả sử $f$ liên tục trên đường tròn đơn vị thỏa mãn $\left| {f\left( z \right)} \right| \leqslant M$ và
\[\left| {\int_{\left| z \right| = 1} {f\left( z \right)dz} } \right| = 2\pi M\]
Tìm hàm $f$.
Mình chỉ tìm ra được
\[\left| {f\left( z \right)} \right| = M,\forall z \in \left\{ {\left| z \right| = 1} \right\}\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Giả sử $f$ liên tục trên đường tròn đơn vị thỏa mãn $\left| {f\left( z \right)} \right| \leqslant M$ và
\[\left| {\int_{\left| z \right| = 1} {f\left( z \right)dz} } \right| = 2\pi M\]
Tìm hàm $f$.
Mình chỉ tìm ra được
\[\left| {f\left( z \right)} \right| = M,\forall z \in \left\{ {\left| z \right| = 1} \right\}\]

Mình đâu có giả thiết gì bên ngoài để kết luận thông tin bên ngoài đường tròn đơn vị ($f$ liên tục trên đường tròn đơn vị).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Ở đây chỉ cần xác định $f$ trên đường tròn đơn vị thôi mà bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Giả sử $f$ liên tục trên đường tròn đơn vị thỏa mãn $\left| {f\left( z \right)} \right| \leqslant M$ và
\[\left| {\int_{\left| z \right| = 1} {f\left( z \right)dz} } \right| = 2\pi M\]
Tìm hàm $f$.
Mình chỉ tìm ra được
\[\left| {f\left( z \right)} \right| = M,\forall z \in \left\{ {\left| z \right| = 1} \right\}\]

Giả sử $f(z) = g(z) + i h(z)$ với $g$ và $h$ là các hàm liên tục, giá trị thực. Khi đó ta có $g(z)^2 + h(z)^2 \leq M^2$.

Ta có
\[
\left|\int_{|z| =1} f(z) dz \right| = \left(\left(\int_{|z|=1} g(z) dz\right)^2 + \left(\int_{|z|=1} h(z) dz\right)^2\right)^{\frac 12}.
\]
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz cho tích phân ta có
\[
\left(\int_{|z|=1} g(z) dz\right)^2 \leq \int_{|z|=1} |g(z)|^2 dz \int_{|z|=1} dz = 2\pi \int_{|z|=1} |g(z)|^2 dz,
\]
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $g$ là hằng số trên $\{|z| =1\}$.

Tương tự ta có
\[
\left(\int_{|z|=1} h(z) dz\right)^2 \leq \int_{|z|=1} |h(z)|^2 dz \int_{|z|=1} dz = 2\pi \int_{|z|=1} |h(z)|^2 dz,
\]
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $h$ là hằng số trên $\{|z| =1\}$.

Do đó ta có
\[
2\pi M = \left(\left(\int_{|z|=1} g(z) dz\right)^2 + \left(\int_{|z|=1} h(z) dz\right)^2\right)^{\frac 12} \leq \left(2\pi \int_{|z|=1} (g(z)^2 + h(z)^2) dz\right)^{\frac 12} \leq 2\pi M.
\]
Điều này chỉ ra rằng $g(z)^2 + h(z)^2 = M^2$ với mọi $|z| =1$, và đằng thức xảy ra trong bất đẳng thức Cauchy-Schwartz cho $g$ và $h$ tức là $g,h$ là hàm hằng trên $\{|z| =1\}$. Tóm lại, ta thu được $g(z) =a$ và $h(z) =b$ với $a,b$ là các hằng số thực sao cho $a^2 + b^2 = M^2$ hay là $f(z) = M e^{i \theta}$ với $\theta$ là số thực nào đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Anh cho em hỏi, nếu hàm $f$ của anh là hàm hằng thì nó giải tích trên toàn mặt phẳng phức nên tích phân trên đường cong kín nó phải bằng $0$ chứ ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Ở đây chỉ cần xác định $f$ trên đường tròn đơn vị thôi mà bạn.

Vậy câu "Mình chỉ tìm ra được ..." chỉ có nghĩa là "mình thấy có vẻ hàm f là..." chứ không mang một nghĩa khác?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Anh cho em hỏi, nếu hàm $f$ của anh là hàm hằng thì nó giải tích trên toàn mặt phẳng phức nên tích phân trên đường cong kín nó phải bằng $0$ chứ ạ

mình nhầm $dz$ là độ đo độ dài trên hình tròn. Chứng minh lại cũng tương tự như vậy. $f(z) = g(z) + i h(z)$, khi đó
$$ \int f(z) dz = i \int_0^{2\pi} f(e^{it}) e^{it} dt = \int_0^{2\pi} (g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t) dt + i \int_0^{2\pi} (g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t) dt.
$$
Sử dụng Cauchy-Schwartz
$$\left(\int_0^{2\pi} (g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t) dt\right)^2 \leq 2\pi \int_0^{2\pi} (g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t)^2 dt,$$
với đẳng thức đúng khi và chỉ khi $g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t$ là hàm hằng, và
$$\left(\int_0^{2\pi} (g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t) dt\right)^2\leq 2\pi \int_0^{2\pi} (g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t)^2 dt,
$$
với đẳng thức khi và chỉ khi $g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t$ là hàm hằng. Cộng hai bdt lại suy ra
$$\left|\int f(z) dz\right|^2 \leq 2\pi \int_0^{2\pi} (g(e^{it})^2 + h(e^{it})^2) dt \leq 4\pi^2 M^2.
$$
Từ giả thiết suy ra $g^2 + h^2 = M^2$ và có đẳng thức trong bdt Caychy-Schwartz ở trên. Do đó tồn tại hằng số $a, b$ sao cho
$$ g(e^{it})\cos t - h(e^{it}) \sin t = a,\quad \text{và} \quad g(e^{it})\sin t + h(e^{it})\cos t = b.$$
Từ $g^2 + h^2 = M^2$ suy ra $a^2 + b^2 =M^2$. Hai phương trình trên suy ra
$$g(e^{it}) = a\cos t+ b\sin t,\quad \text{và}\quad h(e^{it}) = -a\sin t + b\cos t,$$
do đó $f(e^{it}) = (a+ ib) e^{-it}$, tức là $f(z) = c \overline{z}$, với $c$ là hằng số, $|c| =M$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]