Bất Đẳng Thức AM - GM

[mcprolatui]

1) Cho a,b,c > 0 thỏa a + b + c = $\frac{3}{4} $. CMR: $\sqrt[3]{a + 3b} $ + $\sqrt[3]{b + 3c} $ + $\sqrt[3]{c + 3a} $ $\leq 3 $

2) Cho x,y,z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. CMR
$\sqrt{3 + 4^{x}} + \sqrt{3 + 4^{y}} + \sqrt{3 + 4^{z}} \geq 6 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[soros_fighter]

Nguyên văn bởi mcprolatui

1) Cho a,b,c > 0 thỏa a + b + c = $\frac{3}{4} $. CMR: $\sqrt[3]{a + 3b} $ + $\sqrt[3]{b + 3c} $ + $\sqrt[3]{c + 3a} $ $\leq 3 $

Ta có:$\left (a+3b \right )+1+1\geq 3\sqrt[3]{a+3b} $
$\left (b+3c \right )+1+1\geq 3\sqrt[3]{b+3c} $
$\left (c+3a \right )+1+1\geq 3\sqrt[3]{c+3a} $
Cộng vế theo vế ta có dpcm
------------------------------

Nguyên văn bởi mcprolatui

2) Cho x,y,z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. CMR
$\sqrt{3 + 4^{x}} + \sqrt{3 + 4^{y}} + \sqrt{3 + 4^{z}} \geq 6 $

$3 + 4^{x}=1+1+1+4^x\geq 4\sqrt[4]{4^x}\Rightarrow \sqrt{3 + 4^{x}}\geq 2\sqrt{2^x} $
Tương tự $\sqrt{3 + 4^{y}}\geq 2\sqrt{2^y} $
$\sqrt{3 + 4^{z}}\geq 2\sqrt{2^z} $
Cộng vế theo vế ta có:
$VT\geq 2\left ( \sqrt[4]{2^x}+\sqrt[4]{2^y}+\sqrt[4]{2^z} \right )\geq 6\sqrt[12]{2^{x+y+z}}=6 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mcprolatui]

1) Cho $x,y,z > 0 $ thỏa $xy + yz + xz = 1 . CMR $ $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^{2} + 1}} \leq \frac{3}{2} $

2) Cho $x,y,z > 0 $ CMR $(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2 + \frac{2(x + y + z)}{\sqrt[3]{xyz}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[qx1234]

Nguyên văn bởi mcprolatui

1) Cho $x,y,z > 0 $ thỏa $xy + yz + xz = 1 . CMR $ $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^{2} + 1}} \leq \frac{3}{2} $

1
Ta có
$x^2 +1 = x^2 +xy+yz+xz = (x+y)(y+z) $

$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \le \frac{x}{2} ( \frac{1}{x+y} +\frac{1}{x+z}) $
Tương tự ta có
$\frac{y}{\sqrt{y^2+1}} \le \frac{y}{2} ( \frac{1}{x+y} +\frac{1}{y+z}) $
và
$\frac{z}{\sqrt{z^2+1}} \le \frac{z}{2} ( \frac{1}{z+y} +\frac{1}{x+z}) $
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được điều phải chứng minh

2) Cho $x,y,z > 0 $ CMR $(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2 + \frac{2(x + y + z)}{\sqrt[3]{xyz}} $

2.
Nhân bung vế trái ra và quy đồng ta có
ĐPCM $\Leftrightarrow xy(x+y) +yz(y+z) + zx(z+x) \ge 2 (x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2} $
Ta có
$VT = (x+y+z)(xy+yz+zx)- 3xyz \ge 3(x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2} -3xyz =2 (x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2} + (x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2}-3xyz \ge VP $
Vậy đpcm đúng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[soros_fighter]

Nguyên văn bởi mcprolatui

2) Cho $x,y,z > 0 $ CMR $(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2 + \frac{2(x + y + z)}{\sqrt[3]{xyz}}(1) $

Cách khác:
$(1)\Leftrightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{z} + \frac{z}{y} + \frac{y}{x} \geq \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}} $
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số:
$\frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\geq \frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}} $
$\frac{y}{y}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}\geq \frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}} $
$\frac{z}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}\geq \frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}} $
Cộng vế theo vế ta có:
$VT+3\geq VP+\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq VP+3\Rightarrow VT\geq VP $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]