|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
06-11-2012, 12:24 PM | #16 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Trích:
Đặt $x+y=a$ với $a\geq 2$.Khi đó $xy=\frac{3a}{4}$. Suy ra x,y là nghiệm của phương trình: $t^2-at+\frac{3a}{4}=0$ Xét $\Delta =a^2-3a\geq 0\Rightarrow a\geq 3$ vì $a \geq 2$ Vì $x,y\geq 1$ nên $(x-1)(y-1)\geq 0$ hay$xy-(x+y)+1\geq 0$ suy ra $a\leq 4$ Vậy $3\leq a\leq 4 $ Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{3}$ Suy ra $P=(x+y)^3-3xy(x+y)+3\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )-\frac{6}{xy}$ $=a^3-\frac{9}{4}a^2-\frac{8}{a}+\frac{16}{3}$ Xét hàm số$f(a)=a^3-\frac{9}{4}a^2-\frac{8}{a}+\frac{16}{3}$ với $a\in \left [ 3;4 \right ]$ Ta có $f'(a)=3a^2-\frac{9}{2}a+\frac{8}{a^2}$ trên đoạn $a\in \left [ 3;4 \right ]$ rõ ràng $f'(a)>0$ vậy $f(a)$ đồng biến vậy ta có: $MinP=\frac{113}{12}$ khi $x=y=\frac{3}{2}$ $MaxP=\frac{94}{3}$ khi $x=1,y=3$ hoặc $x=3,y=1$ Nhận xét:Ngoài cách đặt đưa về hàm có ẩn là tích như trên vẫn có 1 cách làm đưa về hàm có ẩn là tổng,các bạn thử kiểm chứng nhé! __________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 06-11-2012 lúc 12:28 PM | |
The Following 5 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: | alentist (11-11-2012), congvan (16-11-2012), hotraitim (08-11-2012), nanonanato (06-11-2012), tops2liz (13-03-2013) |
06-11-2012, 05:15 PM | #17 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp Bài gởi: 373 Thanks: 174 Thanked 92 Times in 69 Posts | Bài 6: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của $$P=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$ __________________ |
06-11-2012, 10:14 PM | #18 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 39 Thanks: 31 Thanked 6 Times in 4 Posts | Trích:
Thế cho nên $2P = (x + y + z)(3 - (x+y+z)^2) = t(3-t^2) $ với $t = x+y+z $. Ngoài ra từ giả thiết ta có: $t^2 \le 3(x^2+y^2+z^2) = 3 $ | |
The Following 3 Users Say Thank You to dongoc_nam For This Useful Post: |
06-11-2012, 11:24 PM | #19 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Cao Lãnh Bài gởi: 149 Thanks: 58 Thanked 76 Times in 36 Posts | Bài 7: Cho $x,y,z\in \left[ -1;1 \right] $ và thỏa mãn$xy+yz+zx=0 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P={{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-2z $ __________________ Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu thay đổi nội dung bởi: trungthu10t, 06-11-2012 lúc 11:29 PM |
The Following User Says Thank You to trungthu10t For This Useful Post: | NguyenThanhThi (07-11-2012) |
08-11-2012, 12:23 PM | #20 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Cao Lãnh Bài gởi: 149 Thanks: 58 Thanked 76 Times in 36 Posts | Trích:
$\bullet$ Với $y=z=0\Rightarrow P=4x$ Vậy với $x\in [-1;1] \Rightarrow P\ge P(-1)=-4$ $\bullet$ Với $y,z\ne 0$ Từ điều kiện $xy+yz+zx=0\Rightarrow x=\dfrac{-yz}{y+z}$ Thế vào $P$ ta được : $$P=y^2+z^2-2y-2z-\dfrac{4yz}{y+z}$$Ta có : $$P'(y)=2y-2-\dfrac{4z^2}{(y+z)^2}<0\qquad \forall x,y,z \in [-1;1]$$Vậy hàm số $P=y^2+z^2-2y-2z-\dfrac{4yz}{y+z}$ nghịch biến trên đoạn $[-1;1]$ Do đó $P(y)\ge P(1)=z^2-2z-1-\dfrac{4z}{1+z}=g(z)$ $\bullet $ Tương tự ta xét hàm số : $g(z)=z^2-2z-1-\dfrac{4z}{1+z} $ Có : $g'(z)=2z-2-\dfrac{4z^2}{(1+z)^2}<0\qquad \forall x,y,z \in [-1;1]$ Do đó : $g(z)$ là hàm số nghịch biến trên $[-1;1] $Vậy $g(z)\ge g(1)=-4$ Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $P=-4$ đạt được khi $\begin{cases} y=z=1\\ x=-\dfrac{1}{2} \end{cases} $ hoặc $\begin{cases} y=z=0 \\ x=-1\end{cases}\blacksquare$ __________________ Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu | |
The Following 5 Users Say Thank You to trungthu10t For This Useful Post: | alentist (11-11-2012), congvan (16-11-2012), hosyhaiql (27-11-2012), hotraitim (08-11-2012), NguyenThanhThi (08-11-2012) |
08-11-2012, 02:48 PM | #21 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Bài trên là một bài toán rất hay cảm ơn anh trungthu10t và sau đây chúng ta hãy về với một bài toán nhẹ hơn .Bài 8: Cho hai số thực dương x,y thoả mãn $xy(x+y)=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=xy+2(x^3+y^3)-(x+y)^2$$ __________________ |
08-11-2012, 08:50 PM | #22 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Cao Lãnh Bài gởi: 149 Thanks: 58 Thanked 76 Times in 36 Posts | Bài 9: Cho ba số thực $a,\,b,\,c $ thỏa mãn$ \begin{cases}0\leq a\leq b\leq c\\a^2+b^2+c^2=3\end{cases}. $ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A$=5a-4abc $ __________________ Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu |
The Following 2 Users Say Thank You to trungthu10t For This Useful Post: | alentist (12-11-2012), NguyenThanhThi (08-11-2012) |
12-11-2012, 10:34 AM | #23 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2012 Bài gởi: 40 Thanks: 23 Thanked 1 Time in 1 Post | Trích:
Đặt $t=x+y$. Ta có $xy=\dfrac{2}{t}$ và $t\ge 2$. Khi đó $$P=f(t)=2t^3-t^2+\dfrac{2}{t}-12$$ Khảo sát hàm $f(t)$ với $t\ge 2$ ta được $f(t)\ge 1$ dấu đẳng thức khi $t=2$. Vậy GTNN của $P$ là $1$ khi $x=y=1$. | |
12-11-2012, 04:04 PM | #24 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Heaven Bài gởi: 579 Thanks: 10 Thanked 513 Times in 283 Posts | Trích:
thay đổi nội dung bởi: novae, 12-11-2012 lúc 04:45 PM | |
The Following User Says Thank You to Snow Bell For This Useful Post: | NguyenThanhThi (12-11-2012) |
12-11-2012, 05:13 PM | #25 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Trích:
Ta đi tìm 1 biểu thức $f(a)$ sao cho $bc \ge f(a)$, rồi đưa bài toán về khảo sát hàm một biến theo $a$. Cho $a=b$, có được $$2b^2+c^2=3 \Rightarrow c=\sqrt{3-2b^2}\Rightarrow bc=b\sqrt{3-2b^2}=a\sqrt{3-2a^2}$$ Với điều kiện $0 \le a \le b \le c$, dễ thấy bất đẳng thức $bc \geq a\sqrt{3-2a^2}$ luôn đúng. Khảo sát hàm số $P(a)=5a-4a^2 \sqrt{3-2a^2}$ trên $[0,1]$ được $\max P(a)=1 $ tại $a=1$. Vậy GTLN của $P=1$ khi $a=b=c=1$. __________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 12-11-2012 lúc 08:20 PM | |
The Following User Says Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: | nanonanato (16-11-2012) |
14-11-2012, 08:36 PM | #26 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp Bài gởi: 373 Thanks: 174 Thanked 92 Times in 69 Posts | Bài 10: Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$A={x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}-2x(x-y)(x-z)$$ __________________ |
14-11-2012, 10:58 PM | #27 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Cao Lãnh Bài gởi: 149 Thanks: 58 Thanked 76 Times in 36 Posts | Trích:
$A={x+y+z}^{3}-6(x+y)(x+z)(z+y)-2x(x-y)(x-z)$ $= 27-6(x+y)(x+z)(z+y)-2x(x-y)(x-z)$ Bài toán quy về tìm $Min;Max$ của biểu thức $P=6(x+y)(x+z)(z+y)+2x(x-y)(x-z)$ Ta dễ dáng thấy $ 6(x+y)(x+z)(z+y)\geq 2x(y-x)(x-z)$ Do đó $P\geq0\Rightarrow MaxA=27$ khi $ x=y=0;z=3$ Về tim giá trị nhỏ nhất ,ta dự đoán $y=z$,từ đó ta làm như sau: $P=6(x+y)(x+z)(z+y)+2x(x-y)(x-z)\leq 6{(\frac{2x+y+z}{2})}^{2}+2x{(\frac{2x-y-z}{2})}^{2}=3x^3-\frac{27}{2}x^2+18x+\frac{57}{2}$ Tới đây ta KSHS với $x\in \left [ 0;3 \right ]$ Ta tìm được GTNN của $P=-27[/TEX] khi [TEX]x=3;y=z=0$ ------------------------------ Bài 11: Cho các số thực không âm $$a,\,b,\,c$$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $$c>0$$ và $$a^3+b^3=c(c-1).$$Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\displaystyle P=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}.$$ __________________ Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 12-05-2015 lúc 03:33 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
The Following 3 Users Say Thank You to trungthu10t For This Useful Post: |
15-11-2012, 11:54 AM | #28 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Bài 11: Ta có $P=1-\frac{2(ab+bc+ca)}{\left ( a+b+c \right )^2}\leq 1$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=0,c=1$ ------------------------------ Ta lại có $\frac{2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}=\frac{2(a+b)c}{(a+b +c)^2}+\frac{2ab}{(a+b+c)^2}\leq \frac{1}{2}+\frac{(a+b)^2}{2(a+b+c)^2}$ Mà $\frac{(a+b)^3}{4}\leq a^3+b^3=c(c-1)$ suy ra $\left ( \frac{a+b}{c} \right )^{3}\leq 4\left ( \frac{c-1}{c^2} \right )\leq 1$ Vậy $a+b\leq c$ Từ đó $\frac{2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \leq \frac{1}{2}+\frac{(a+b)^2}{2(a+b+a+b)^2} \leq \frac{5}{8}$ Vậy $P \geq \frac{3}{8} $ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1,c=2$ __________________ |
The Following 3 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: |
15-11-2012, 01:44 PM | #29 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Lỗ đen của vũ trụ Bài gởi: 52 Thanks: 19 Thanked 9 Times in 8 Posts | Baì 12: Cho $x,y,z>0 $ thỏa mãn $2x+4y+7z=2xyz $ Chứng minh $x+y+z\geq \frac{15}{2} $ thay đổi nội dung bởi: xiloxila, 15-11-2012 lúc 01:48 PM |
15-11-2012, 02:08 PM | #30 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2012 Bài gởi: 14 Thanks: 37 Thanked 7 Times in 6 Posts | Bài 6 :Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn : $a+b+c=0$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Chứng minh rằng ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\le \frac{1}{54}$. Mới tham gia !!! ------------------------------ Xin lỗi là bài 13 thay đổi nội dung bởi: congvan, 15-11-2012 lúc 02:10 PM Lý do: Tự động gộp bài |
Bookmarks |
|
|