Một số kiến thức về hình trong các cuộc thi Olympic Toán !

chu t tung · 17-08-2008, 05:42 PM

I.23) Định lí Thébault
Định lí: Cho tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn $(O) $. $D $ là một điểm nằm trên cạnh $BC $. Đường tròn tâm $P $ tiếp xúc với 2 đoạn $AD,DC $ và tiếp xúc trong với $(O) $. Đường tròn tâm $Q $ tiếp xúc với 2 đoạn $AD,DB $ và tiếp xúc trong với $(O) $. Gọi $I $ là tâm nội tiếp tam giác $ABC $. Ta có: $P,I,Q $ thẳng hàng.
Chứng minh

Gọi $G,H $ lần lượt là tiếp điểm của $(Q) $ với $DB,AD $. Gọi $I $ là giao điểm của $EF $ và $GH $. Theo định lí lyness mở rộng(đã có trong bài của trung anh), $I $ là tâm nội tiếp tam giác $ABC $. Vậy ta chỉ cần chứng minh $P,I,Q $ thẳng hàng. Thật vậy, gọi $X,Y $ lần lượt là giao điểm của $GH $ và $DQ $; $EF $ và $DP $. Áp dụng định lí Thales ta có: $\frac{IX}{PD}=\frac{YD}{PD}=\frac{QX}{QD} $. Vậy , $P,I,Q $ thẳng hàng(dpcm)

BMW · 26-12-2010, 12:36 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chu t tung

I.23) Định lí Thébault
Định lí: Cho tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn $(O) $. $D $ là một điểm nằm trên cạnh $BC $. Đường tròn tâm $P $ tiếp xúc với 2 đoạn $AD,DC $ và tiếp xúc trong với $(O) $. Đường tròn tâm $Q $ tiếp xúc với 2 đoạn $AD,DB $ và tiếp xúc trong với $(O) $. Gọi $I $ là tâm nội tiếp tam giác $ABC $. Ta có: $P,I,Q $ thẳng hàng.
Chứng minh

Gọi $G,H $ lần lượt là tiếp điểm của $(Q) $ với $DB,AD $. Gọi $I $ là giao điểm của $EF $ và $GH $. Theo định lí lyness mở rộng(đã có trong bài của trung anh), $I $ là tâm nội tiếp tam giác $ABC $. Vậy ta chỉ cần chứng minh $P,I,Q $ thẳng hàng. Thật vậy, gọi $X,Y $ lần lượt là giao điểm của $GH $ và $DQ $; $EF $ và $DP $. Áp dụng định lí Thales ta có: $\frac{IX}{PD}=\frac{YD}{PD}=\frac{QX}{QD} $. Vậy , $P,I,Q $ thẳng hàng(dpcm)

------------------------------

Chứng minh:$ \frac{IQ}{IP}=tan^{2}\frac{\widehat{ADC}}{2} $

avip · 26-12-2010, 11:14 AM

Trích:

Nguyên văn bởi BMW

------------------------------

Chứng minh:$ \frac{IQ}{IP}=tan^{2}\frac{\widehat{ADC}}{2} $

Phải là $\frac{IQ}{IP}=cot^{2}\frac{\widehat{ADC}}{2} $ mới đúng.
Ta có: $\frac{IQ}{IP} = \frac{YD}{YP} = \frac{YD/YE}{YP/YE} = \frac{\cot{\frac{ADC}{2}}}{\tan{\frac{ADC}{2}}} = \cot^2{\frac{ADC}{2}} $.

17-08-2008, 05:42 PM	#1
chu t tung +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2008 Bài gởi: 79 Thanks: 10 Thanked 27 Times in 15 Posts	I.23) Định lí Thébault Định lí: Cho tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn $(O) $. $D $ là một điểm nằm trên cạnh $BC $. Đường tròn tâm $P $ tiếp xúc với 2 đoạn $AD,DC $ và tiếp xúc trong với $(O) $. Đường tròn tâm $Q $ tiếp xúc với 2 đoạn $AD,DB $ và tiếp xúc trong với $(O) $. Gọi $I $ là tâm nội tiếp tam giác $ABC $. Ta có: $P,I,Q $ thẳng hàng. Chứng minh Gọi $G,H $ lần lượt là tiếp điểm của $(Q) $ với $DB,AD $. Gọi $I $ là giao điểm của $EF $ và $GH $. Theo định lí lyness mở rộng(đã có trong bài của trung anh), $I $ là tâm nội tiếp tam giác $ABC $. Vậy ta chỉ cần chứng minh $P,I,Q $ thẳng hàng. Thật vậy, gọi $X,Y $ lần lượt là giao điểm của $GH $ và $DQ $; $EF $ và $DP $. Áp dụng định lí Thales ta có: $\frac{IX}{PD}=\frac{YD}{PD}=\frac{QX}{QD} $. Vậy , $P,I,Q $ thẳng hàng(dpcm) __________________ :facebowling: *Tình yêu như chiếc đồng hồ cát, khi trái tim được lấp đầy thì cái đầu trống rỗng.* --------------------------------------------------- The most important thing in this world is FAMILY. It means Father And Mother, I Love You ..... thay đổi nội dung bởi: ma 29, 21-08-2008 lúc 11:15 AM