|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
19-07-2011, 10:45 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Những bài toán được giải bằng nhiều cách Chào các bạn, tôi lập topic này với để đưa những bài toán lên để cùng mọi người tìm những cách giải khác cho những bài toán đó. Nên nếu bạn nào muốn đóng góp cho topic này thì khi post bài vô đây các bạn nhớ ghi rõ lời giải hoặc ít nhất cũng có đáp số cho bài toán đó. Bây giờ tôi xin khởi động topic này với một bài hệ kèm cách giải và mong các bạn đóng góp thêm nhiều cách giải nữa cho bài toán này. $\[\left\{ \begin{align} & 1+{{x}^{3}}{{y}^{3}}=19{{x}^{3}} \\ & y+x{{y}^{2}}=-6{{x}^{2}} \\ \end{align} \right.\] $ ta biến đổi hệ trên như sau : $\[\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{1}{{{x}^{3}}}+{{y}^{3}}=19 \\ & \frac{y}{{{x}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{x}=-6 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{1}{{{x}^{3}}}+{{y}^{3}}=19 \\ & \frac{y}{x}\left( \frac{1}{x}+y \right)=-6 \\ \end{align} \right.\] $ và ta có $\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=19 \\ & ab\left( a+b \right)=-6 \\ \end{align} \right.\] $ với $\[\left\{ \begin{align} & a=\frac{1}{x} \\ & b=y \\ \end{align} \right.\] $ đến đây thì ổn rồi đáp số là $\[\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{3};-2 \right);\left( \frac{-1}{2};3 \right)\] $ sau đây là cách số 2: $\[\left\{ \begin{align} & 1+{{x}^{3}}{{y}^{3}}=19{{x}^{3}} \\ & y+x{{y}^{2}}=-6{{x}^{2}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 1+{{x}^{3}}{{y}^{3}}=19{{x}^{3}} \\ & xy+{{x}^{2}}{{y}^{2}}=-6{{x}^{3}} \\ \end{align} \right.\] $ sau đó ta nhân pt trên với 6+với pt (2) nhân với 19, ta sẽ được một phương trình theo ẩn t=xy, đến đây thì cũng ổn rồi. Đây là hai cách giải tôi thu thập được, mong các bạn giúp tôi tìm thêm vài cách giải nữa. thay đổi nội dung bởi: phaituankhan19, 19-07-2011 lúc 11:27 PM |
The Following 4 Users Say Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | huynhcongbang (20-07-2011), je.triste (13-08-2011), metoan.98 (14-08-2011), sinhvientoan (18-08-2011) |
20-07-2011, 12:25 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Bài hệ số 2: $\[\left\{ \begin{align} & 2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y} \\ & \sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2 \\ \end{align} \right.\] $ Đáp số là $\left( {x;y} \right)\left( {12; - 2} \right)\left( {{8 \over 3};{4 \over 9}} \right) $ thay đổi nội dung bởi: phaituankhan19, 20-07-2011 lúc 12:41 AM |
The Following 2 Users Say Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | metoan.98 (14-08-2011), sinhvientoan (18-08-2011) |
20-07-2011, 01:12 AM | #3 |
Administrator | Theo mình thì việc tìm nhiều lời giải cho các bài toán thế này rất có ích, không những giúp chúng ta khai thác bài toán sâu hơn mà còn liên kết được nhiều phương pháp vào cùng một vấn đề và từ đó sử dụng chúng thuần thục hơn. Việc tìm thêm các lời giải còn giúp cho mọi người có thể so sánh, đối chiếu ưu điểm, nhược điểm của từng cách để từ đó rút kinh nghiệm. Mình đã học thêm được rất nhiều điều từ việc này và mình không nghĩ rằng nó không có giá trị như bạn aloalo1230 nhận xét đâu. Dưới đây mình xin ủng hộ một lời giải khác (nói chung cũng xoay quanh việc biến đổi biểu thức) cho bài 1 và lời giải cho bài 2 (hình như đây là đề thi thử ĐH của ĐHSP năm rồi). |
The Following 5 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | dung_toan78 (01-08-2011), ghetvan (20-07-2011), Huy_92 (20-07-2011), metoan.98 (14-08-2011), phaituankhan19 (20-07-2011) |
20-07-2011, 10:18 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Tôi xin đưa lên một cách giải nữa cho bài số 2;(Cảm ơn bạn huynhcongbang đã gửi cách giải đầu tiên cho bài này.Mong nhận được thêm nhiều cách giải nữa của bạn) Từ phương trình đầu ta có : $\[\sqrt{x-2y}=\frac{x}{y}-6y-2\] $ thay vào phương trình số 2 và bình phương hai vế ta có: $\[{{\left( \frac{x}{y}-2-6y+x \right)}^{2}}={{(x+3y-2)}^{2}}\] $; Sau đó thu gọn ta có : $\[\Leftrightarrow \left( 1+2y \right){{x}^{2}}+\left( -12{{y}^{2}}-4y-18{{y}^{3}} \right)x+36{{y}^{3}}+27{{y}^{4}}=0\] $ Phân tích thành nhân tử ta có : $\[\Leftrightarrow \left( 1+2y \right)\left( x-9{{y}^{2}} \right)\left( x-\frac{y\left( 3y+4 \right)}{1+2y} \right)=0\] $ Đến đây là được rồi. Tôi chỉ nêu thêm cách giải này để góp vui. Mong nhận được thêm nhiều cách giải nữa của các ban. |
The Following 2 Users Say Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | metoan.98 (14-08-2011), sinhvientoan (18-08-2011) |
20-07-2011, 08:04 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Bài hệ số 3: $\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+y\sqrt{xy}=420 \\ & {{y}^{2}}+x\sqrt{xy}=280 \\ \end{align} \right.\] $ đáp số là $ $$\left( {x;y} \right) = \left( {18;8} \right)$$ $ |
The Following 2 Users Say Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | metoan.98 (14-08-2011), sinhvientoan (18-08-2011) |
20-07-2011, 09:07 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2009 Bài gởi: 13 Thanks: 7 Thanked 8 Times in 6 Posts | Trích:
Nhân 2 vế của hệ với nhau ta được : $ 420(x^2+y\sqrt{xy})=280(y^2+x\sqrt{xy}) (1) $ do $ xy >0 $ , đăt $ x=t^2y $ Xét $ y >0 $ (1) được biến đổi thành : $ 420(t^4+t)=280(1+t^3) $ Xét $ y <0 $ (1) được biến đổi về thành : $ 420(t^4-t)=280(1-t^3) $ Giải 2 cái này ra là ngon , ( Nghiệm đẹp ) | |
The Following 3 Users Say Thank You to LamMap17 For This Useful Post: |
21-07-2011, 12:58 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Bài 4: $\[\left\{ \begin{gathered} \sqrt {5{y^4} - {x^4}} - 6\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 2xy = 0 \hfill \\ \frac{1}{2}{\left( {5{y^2} + {x^2}} \right)^2} - 18 = \sqrt {xy} \left( {6 - 5{y^2} - {x^2}} \right) \hfill \\ - 1 \leqslant x \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $ Đáp số là $\[\left[ \begin{gathered} x = y = 1 \hfill \\ x = y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $ |
The Following 2 Users Say Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | metoan.98 (14-08-2011), sinhvientoan (18-08-2011) |
22-07-2011, 08:07 AM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Xét phương trình 2 đặt $5{y}^{2}+{x}^{2}=a $ ${a}^{2}-36=2\sqrt{xy}(6-a) $ $\Leftrightarrow (a-6)(a+6)=-2\sqrt{xy}(a-6) $ $\Leftrightarrow (a-6)(a+6+2\sqrt{xy})=0 $ Với $a=5{y}^{2}+{x}^{2}=6 $ (3), thế vào (1). ta có: $\sqrt{5{y}^{4}-{x}^{4}} +{(\sqrt{5{y}^{4}-{x}^{4}})}^{2}=2xy+{(2xy)}^{2} $ Dẫn đến $\sqrt{5{y}^{4}-{x}^{4}}=2xy $, hoặc $\sqrt{5{y}^{4}-{x}^{4}}+2xy=-1 $ Bình phương 2 vế ta tiếp tục có: $5{y}^{4}-{x}^{4}-4{x}^{2}.{y}^{2}=0(4)(xy\geq 0) $ Lấy 3 thế vào (4) $\rightarrow y=1\rightarrow x=1 $ $\rightarrow y=-1\rightarrow x=-1 $ Với $a+6+2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 5{y}^{2}+{x}^{2}+2\sqrt{xy}=-6 $ vô nghiệm vì vế trái dương, vế phải âm. |
The Following 3 Users Say Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: |
26-07-2011, 12:39 AM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Bài 5 : Cho ba số $a,b.c $ thỏa mãn $a,b,c>0 $ và $a+b+c>0 $. Hãy tìm min của biểu thức sau: $\[A=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+16{{c}^{3}}}{\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)}\] $ Đáp số : Min xảy ra tại $\[\left( a;b;c \right)=\left( 3;3;0 \right)\] $ |
The Following 2 Users Say Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | metoan.98 (14-08-2011), sinhvientoan (18-08-2011) |
27-07-2011, 09:54 AM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Bài 6: $\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{6}}-{{y}^{3}}+{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}-30=28y \\ & \sqrt{2x+3}+x=y \\ \end{align} \right.\] $ Đáp số là : $\[\left( x;y \right)=\left( 3;6 \right);\left( x;y \right)=\left( -\sqrt{2};-1 \right)\] $ ------------------------------ Bài 7 : Câu hệ KA 2011: $\[\left\{ \begin{align} & 5{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4x{{y}^{2}}+3{{y}^{3}}-2\left( x+y \right)=0 \\ & xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2={{\left( x+y \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.\] $ Xét $y=0 $ không phải là nghiệm nên chia phương trình đầu cho $y^3 $ và phương trình còn lại cho $y^4 $ ta có $\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{5{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-4\frac{x}{y}+3=2\left( \frac{x}{{{y}^{3}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right) \\ & \frac{{{x}^{3}}}{{{y}^{3}}}+\frac{x}{y}+\frac{2}{{ {y}^{4}}}=\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}+2\frac{x}{{{ y}^{3}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \\ \end{align} \right.\] $ Đặt ; $\[\left\{ \begin{align} & a=\frac{x}{y} \\ & b=\frac{1}{{{y}^{2}}} \\ \end{align} \right.\] $ thay vào hệ trên ta có : $\[\left\{ \begin{align} & 5{{a}^{2}}-4a+3=2\left( ab+b \right) \\ & {{a}^{3}}+a+2{{b}^{2}}={{a}^{2}}b+2ab+b \\ \end{align} \right.\] $ Từ phương trình đầu ta có : $\[\Rightarrow b=\frac{5{{a}^{2}}-4a+3}{2\left( a+1 \right)}\] $ thay vào phương trình còn lại và rút gọn ta có : $\[\frac{-3{{a}^{5}}+18{{a}^{4}}-42{{a}^{3}}+48{{a}^{2}}-27a+6}{2{{\left( a+1 \right)}^{2}}}=0\] $ phân tích thành nhân tử ta có : $\[\Leftrightarrow \frac{3}{2}\frac{\left( a-2 \right){{\left( a-1 \right)}^{4}}}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}=0\] $ Vậy ta có : $\[\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=2\Rightarrow b=\frac{5}{2} \\ & a=1\Rightarrow b=1 \\ \end{align} \right.\] $ Và ta có hai hệ sau : $\[\left\{ \begin{align} & \frac{x}{y}=2 \\ & \frac{1}{{{y}^{2}}}=\frac{5}{2} \\ \end{align} \right.\forall \left\{ \begin{align} & \frac{x}{y}=1 \\ & \frac{1}{{{y}^{2}}}=1 \\ \end{align} \right.\] $ Đây là hai hệ đơn giản rồi. thay đổi nội dung bởi: phaituankhan19, 27-07-2011 lúc 10:29 AM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following 2 Users Say Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | huynhcongbang (29-07-2011), sinhvientoan (18-08-2011) |
27-07-2011, 10:43 AM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Bài gởi: 59 Thanks: 17 Thanked 19 Times in 13 Posts | Trích:
$\Leftrightarrow x^6+x^2=(y+3)^3+ (y+3) $ Xét$ f(t)=t^3+t $;$ f'(t)=3t^2+1>0 $ với mọi t nên hàm đồng biến. Mà$ f(x^2)=f(y+3) $ nên$ x^2=y+3 $ Thay $y=x^2-3 $ vào pt (2). Ta đc pt ẩn x $x^2-x-3=\sqrt{2x+3} $ Đến đây có nhiều hướng giải, có thể đưa về pt bậc 4. Nhưng trong trường hợp ko có nghiệm đẹp thì có thể giải như sau: Đặt $\sqrt{2x+3}=t-1 $ Ta đưa đc về hpt $\[\left\{ \begin{align} & x^2-x-t-2=0 \\ & t^2-2t-2x-2=0 \\ \end{align} \right.\] $ Đến đây xem như xong. thay đổi nội dung bởi: Toan95cqb, 27-07-2011 lúc 10:45 AM | |
The Following 2 Users Say Thank You to Toan95cqb For This Useful Post: | phaituankhan19 (31-07-2011), sinhvientoan (18-08-2011) |
28-07-2011, 08:49 AM | #12 | |
+Thành Viên+ | Trích:
------------------------------ ặc. A-2011. dễ thấy được pt 2 là dạng đối xứng nên đặt S,P sau đó nhìn lên pt 1 có hiệu bậc là 1. => đưa về hệ đẳng cấp bằng cách thế 2 bởi 1 cái bậc nhất. A-2010 thì đây nè [Only registered and activated users can see links. ] [Only registered and activated users can see links. ] thay đổi nội dung bởi: vghy94, 28-07-2011 lúc 08:52 AM Lý do: Tự động gộp bài | |
The Following User Says Thank You to vghy94 For This Useful Post: | phaituankhan19 (28-07-2011) |
31-07-2011, 09:41 AM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Bài 8: Giải hệ phương trình sau : $\[\left\{ \begin{align} & {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=25 \\ & \left( {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}} \right)\left( {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}} \right)=1600 \\ \end{align} \right.\] $ Đáp số là $\[\left( x;y \right)=\left\{ \left( \frac{3}{5};\frac{-29}{5} \right),\left( \frac{17}{5};\frac{19}{5} \right),\left( -3;-1 \right),\left( 7;-1 \right) \right\}\] $ |
The Following User Says Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | sinhvientoan (18-08-2011) |
31-07-2011, 10:07 AM | #14 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Trích:
$\left( {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}} \right)\left( {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}} \right)=1600 $ Tương đương $\left( {{\left( (x-2)-3 \right)}^{2}}+{{\left( (y+1)+4 \right)}^{2}} \right)\left( {{\left(( x-2)+3 \right)}^{2}}+{{\left( (y+1)-4 \right)}^{2}} \right)=1600 $ Tương đương $[50-6(x-2)+8(y+1)[50+6(x-2)-8(y+1)]=1600 $ Đặt $t=6(x-2)-8(y+1) $ ta được pt: $(50-t)(50+t)=1600 $ hay $t^2=900 $. Done Câu này nghe có vẻ hơi ngạo mạn. | |
The Following User Says Thank You to batigoal For This Useful Post: | phaituankhan19 (31-07-2011) |
31-07-2011, 11:19 AM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Xin lỗi bạn batigoal, nhưng có lẽ bạn đã hiểu lầm về câu nói của tôi rồi, topic đây của tôi chỉ là tìm nhiều cách giải cho một bài toán nên tôi nói câu đó chỉ để nêu ý kiến của tôi là tìm những cách giải khác mà không quá cơ bắp, dài dòng thôi. Trình độ của tôi thực sự còn rất kém nên tôi vẫn còn phải học hỏi thêm rất nhiều điều từ các bạn, nên làm sao tôi dám ngạo mạn được. Mong các bạn đừng hiểu lầm về câu nói của tôi nhé. Hy vọng chuyện hiểu lầm này không làm ảnh hưởng đến sự nhiệt tình mà các bạn đã dành cho tôi. Thành thực nếu tôi nói có gì sai sót và xúc phạm ai đó thì xin bạn cứ xử phạt tôi theo nội quy của mathscope. |
The Following User Says Thank You to phaituankhan19 For This Useful Post: | Conan Edogawa (01-08-2011) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|