Japanese Mathematical Olympiad 2011

[kaka_math]

1. Cho tam giác $ABC $ nhọn có $H $ là trực tâm và $M $ là trung điểm của $BC $. Hạ $HP $ vuông góc với $AM $. Chứng minh rằng $AM.PM = BM^2 $.

2. Tìm tất cả bộ 5 số nguyên dương $(a, n, p, q, r) $ sao cho $a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1) $.

3. Hai người A và B cùng chơi một trò chơi. Đầu tiên, người A viết một dãy số nguyên không âm $a_1, a_2, ..., a_n $ lên bảng. Sau đó người A nói một số nguyên không âm bất kỳ thì người B thay một số hạng của dãy số bằng số mà người A đã nói. Quá trình này cứ lặp lại liên tục cho đến khi dãy số cuối cùng là dãy tăng theo nghĩa $a_i \leq a_j $ khi và chỉ khi $i \leq j $. Hỏi người B có kết thúc cuộc chơi hay không?

4. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa:
$f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - 2x^2 f(y) + f(y^2), \forall x, y \in \mathbb{R} $.

5. Cho 4 điểm trên mặt phẳng. Giả sử các tam giác có đỉnh là đỉnh của 4 điểm trên có cùng bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng các tam giác trên bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toantd1]

Bài 1: Gọi $I,N $ là giao của $AH, BH $ với $BC, AC $.
Tứ giác $HPMI $ nội tiếp $\Rightarrow AP.AM=AH.AI=AN.AC $
$\Rightarrow AM(AM-PM)=AN.AC $ hay $AM.AM-AN.AC=AM.PM $;
Cần chứng minh $AM.AM-AN.AC=BM.BM $;
Áp dụng công thức đường trung tuyến và công thức hình chiếu trong tích vô hướng 2 vector.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Bài phương trình hàm số 4, mình ra được 5 hàm là
1) $f(x)=0 $ $,\forall x\in \mathbb R $.
2) $f(x)=x^2 $ $,\forall x\in \mathbb R $.
3) $f(x)=-x^2 $ $,\forall x\in \mathbb R $.
4) $f(x)=x^2-1 $ $,\forall x\in \mathbb R $.
5) $f(x)=1-x^2 $ $,\forall x\in \mathbb R $.

Lời giải của mình không được ngắn gọn lắm. Mong nhận được ý kiến từ mọi người. Xin cám ơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Cái đề trên có ở [Only registered and activated users can see links. ] mà.Bài 4 ra 5 hàm hình như đúng rồi đấy.

Đề này T thấy có bài 1 và bài 2 dễ này.Bài 2 là hệ quả trực tiếp của định lý Zsigmondy hay cũng là hệ quả của 1 trường hợp đặc biệt của định lý trên khi b=1,cũng chính là IMO Shortlist 1991.Cách này ko hay cho lắm vì hơi dài.

$a^m-1,a^n-1 $ có cùng tập ước nguyên tố thì a+1 là lũy thừa của 2

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khaitang1234]

Nguyên văn bởi leviethai

Bài phương trình hàm số 4, mình ra được 5 hàm là
1) $f(x)=0 $ $,\forall x\in \mathbb R $.
2) $f(x)=x^2 $ $,\forall x\in \mathbb R $.
3) $f(x)=-x^2 $ $,\forall x\in \mathbb R $.
4) $f(x)=x^2-1 $ $,\forall x\in \mathbb R $.
5) $f(x)=1-x^2 $ $,\forall x\in \mathbb R $.

Lời giải của mình không được ngắn gọn lắm. Mong nhận được ý kiến từ mọi người. Xin cám ơn.

Không biết cách bạn thế nào, bạn cũng có thể tham khảo một lời giải ở đây.
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Bài 5: Bài gốc như sau:
Given 4 points on a plane. Suppose radii of 4 incircles of the triangles, which can be formed by any 3 points taken from the 4 points, are equal.
Prove that all of the triangles are congruent.

Đôi khi congruent có nghĩa là đồng dạng chứ không nhất thiết bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Bằng nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conga1qt]

Bài số, để ý là n chia hết cho p,q,r . Đặt$ n=klp => kl \leq 3 $ .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Em làm bài 1 cách khác, chắc đơn giản hơn.
K,I là hình chiếu của A,B trên BC,CA.
Ta có tứ giác HPMK nội tiếp nên $\overline{AP}.\overline{AM}=\overline{AH}. \overline{AK}=\overline{AI}.\overline{AC} $, suy ra PICM nội tiếp, $\angle MPC=\angle MIC=\angle ACB $.
Do đó $\Delta MPC\sim \Delta MCA $ nên $MP.MA=MC^{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]