Hướng tới kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2012

[bboy114crew]

Nguyên văn bởi kien10a1

Bài này được biến đổi ra từ USA TST 2009:

$\[ x^{3}(y^{2}+z^{2})^{2}+y^{3}(z^{2}+x^{2})^{2}+z^{3 }(x^{2}+y^{2})^{2}\geq xyz[xy(x+y)^{2}+yz(y+z)^{2}+zx(z+x)^{2}]. \] $(chuẩn hóa xyz=1 là có bài trên)
Đặt $x=1/a,y=1/b,z=1/c $
Bất đẳng thức trên tương đương: $\sum a^{2}(b+c)(a-b)(a-c)\ge 0. $, đúng theo Vornicu schur ( cách của anh Cẩn)

Ta có:
$ 9+\sum {x^{3}y^{3}} \ge \sum {xy} \sum{x} + \frac{(\sum{xy})^{2}}{\sum x} $
$\Leftrightarrow \frac{9}{xyz}+\sum\frac{1}{x^{3}} \ge \sum\frac{1}{x}\sum\frac{1}{xy} + \frac{(\sum\frac{1}{x})^{2}}{\sum x}$
Đặt $ \frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c $
Ta cần chứng minh:
$ 9abc+\sum a^{3} \ge \sum{ab}\sum{a} + \frac{(\sum a)^{2}abc}{\sum{ab}} $
$ \Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b-c)+(b-c)^{2}(b+c-a)+(c-a)^{2}(c+a-b) \ge \frac{abc}{\sum{ab}}((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}) $
Sử dụng S.O.S:
$ S_{a}=b+c-a-\frac{abc}{\sum{ab}},S_{b}=c+a-b-\frac{abc}{\sum{ab}},S_{c}=a+b-c-\frac{abc}{\sum{ab}} $
Không mất tính tổng quát ta giả sử :
$ a\ge b \ge c $
Khi đó ta có:
$ S_{a}+S_{b} > 0,S_{a}+S_{c} > 0,S_{c}+S_{b} > 0 $ and $ S_{b} \ge c-\frac{abc}{\sum{ab}} \ge 0 $
Ta có ĐPCM!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]