Đề đại học năm 2014

[tranhongviet]

Câu 9 KB:
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{ c}{2(a+b)} $
Đặt $\frac{a}{c}=x $ và $\frac{b}{c}=y $ (x,y không cùng bằng không)
Viết lại $P=\sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{y}{x+1}}+\frac{ 1}{2(x+y)} $
Ta sẽ chứng minh các đánh giá sau :
$\sqrt{\frac{x}{y+1}}\geq \frac{2x}{x+y+1} $(1)
$\sqrt{\frac{y}{x+1}}\geq \frac{2y}{x+y+1} $(2)
Ta có (1) tương đương với:$(x+y+1)^{2}\geq 4xy+4x <=> (-x+y+1)^{2}\geq 0 $ (luôn đúng )
Và $\sqrt{\frac{y}{x+1}}=\frac{y}{\sqrt{y(x+1)}}\geq \frac{2y}{x+y+1} $nên (2) đúng.
Vậy $P\geq \frac{2(x+y)}{x+y+1}+\frac{1}{x+y} $
Đặt $x+y=t $ (t>0)
Ta sẽ chứng minh $P\geq \frac{3}{2} $Chỉ cần chứng minh $\frac{2t}{t+1}+\frac{1}{2t}\geq \frac{3}{2} $ , nhưng nó tương đương với $(t-1)^{2}\geq 0 $.
Vậy min = 3/2 khi a hoặc b bằng không và 2 số còn lại bằng nhau.

Câu 9 KD:
Vì $1\leq x,y\leq 2 $
nên $(x-1)(x-2)\leq 0 $ và$(y-1)(y-2)\leq 0 $
tương đương với $x^{2}\leq 3x-2; y^{2}\leq 3y-2 $
Suy ra :$P=\frac{x+2y}{x^{2}+3y+5}+\frac{y+2x}{y^{2}+3x+5}+ \frac{1}{4(x+y-1)}\geq \frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4(x+y-1)} $
Bây giờ chỉ cần chứng minh $ \frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4(x+y-1)}\geq \frac{7}{8} $
(nhưng nó tương đương với $(t-3^{2})\geq 0 $ )
Vậy min = $7/8 $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[osp]

Câu hệ khối b:
\left\{\begin{matrix}
(1-y)\sqrt{x-y}+x=2+(x-y-1)\sqrt{y} (1) & & \\
2y^{2}-3x+6y+1=2\sqrt{x-2y}-\sqrt{4x-5y-3} (2)& &
\end{matrix}\right.
đk:$x \geq 2y \geq 0$
(1) tương đương
$(1-y)\sqrt{x-y}=(1-\sqrt{y})(1+y+\sqrt{y})+(1-\sqrt{y})-x(1-\sqrt{y})
\Leftrightarrow 1=y$ hoặc $(1+\sqrt{y})\sqrt{x-y}=1+y+\sqrt{y}+1-x (3)$
$(3)\Leftrightarrow (1+\sqrt{y})(\sqrt{x-y}-1)=-(\sqrt{x-y}+1)(\sqrt{x-y}-1) \Leftrightarrow x=y+1$
sau đó thay xuống (2) và giải tiếp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi CTK9

Hic, mình cùng rất nhiều thằng bạn chết dưới tay câu cuối. Mình thì thấy việc thay $1 = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{2}$ là gần như bắt buộc và rất mẹo mực. Mình muốn hỏi mọi người là liệu bài này có giải được khi giả thiết thay đổi, ví dụ như $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ hay $x + y + z = 3$?

Thường thì chỉ có những BĐT đối xứng mới "dám" thay đổi các giá trị như thế để tìm đánh giá tương tự thôi bạn. Đề bài này rõ ràng người ta đã tính toán sẵn trước các hệ số, điểm rơi, ... Nếu thay đổi điều kiện ban đầu thì điểm rơi chắc chắc sẽ thay đổi và không có lý do gì để nó là số đẹp, dễ tính được cả.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]