Chọn đội tuyển VMO Phú Thọ 2017

[babyteen9x]

Ngày 1.

Bài 1 (5,0 điểm). Giải hệ phương trình \[ \begin{cases}
{{(x+y)}^{2}}-1&=15{{z}^{2}} \\
x+2&=z(x+y) \\
y-z&=1 \\
\end{cases}\]
Bài 2 (5,0 điểm). Cho $n$ số thực dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}\,\,\,(n\ge 2).$ Gọi $a=\min \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right\}.$ Chứng minh $$\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}+\frac{{{a}_{2}}}{{{a }_{3}}}+\cdots +\frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{1}}}\le n+\frac{{{\left( {{a}_{1}}-a \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{2}}-a \right)}^{2}}+\cdots +{{\left( {{a}_{n}}-a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}.$$
Bài 3 (5,0 điểm). Cho hai đường tròn $({{O}_{1}})$ và $({{O}_{2}})$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B.$ Các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $({{O}_{1}})$ cắt nhau tại $K.$ Xét một điểm $M$ (không trùng với $A$ và $B$) nằm trên $({{O}_{1}}).$ Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $MA$ và $({{O}_{2}}).$ Gọi $C$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $MK$ và $({{O}_{1}}).$ Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $CA$ và $({{O}_{2}}).$ Gọi $H$ là trung điểm $PQ.$ Chứng minh rằng

a) Ba điểm $M,H,C$ thẳng hàng;

b) Giao điểm của các tiếp tuyến tại $P$ và $Q$ của $({{O}_{2}})$ thuộc một đường thẳng cố định khi $M$ di động trên $({{O}_{1}}).$


Bài 4 (5,0 điểm). Cho một bảng vuông cỡ $2n\times 2n$ (với $n$ là số nguyên dương). Ta gọi một đường đi chéo là một ô vuông hoặc một tập hợp các ô vuông phân biệt ${{C}_{1}},\ {{C}_{2}},...,\ {{C}_{k}}$ (với $k$ là số nguyên dương) sao cho hai ô ${{C}_{i}},\ {{C}_{i+1}}$ có đúng một đỉnh chung $(i=\overline{1;k-1}).$ Hai đường đi chéo được gọi là rời nhau nếu chúng không có ô vuông chung. Hỏi bảng vuông đã cho có thể phân hoạch thành ít nhất bao nhiêu đường đi chéo rời nhau ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[babyteen9x]

Ngày 2.

Bài 5 (7,0 điểm). Với các tập hợp $X,Y,$ ta định nghĩa phép toán $\Delta $ như sau

$X\Delta Y=(X\backslash Y)\cup (Y\backslash X).$

1. Với $A,\,B,\,C$ là ba tập hợp bất kì, chứng minh
   
   
   1. $A\Delta A=\varnothing ,\,\,\,A\Delta \varnothing =A,$
      
      
   2. $A\Delta B=B\Delta A,$
      
      
   3. $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C).$ (Khi đó thay vì viết $(A\Delta B)\Delta C$ ta có thể viết $A\Delta B\Delta C$)
      
   
   
2. Cho $S=\left\{ 1,2,3,\ldots ,n \right\}.$ Chứng minh rằng trong $n+1$ tập con khác rỗng bất kì của $S,$ ta luôn có thể chọn ra một số tập hợp ${{X}_{1}},{{X}_{2}},\ldots ,{{X}_{k}}\,\,\,(2\le k\le n+1)$ sao cho $${{X}_{1}}\Delta {{X}_{2}}\Delta \cdots \Delta {{X}_{k}}=\varnothing .$$
   

Bài 6 (7,0 điểm). Chứng minh rằng không tồn tại các đa thức khác đa thức hằng $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sqrt{{{x}^{2018}}+2017}\,$$
với mọi số thực $x$ sao cho $Q(x)\ne 0.$


Bài 7 (6,0 điểm). Cho $a$ là số nguyên dương, không là số chính phương. Kí hiệu $A$ là tập tất cả các số nguyên dương $k$ thỏa mãn $k=\frac{{{x}^{2}}-a}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\,\,(1)$ với $x,y$ là các số nguyên và $x>\sqrt{a}.$ Kí hiệu $B$ là tập tất cả các số nguyên dương $k$ thỏa mãn $(1)$ với $x,y$là các số nguyên thỏa mãn $0\le x<\sqrt{a}.$ Chứng minh $A=B.$

----------------------------HẾT----------------------------

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]