|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
16-07-2019, 07:40 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 36 Thanks: 0 Thanked 13 Times in 7 Posts | Đề thi IMO 2019 Đề thi IMO 2019 Ngày thi thứ nhất (16/07/2019) Bài 1: Đặt $ \mathbb {Z} $ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm $ f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} $ sao cho với tất cả các số nguyên $ a $ và $ b $ thì, $$ f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)). $$ Bài 2: Cho tam giác $ ABC $, lấy điểm $ A_1 $ nằm trên cạnh $ BC $ và điểm $ B_1 $ nằm trên cạnh $ AC $. Lấy $ P $ và $ Q $ lần lượt là các điểm trên các đoạn $ AA_1 $ và $ BB_1 $, sao cho $ PQ $ song song với $ AB $. Lấy $ P_1 $ là một điểm trên đường $ PB_1 $, sao cho $ B_1 $ nằm giữa $ P $ và $ P_1 $ và $ \angle PP_1C = \angle BAC $. Tương tự, Lấy $ Q_1 $ là điểm trên đường $ QA_1 $, sao cho $ A_1 $ nằm giữa $ Q $ và $ Q_1 $ và $ \angle CQ_1Q = \angle CBA $. Chứng minh rằng các điểm $ P, Q, P_1 $ và $ Q_1 $ cùng nằm trên một đường tròn. Bài 3: Một mạng xã hội có $ 2019 $ người dùng với một số cặp là bạn bè. Nếu người dùng $ A $ là bạn bè với người dùng $ B $ thì người dùng $ B $ cũng là bạn bè với người dùng $ A $. Các sự kiện thuộc loại sau đây có thể xảy ra lặp đi lặp lại, từng lần một: Ba người dùng $ A $, $ B $ và $ C $ sao cho $ A $ là bạn bè với cả $ B $ và $ C $, nhưng $ B $ và $ C $ không phải là bạn bè, hãy thay đổi trạng thái tình bạn của họ sao cho $ B $ và $ C $ là bạn bè, nhưng $ A $ không còn là bạn với $ B $ và không còn là bạn với $ C $. Tất cả các trạng thái tình bạn khác là không thay đổi. Ban đầu, có $ 1010 $ người dùng mà mỗi người dùng có đúng $ 1009 $ bạn và $ 1009 $ người dùng còn lại mà mỗi người có đúng $ 1010 $ bạn. Chứng minh rằng tồn tại một chuỗi các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn với nhiều nhất một người dùng khác. Bài 4: Tìm các số nguyên dương $k$ và $n$ sao cho\[k! = \left( {{2^n} - 1} \right)\left( {{2^n} - 2} \right) \ldots \left( {{2^n} - {2^{n - 1}}} \right).\] thay đổi nội dung bởi: hung.vx, 16-07-2019 lúc 07:48 PM |
16-07-2019, 08:01 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
f\left( {f\left( {a + 1} \right)} \right)& = f\left( {f\left( {0 + a + 1} \right)} \right) = f\left( 0 \right) + 2f\left( {a + 1} \right)\\ &= f\left( {\left( {1 + a} \right)} \right) = f\left( 2 \right) + 2f\left( a \right),\quad \forall {\mkern 1mu} a \in\mathbb Z. \end{array}\]Vậy là đặt $\frac{f(2)-f(0)}{2}=d$ thì có $d$ phải là một số nguyên, và\[f\left( {a + 1} \right) = f\left( a \right) + d,\quad \forall {\mkern 1mu} a \in \mathbb Z.\]Từ đây ta truy toán để có\[f\left( a \right) = ad + f\left( 0 \right),\quad \forall {\mkern 1mu} a \in \mathbb Z.\]Do đó, hàm cần tìm có dạng $f(x)=kx+l$ với các hằng số nguyên $k,\,l$. Sau thử lại ta được $k=l=0$, hoặc $k=2$ còn $l$ thì tùy ý. thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 16-07-2019 lúc 08:23 PM Lý do: Chưa thử lại hàm số | |
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post: | baotram (16-07-2019) |
16-07-2019, 08:29 PM | #3 | |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc Bài gởi: 17 Thanks: 51 Thanked 10 Times in 7 Posts | Lời giải bài 2 Trích:
Gọi $A_1Q$ giao $AC,AB$ lần lượt tại $X,Z$; $B_1P$ giao $BC,AB$ lần lượt tại $Y,T$. Áp dụng định lí Pappus cho $(B,Y,A_1)$ và $(X,A,B_1)$ và chú ý rằng $PQ\parallel AB,$ ta thu được $XY\parallel AB.$ Ta cũng có tứ giác $AP_1CT$ nội tiếp nên $\angle P_1CA=\angle P_1TA=P_1YX$, suy ra $P_1$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $CXY.$ Tương tự, ta suy ra $Q_1$ cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $CXY$. Ta có $\angle P_1PQ=\angle P_1YX=\angle P_1 Q_1Q$ nên bốn điểm $Q,P_1,Q_1,P$ đồng viên. | |
17-07-2019, 01:40 AM | #4 | |
Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts | Trích:
| |
The Following User Says Thank You to chemthan For This Useful Post: | MATHSCOPE (17-07-2019) |
17-07-2019, 07:18 PM | #5 | |
Administrator Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 30 Thanks: 110 Thanked 183 Times in 68 Posts | Trích:
Thử trực tiếp $n\in\{1,\,2,\,3,\,4\}$ thấy có các cặp $(n,\,k)$ thỏa yêu cầu là $(1,\,1)$ và $(2,\,3)$, vậy nên có hai cặp thỏa yêu cầu như vừa kể. | |
31-08-2019, 03:52 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2019 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | |
Bookmarks |
|
|