Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 17-12-2013, 08:49 PM   #1
knight123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gởi: 22
Thanks: 8
Thanked 2 Times in 2 Posts
Chứng minh f hàm hằng

Cho hàm f xác định và liên tục trên R thỏa:
f(x+f(x))=f(x)
Chứng minh f là hàm hằng
P/s: mọi người giúp em với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
knight123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-12-2013, 02:00 AM   #2
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Làm màu 1 lát.
Xét hàm số $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ được xác định bởi công thức $g(x)=f(x)+x $.
Theo giả thuyết, ta có:
i) $g(x) $ liên tục
ii) $g(g(x))=2g(x)-x $

Từ ii) , ta suy ra $g(x) $ đơn ánh. Kết hợp với i, dẫn tới $g(x) $ là hàm đơn điệu

Trường hợp 1: $g(x) $ là hàm đơn điệu giảm.
Suy ra $[ g(g(x))-g(x) ][ g(x)-x] \le 0 \forall x \in \mathbb{R} $.
trong khi dó $g(g(x))-g(x)=g(x)-x $ nên dẫn tới $g(x)-x=0 \forall x \in \mathbb{R} $.
Mâu thuẫn điều kiện $g(x) $ đơn điệu giảm.

Trường hợp 2: $g(x) $ là hàm đơn điệu tăng.
Theo quy nạp ta có : $g_n(x)=x+n(g(x)-x) =x+nf(x)\forall x \in \mathbb{R} $, trong đó $g_{n}(x) $ được xác định bởi công thức $g_0(x)=x;g_n(x)=g(g_{n-1}(x)) $

Nếu $x \le y \Rightarrow g_n(x) \le g_n(y) \Rightarrow x+nf(x) \le y+nf(y) \Rightarrow f(x) \le f(y) $

Vậy $f(x) $ cũng là hàm đơn điệu tăng.
Ta có đẳng thức sau $f(x+nf(x))=f(x) \forall n \in \mathbb{N} $(*)
Trường hợp 2.1: $f(x)= 0 \forall x \in \mathbb{R} $ , kết thúc bài toán.
Trường hợp 2.2 : $\exist x_0: f(x_0)>0 $
Từ đây thấy rằng nếu $\exist x_1 : f(x_1) \ne f(x_0) $ thì do tính liên tục nên $\exist x_2 : f(x_2) \ne f(x_0) $ và $0<f(x_2) $

Sử dụng (*) và tính đơn điệu, ta suy ra ngay mâu thuẫn.
Bởi thế $f(x) $ là hàm hằng
Trường hợp 2.3 $\exist x_0 : f(x_0)<0 $
Giải tương tự trường hợp 2.2
P/s: Ký hiệu tồn tại , ko thấy được hiển thị ra nên ráng hiểu hén
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Kelacloi For This Useful Post:
huynhcongbang (19-12-2013), knight123 (20-12-2013)
Old 19-12-2013, 06:50 AM   #3
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Bước 1: chứng minh rằng:

$f(x + nf(x)) = f(x) $ với mọi $n\ge 1 $ theo quy nạp.

Bước 2: giả sử ngược lại tồn tại $a $ và $b $ sao cho $f(a) = u \neq f(b) = v $. Chứng minh rằng với mọi $\epsilon > 0 $ tồn tại $n $ và $m $ sao cho $|a + nf(a) - (b+mf(b))| < \epsilon $. Chứng minh ko khó, chỉ vài dòng.

Bước 3: Từ tính liên tục của $f $ thì với $\epsilon $ đủ nhỏ ta có $|f(a) - f(b)| = |f(a+nf(a)) - f(b+mf(b))| < |f(a) - f(b)| $ mâu thuẫn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-12-2013, 10:20 AM   #4
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Bước 2 có vấn đề nha huynh.
Chỉ có hàm liên tục đều thì mới có cái tính chất :
$\forall \delta >0 $ tồn tại $ \epsilon >0 : |f(x)-f(y)| \le \delta \forall (x,y) $ thỏa mãn $ |x-y| <\epsilon $

Mà điều kiện của bài chưa đủ để suy ra trực tiếp ra tính liên tục đều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:36 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 49.01 k/54.94 k (10.78%)]